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文档简介
1、2014届高三理科数学一轮复习试题选编21:椭圆一、选择题 (北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )椭圆的左右焦点分别为,若椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是()AB CD【答案】D解:当点P位于椭圆的两个短轴端点时,为等腰三角形,此时有2个。,若点不在短轴的端点时,要使为等腰三角形,则有或。此时。所以有,即,所以,即,又当点P不在短轴上,所以,即,所以。所以椭圆的离心率满足且,即,所以选D二、填空题 (北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题)已知椭圆 的两个焦点是,点在该椭圆上若,则的面积是_ 【答案】解:由椭圆的方程可知,且
2、,所以解得,又,所以有,即三角形为直角三角形,所以的面积。 (北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学)椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,的小大为_.【答案】【解析】椭圆的,所以.因为,所以,所以.所以,所以 三、解答题 (北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学)(本小题满分分)已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.()求椭圆的方程;()已知动直线与椭圆相交于、两点. 若线段中点的横坐标为,求斜率的值;若点,求证:为定值.【答案】(本题满分分) 解:()因为满足, , .解得,则椭圆方程为 ()(1)将代入中得 因为中点的横坐标为,所以,解得 (2
3、)由(1)知, 所以 (北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )已知点是椭圆的左顶点,直线与椭圆相交于两点,与轴相交于点.且当时,的面积为. ()求椭圆的方程;()设直线,与直线分别交于,两点,试判断以为直径的圆是否经过点?并请说明理由.【答案】解:()当时,直线的方程为,设点在轴上方,由解得,所以.因为的面积为,解得.所以椭圆的方程为. 4分()由得,显然.5分设,则,6分,. 又直线的方程为,由解得,同理得.所以,9分又因为.13分所以,所以以为直径的圆过点. 14分 (2013北京海淀二模数学理科试题及答案)已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.(I
4、)求椭圆的方程;(II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求(为原点)面积的最大值.【答案】解:(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2, 一内角为 的菱形的四个顶点, 所以,椭圆的方程为 (II)设因为的垂直平分线通过点, 显然直线有斜率, 当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则 所以 因为, 所以,当且仅当时,取得最大值为 当直线的斜率不为时,则设的方程为 所以,代入得到 当, 即 方程有两个不同的解 又, 所以,又,化简得到 代入,得到 又原点到直线的距离为 所以 化简得到 因为,所以当时,即时,取得最大值 综上,面积的最大值为 (2013北京房山二模数学理科试题及答案)
5、已知椭圆:的离心率为,且过点.直线交椭圆于,(不与点重合)两点.()求椭圆的方程;()ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.【答案】(), , ()设 , ,由 , , 设为点到直线BD:的距离, 当且仅当时等号成立 当时,的面积最大,最大值为 (2013北京昌平二模数学理科试题及答案)本小题满分13分)如图,已知椭圆的长轴为,过点的直线与轴垂直,椭圆的离心率,为椭圆的左焦点,且 .(I)求此椭圆的方程;(II)设是此椭圆上异于的任意一点,轴,为垂足,延长到点使得. 连接并延长交直线于点为的中点,判定直线与以为直径的圆的位置关系.【答案】解:()由题意可知,
6、 , 又, ,解得 所求椭圆方程为 ()设,则 由 所以直线方程由得直线 由 又点的坐标满足椭圆方程得到: ,所以 直线的方程: 化简整理得到: 即 所以点到直线的距离 直线与为直径的圆相切 (北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 )曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆点M的坐标是(0,1),线段MN是的短轴,是的长轴.直线与交于A,D两点(A在D的左侧),与交于B,C两点(B在C的左侧)()当m= , 时,求椭圆的方程;()若OBAN,求离心率e的取值范围【答案】解:()设C1的方程为,C2的方程为,其中.2分C1 ,C2的离心率相同,所以,所以,.3分C2的方程为当
7、m=时,A,C .5分又,所以,解得a=2或a=(舍), .6分C1 ,C2的方程分别为,.7分()A(-,m), B(-,m) 9分OBAN, , .11分, 12分,.13分(2013北京西城高三二模数学理科)如图,椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称.()若点的坐标为,求的值;()若椭圆上存在点,使得,求的取值范围.【答案】()解:依题意,是线段的中点, 因为, 所以 点的坐标为 由点在椭圆上, 所以 , 解得 ()解:设,则 ,且. 因为 是线段的中点, 所以 因为 , 所以 . 由 , 消去,整理得 所以 , 当且仅当 时,上式等号成立. 所以 的取值范围是 (
8、2013北京丰台二模数学理科试题及答案)已知椭圆C:的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m,) 满足,且.()求椭圆C的离心率e;()用m表示点E,F的坐标;()若BME面积是AMF面积的5倍,求m的值. 【答案】解:()依题意知,; (),M (m,),且, 直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=, 直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= , 由得, 由得,; (), , ,整理方程得,即, 又, ,为所求 (2013北京顺义二模数学理科试题及答案)已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.(I)求椭圆的方程;(II)若点
9、的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于两点,设线段的中点为,点到直线的距离为,且三点共线.求的最大值.【答案】解:(I)由已知得且,解得, 又,所以椭圆的方程为 (II)设. 当直线与轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点在轴上,且与点不重合, 显然三点不共线,不符合题设条件. 故可设直线的方程为. 由消去整理得. 则, 所以点的坐标为. 因为三点共线,所以,因为,所以, 此时方程为,则, 所以, 又, 所以, 故当时,的最大值为 (2013北京东城高三二模数学理科)已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是. ()求椭圆的方程;()若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.()如果直线交椭
10、圆于不同的两点,且,都在以为圆心的圆上,求的值.【答案】(共13分)解: ()因为,所以 . 因为原点到直线:的距离,解得,. 故所求椭圆的方程为. ()因为点关于直线的对称点为, 所以 解得 ,. 所以. 因为点在椭圆:上,所以. 因为, 所以.所以的取值范围为. ()由题意消去 ,整理得.可知. 设,的中点是, 则,. 所以. 所以. 即 . 又因为, 所以.所以 (北京市石景山区2013届高三一模数学理试题)设椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,在x轴负半轴上有一点B,满足,且ABAF2.(I)求椭圆C的离心率;(II)若过A、B、F2三点的圆与直线l:x=0
11、相切,求椭圆C的方程;()在(II)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围.【答案】 (北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷(解析)已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.(I)求椭圆的方程;(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.【答案】解:(I)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为. 由直线与圆相切,得, 所以或(舍去). 当时, 故椭圆的方程为 (II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为, 则直线的方程为. 因为点在椭圆内,
12、 所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点. 由得. 设点的坐标分别为,则 , 所以 . 又因为点到直线的距离, 所以的面积为 设,则且, . 因为, 所以当时,的面积达到最大, 此时,即. 故当的面积达到最大时,直线的方程为 (2013北京高考数学(理)已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即.
13、 所以菱形OABC的面积是. (II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为. 由消去并整理得. 设A,C,则,. 所以AC的中点为M(,). 因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为. 因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. (2011年高考(北京理)已知椭圆G:.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点.()求椭圆G的焦点坐标和离心率;()将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.【答案】【命题立意】本题考查椭圆的标准方程和性质以及直线被椭圆截得的弦长
14、的求法,运用基本不等式求解函数的最值问题.考查学生的运算能力和综合解答问题的能力. 【解析】()由已知得, 所以椭圆G的焦点坐标为,离心率为 ()由题意知,. 当时,切线的方程为,点A,B的坐标分别为,此时 当时,同理可得 当时,设切线的方程为, 由,得 设A、B两点的坐标分别为,则 又由与圆相切,得,即 所以 由于当时,所以 因为,当且仅当时, 所以的最大值是2 (2013北京朝阳二模数学理科试题)已知椭圆的右焦点为,短轴的端点分别为,且.()求椭圆的方程;()过点且斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.【答案】解:()依题意不妨设,则,. 由,
15、得.又因为, 解得. 所以椭圆的方程为 ()依题直线的方程为. 由得. 设,则, 所以弦的中点为 所以 直线的方程为, 由,得,则, 所以 所以 又因为,所以. 所以. 所以的取值范围是 (北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学)已知椭圆C:,左焦点,且离心率()求椭圆C的方程;()若直线与椭圆C交于不同的两点(不是左、右顶点),且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.求证:直线过定点,并求出定点的坐标.【答案】解:()由题意可知: 1分解得 2分所以椭圆的方程为: 3分(II)证明:由方程组 4分整理得 .5分设则 .6分由已知,且椭圆的右顶点为 7分 8分 即也即 10分整理得
16、: 11分解得均满足 12分当时,直线的方程为,过定点(2,0)与题意矛盾舍去13分当时,直线的方程为,过定点 故直线过定点,且定点的坐标为 .14分(北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题)椭圆的中心为坐标原点,右焦点为,且椭圆过点.的三个顶点都在椭圆上,设三条边的中点分别为.(1)求椭圆的方程;(2)设的三条边所在直线的斜率分别为,且.若直线的斜率之和为0,求证:为定值.【答案】解:(1)设椭圆的方程为, 由题意知:左焦点为 所以, 解得, . 故椭圆的方程为.(方法2、待定系数法) (2)设, 由:,两式相减,得到 所以,即, 同理, 所以,又因为直线的斜
17、率之和为0, 所以 方法2: 设直线:,代入椭圆,得到 ,化简得 以下同 (北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理)试题 )已知椭圆的离心率为(I)若原点到直线的距离为求椭圆的方程;(II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A,B两点.(i)当,求b的值;(ii)对于椭圆上任一点M,若,求实数满足的关系式.【答案】解:(I) 解得椭圆的方程为 4分(II)(i)e椭圆的方程可化为: 易知右焦点,据题意有AB: 由,有: 设, 8分(2)(ii)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等成立.设M(x,y),又点M在椭圆上
18、, 由有:则 又A,B在椭圆上,故有 将,代入可得: 14分(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理)已知椭圆的左右两个顶点分别为,点是直线上任意一点,直线,分别与椭圆交于不同于两点的点,点. ()求椭圆的离心率和右焦点的坐标;()(i)证明三点共线; ()求面积的最大值.【答案】解:(),所以,. 所以,椭圆的离心率. 右焦点. ()(i),.设,显然. 则,. 由解得 由解得 当时,三点共线. 当时, , 所以,所以,三点共线. 综上,三点共线. ()因为三点共线,所以,PQB的面积 设,则 因为,且,所以,且仅当时, 所以,在上单调递减. 所以,等号当且仅当,即时取得. 所以,P
19、QB的面积的最大值为. (北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理)已知椭圆的离心率为,且经过点.()求椭圆的方程;()设为椭圆上的两个动点,线段的垂直平分线交轴于点,求 的取值范围.【答案】解: ()椭圆的方程为: ()设,则 ,. 依题意有 ,即, 整理得 . 将,代入上式,消去, 得 . 依题意有 ,所以. 注意到 ,且两点不重合,从而. 所以 . (北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且经过点,直线交椭圆于不同的两点()求椭圆的方程;()求的取值范围;()若直线不过点,求证:直线的斜率互为相反数【答案】()设椭圆的方
20、程为,因为,所以,又因为,所以,解得,故椭圆方程为 4分()将代入并整理得,解得 7分()设直线的斜率分别为和,只要证明设,则 9分 所以直线的斜率互为相反数 14分(2013届北京市高考压轴卷理科数学)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.(I)求椭圆C的标准方程;(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点,且直线AB的斜率为.求四边形APBQ面积的最大值;设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,判断+的值是否为常数,并说明理由.【答案】解:()设椭圆C的方程为 由已知b= 离心率 ,得 所以,椭圆C的方程为 ()由()可求得点P、Q的坐标为 ,则,
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