数学（心得）之纵向数学化：数学学习的必由之路

1、数学论文中的垂直数学：数学学习的必由之路刘志强的要点：普赖登塔尔认为“数学化”分为水平数学化和垂直数学化两种。横向数学化是“将生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“符号世界中符号的生成、改造、利用”。两者都是数学学习的重要方法。在小学数学教育中，尤其是概念教育中，往往重视前者，忽视后者。因此有必要认识到小学生需要垂直数学，如何在抽象数学学习中定位，反思小学生需要什么样的数学学习过程。关键词：数学化垂直数学化抽象学习过程一般被认为是数学比较成熟的科目，人们倾向于将其他学科的成熟度判断为“数学化”程度。“数学化”是数学教学活动的目的，也是实现教学目的的手段。普氏数学分为水平数学化和垂直数学化两种。

2、横向数学化是“将生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“符号世界中符号的生成、改造、利用”。一般来说，人们把水平数学理解为现实和数学的联系。纵向数学化经常被理解为建立抽象数学知识之间的联系，经常包括抽象和定型。小学数学学习中有很多数学概念。概念学习是以数学语言和符号显示事物本质属性的思维形式，是比较抽象的，纵向数学化是不可避免的。但是在实际教育中，过于依赖特定的直觉的情况较多，垂直数学化的重要性不足。甚至我们已经对水平数学投入了太多的关注，从而避免了在学习过程中对垂直数学的下行意识，其直接结果是学生对所学内容的深刻理解不足，无法构成整体连接。实际上，课程改革重视水平数学化并不意味着忽视垂直数学化

3、。从发展思维的角度来看，垂直数学化具有更重要的价值。第一，小学生需要纵向数学吗？小学生的思维特征以形象思维为主。学生理解抽象知识时，容易受到心理因素识别的困难、空间想象力不足等部分学习障碍的影响。此时，设计合理的生活状况，为学生提供具体资料，将孩子们的思维从生活引入到学问中。那么小学生的数学学习有纵向的数学化吗？以加法为例，两只小猴子分别摘了8个桃子和5个桃子，一共摘了多少个桃子？类似的问题可以抽象：8和5是什么？这属于水平数学化。然后，考虑如何计算加法是纵向数学化的问题，列出方程8 5。随着学生学历的增加，数学化可以从横向向纵向进一步深入。从以下例子中我们可以看出，纵向的数学化有时会进一步发

4、展学生的数学思维。教员圆的认识在信封上出示了一个圆和一些笔直的图形，问学生能否“触摸”这个平面图形上的圆。学生当然可以，说“可以”，教师引导学生思考“为什么”，比较圆和直线图的边缘特征，建立圆是曲线图的概念。老师们从信封里拿出不规则的曲线和椭圆，让学生们继续“触摸”。学生的判断可以找出正确的根据，准确地说，这些图形认识到“凹凸”、“不平”等圆和其他特性，强调圆“满”和“均匀”的特点。学生们在这个过程中完全没有动手，但很明显他们的感情很深，思维很理性。现实背景和实践可以为学生理解概念提供有效的认识基础，但不是唯一的方法。分析，抽象化对小学生来说有一定的难度，但在一定程度上是使学生的学习有意义的难

5、度。此外，几何中的地壳表达空间不等于几何。奥地利数学家和心理学家恩斯特马赫指出：“人们的空间感官系统不同于欧几里得空间。”几何空间在各个地方和各个方向都具有相同的性质，没有界限，无限。视觉空间有限，延伸的方向不同，“天空圆顶”就是一个很好的例子。法国著名数学家亨利庞加莱也认为，通过感觉和外表所掌握的空间与几何学掌握的空间完全不同。精通感官或生理学心理学的这些数学家否认了知觉表现空间和几何的一致性。因为几何学的原理不是经验的事实。与此同时，实验心理学还提供了这方面上述观点的可信证据。因此纵向数学化在小学阶段也很有价值。第二，合理理解抽象地位静态观，概念是知识的基本单位；动态地看，概念是思维的基本

6、单位。就数学学习而言，概念的形成、理解和掌握是最基本、最基础的认知活动，是数学学习的“基础工程”。几何概念是抽象的。荷兰的潘希尔夫妇对图形识别提出了以下几何思维水平。级别1是可视化。级别2是描述/分析。级别3是抽象/关联。水平4是演绎/公式推论。第5级是严格/元数学。学生们通过思维水平的进步，从可视化水平不断提高到描述、分析、抽象和演绎等复杂水平。这实际上也表明在视觉识别中探索的特征符合儿童的认知规律。因此，概念形成不可能停留在直观的认识水平上，要引导学生进行抽象思维。有一个练习题：要把几个长1厘米的小立方体变成更大的立方体吗？当发现很多学生不能开始的时候，老师鼓励学生先拼一下，数一下数字。学

7、生们通过实习发现至少要写8个。教学结束后，工作是表面的。但是老师说，学生们通过操作得出8分后，在此指导学生们，很好奇为什么是8元。学生们沿着长度、宽度、高度分别摆放了22=4(块)、2层，并摆放了42=8(块)，因此可以意识到，这里的每个“2”分别对应于正方形的长寿，总块数对应于正方形长寿的立方体。教师指导学生进行验证：这个发现正确吗？需要验证。要拼写3厘米长的立方体，至少需要多少个小立方体？有些学生仍然依赖手工作业，但很多学生开始利用样子想象，抽象成公式：333=27(块)。在此基础上，教师继续说：“要拟合长寿为1厘米(a是自然数)的立方体，需要多少这样的小立方体呢？你能想象拼图吗？这种教学

8、从特殊到一般，及时提高学生的官能认识，促进学生空间观念的形成和抽象思维的发展。根据D. Tall关于从初等数学到高等数学的认知结构发展的研究，几何最初以感性对象为基础，以图像为基础，但在几何完全形式化之前，语言和概念都有发展的转换过程。很多数学概念在小学阶段比较平淡、模糊、表达不完整(当然有考虑小学生年龄和心理特征的原因)。在小学阶段，虽然不能充分理解纯抽象概念，但可以利用垂直数学化活动，准备“纯数学研究”，进行适当的抽象训练和学习。第三，需要什么样的数学学习过程，如果过去的数学教育过于重视结果，忽视过程，那么现在的教学既要重视结果，也要重视过程。这不是说有结果也好，没有也行。实际上，任何学习

9、都有阶段性的，在任何阶段，学生通过学习，通过任何过程，都会得到一些结论。普赖登塔尔认为，这样的结论再次作为继续在高水平学习中学习的常识和基础。这样的结论是：“再一次精炼、组织、合并成新的法则，新的法则又成为新的常识，这样不断上升，永无止境。”。在除以课程分数的时候，教师给出了实例9/203/5，课程默认值转移学生过去的课程分数除以整数的知识。但是，一个学生说93/205=3/4，但原因是“分数乘法必须乘以分子，分母乘以分母，分母再除以”，老师说3/52/3=18/302/3=182显然学生的想法合理正确，只是与教科书中他们希望掌握的方法不一致。普赖登塔尔指出：“数学教育本身不是简单的知识传递，

10、而是让学生亲自实践，掌握其发展规律，学习抽象、定型的方法的过程。”如果教师在课堂上花时间引导学生继续研究这个问题，那么你会发现，a/bc/d=acd/bcdc/d=ad/bc导致解决学生问题的原理是逆向乘法的法则。教师充分确信学生的想法是正确的，可以在课堂上得出这样的结论，这不就是“学生通过自己的努力得出的结论和创造”成为教育内容的一部分吗？而且，这种结论是逻辑严谨，结构巧妙的探索。只有提高思维品质，课堂对话才能变得真正精彩。柏拉图论及数学思想，说数学“把灵魂从变化的世界转变为真理”。今天，我们可以理解为培养人的理性精神。对学生来说，这种理性可以通过中小学阶段的数学学习比较有效地培养出来。横向的数学化为学生正