微积分下册知识点

1、微积分的下卷知识点第一章空间分析几何和向量代数(1)向量及其线性运算1、向量、向量相等，单位向量、零向量、向量平行、同一线、同一面2 .线性运算：加减运算、乘数3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、八卦限、矢量的坐标分解式4、利用坐标进行向量的运算：则，5、矢量的模、方位、投影：1 )向量的量值：2 )两点间的距离式：3 )方位角：非零矢量和3个坐标轴的正方向的角度4 )方向馀弦：5 )投影：其中是与向量的角度。(2)数量积、矢量积1、数量积：1)1)请参照2 )2、矢量积：尺寸：方向：符合右手的规则1)1)请参照2 )运算律：逆交换律(3)曲面及其方程式1 .曲面方程式的概念：2 .旋转曲面：

2、面上曲线绕轴旋转一圈：绕轴旋转一圈：3、汽缸：母线平行于轴，基准线表示的圆柱4、二次曲面(不合格)1 )椭圆锥面：2 )椭球体：旋转椭圆体面：3 )单叶双曲面：4 )双叶双曲面：5 )椭圆抛物面：6 )双曲抛物面(鞍面)；7 )椭圆柱：8 )双曲圆柱：9 )抛物柱：(4)空间曲线及其方程式1、一般方程式：2、参数方程式：缓和曲线等：3 .空间曲线在坐标面上的投影消去，得到曲线在面上的投影(5)平面及其方程式1、点法国方程式：法向量：过点2、通式方程式：截距方程式：3、两平面的角度：4、从点到平面的距离：(6)空间直线及其方程式1、通式方程式：2、对称式(点方向式)方程式：方向矢量：过点3、参数

3、式方程式：4、两条直线的角度：5、直线与平面的角度：直线与平面上的投影角度第二章多函数微分法及其应用(1)基本概念1、距离、邻域、内点、外点、边界点、集点、开集、闭集、连通集、区域、闭域、有界集、有界集。2、多功能函数：图表：三、极限：四、连续：5、偏导数：6 .方向导数：其中是的方向角。7、坡度：那么。8、全微分：假设(2)性质1、函数为微、偏振连续、偏振存在、函数连续等概念间的关系：存在偏导数函数是微微的函数连续偏导数连续充分的条件必要条件定义122342、闭领域中连续函数的性质(有界性定理、最大最小值定理、介值定理)3、微分法1 )定义：2 )复合函数的导出：连锁规则如果是那样的话，3

4、)导出隐函数：两侧求偏爱，求方程式(3)应用1、极值1 )无条件极值：求函数的极值解方程组要求所有驻点，对各自的驻点，如果函数有极小值的话如果函数有极大值的话函数没有极值时喂，不定。2 )条件极值：求出函数条件下的极值指令： Lagrange函数解方程式2 .几何应用1 )曲线的切线和法线平面对于曲线，前面的点(对应的参数是)的切线方程式如下所示法线平面方程式如下2 )曲面的相切平面和法线对于曲面，上一点处的相切平面方程式如下法线方程式如下所示第三章再积分(1)双重积分(不试验一般的兑换法)一、定义：2、性质： (第6条)3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1 )直角坐标，2 )极坐标(2

5、)三重积分一、定义：2、性质：三、计算：1 )直角坐标- -“第一次、第二次”-“首先是第二个”2 )圆柱坐标，3 )球面坐标(3)应用曲面面积：第五章曲线积分和曲面积分(1)积分弧长的曲线一、定义：2、性质：1)1)请参照2 )3 )以上，如果是那样的话4) (l是曲线圆弧l的长度)三、计算：曲线圆弧上定义并设为连续的参数方程式，在上面具有一次连续导数，并且(2)相对于坐标的曲线积分1、定义：将l定义为面内从a到b的1条有向平滑的弧、函数、l的有界、定义.向量格式：2、性质：如果把用表示的电弧反转的话三、计算：定义为有向光滑的弧，以连续的参数方程式为的双曲正切值。 其中，上面有一阶连续导数，

6、并且4、两种曲线积分的关系：设平面上有向曲线的弧，上点处的切线矢量的方位角为：则则(3)绿色公式1、绿色公式：区域d被分段平滑的正向曲线l包围，函数为在d有连续的一次偏导数的情况下2 .在单一连通区域中，函数有连续的一次偏导数时包括曲线积分与路径无关。曲线积分内是某函数的全微分(4)相对于面积的曲面积分一、定义：如果是平滑曲面，函数就是上面定义的有界函数定义2、计算： “一投二代三代入”、的情况(5)相对于坐标的曲面积分1、预备知识：曲面侧、曲面向平面的投影、流量二、定义：设为有向光滑的曲面，函数是上面定义的有界函数，定义同样地三、性质：1 )、是2 )取相反侧的有向曲面时4、计算： “一投二

7、代三定号”上有一次连续偏导数，上连续的话，上取“ ”，下取“-”5、两种曲面积分的关系：其中是曲面位于点处的法线向量的方向角。(6)高斯式1、高斯式：把空间封闭区域用切片平滑的封闭曲面包围的方向作为外侧，如果函数有连续的1次偏导数的话或者(7)斯托克斯式1、斯托克斯式：把平滑曲面s的边界g作为分段平滑的曲线，s侧和g的正方向与右手法则一致，包含的一个空间区域具有连续的一次偏导数时为了便于记忆，斯托克斯公式也可以写为：第六章常微分方程1 .微分方程的基本概念包含未知函数的导数(或微分)方程称为微分方程式未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程未知函数是多变量函数的微分方程，称为偏微分方程微分

8、方程中未知函数的导数的最高位数被称为微分方程的阶数把微分方程定为常数方程的函数，称为微分方程的解如果微分方程式的解包含任意常数，且独立(即，不能合并而减少了个数)的任意常数的个数与微分方程式的次数相同，则该解是微分方程式的解不含任意常数的解是微分方程的特解2、典型的一次微分方程可分离变量的微分方程：第一种形式可以用积分法求变量可分离方程的解2 .一次微分方程：代入微分方程式即可。可以通过坐标位移删除常数项。3、一阶线性微分方程类型例如被称为一阶线性微分方程。其对应的一阶线性微分方程的解用常数变异法可以得到非齐次线性微分方程的解4、伯努利方程：u的解如下所示5、全微分方程式：7、可以下降台阶的高阶常微分方程(1)(2)(3)8 .线性微分方程解的结构(1)函数群的线性关系和线性关系(2)线性微分方程的性质和解的结构重叠原理：两个齐次特解的线性组合还是与其特解的两个线性无关的特解的线性组合就是其解(3)刘维尔式(4)二阶非线性微分方程解的结构特解的求解过程主要