Routh(劳斯)稳定判据

1、.,5.2 Routh(劳斯)稳定判据,定常线性系统稳定的充要条件 是其全部特征根均具有负实部。 判别系统的稳定性，也就是要解出系统特征方程的根，看这些根是否均具有负实部。 问题提出 但在实际工作系统中，特征方程式的阶次往往较高，当阶次高于4时，根的求解就较困难。 为避开对特征方程的直接求解，讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，以此来判别系统的稳定性。,.,Routh判据是基于方程式根和系数的关系建立的。 通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，从而判断系统的稳定性。 这种稳定判据又称代数判据。,.,一、系统稳定的必要条件,设系统特征方程为： 将式0，an

2、-10，a10，a00 (5.2.5),(5.2.4),.,必要条件,定理：对特征方程 系统稳定的必要条件是：特征方程各项系数为正，且不缺项。,.,二、系统稳定的充要条件,1. Routh表 将式(5.2.1)所示的系统特征方程式的系数按下列形式排列成Routh表：,第n1行(S0行）仅有一项，并等于特征方程常数项a0,.,Routh表,Routh表一共有n +1行，n为特征方程的阶次。Routh表第一、二行是特征方程的系数，第一行为an、an-2、an-4、，第二行为an-1、an-3、an-5、。第三行以后，需要逐项进行计算。缺项的位置，按零计算。,.,.,2. Routh稳定判据,Rou

3、th判据 Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。 系统稳定的充要条件 Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。特征方程具有正实部根的个数等于Routh表第一列中系数改变符号的次数。,.,例1系统的特征方程为： D(s)s4+s3-19s2+11s+300 因其系数符号不同，因此，不满足稳定的必要条件，系统不稳定。 应用Routh表确知其具有正实部特征根的个数。列Routh表如下,第一列各元符号改变次数为2，从而，不但可知系统不稳定，而且可知系统有两个具有正实部的特征根。,.,对于阶次较低的系统（如二阶和三阶系统），Routh稳定判据可以化为如下

4、的简单形式。 (1)二阶系统(n=2)稳定的充要条件为： a20，a10，a00 （5. 2. 6） (2)三阶系统(n=3)稳定的充要条件为： a30，a20，a10，a00，a1a2-a0a30 (5. 2. 7) 式（5.2. 7）中，由a1a2-a0a30可看出，在a3,a2和a0均为正的情况下，若a1为负，则不能满足上式，因此必须a10,其实，这就是a3,a2,a1,a0均应大于零。 式(5.2.7)中，充要条件之一a1a2-a0a3 0可改写为 a1a2a0a3 它表示中间二项系数之积应大于前后两项系数之积。 因此，对于三阶系统，只要校验其特征方程的系数，若不满足上述条件，就可立即

5、判断为不稳定；若满足上述条件，且各项系数均为正，则为稳定。,.,例 控制系统特征方程如下，判断系统稳定性。,.,s4 2 8 2 s3 2 3 0 s2 0 s1 0 0 s0 2 0 0,Routh表为,故系统稳定。,.,例3,s4 1 8 20 s3 5 16 0 s2 4.8 20 0 s1 4.83 0 0 s0 20 0 0,第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面，系统不稳定。,.,例2,解：由图5.2.1可分别求得系统的开环及闭环传递函数，即 开环 闭环 闭环传递函数的特征方程 代入已知参数,设有系统的方框图如图5.2.1所示。已知=0.2及n=86. 6,试确定K取何值时，系

6、统方能稳定。,.,列Routh表,由系统稳定的充要条件，有 (1) 7500K0,亦即K 0, 显然，这就是由必要条件所得的结果。 (2）(34.6X7500-7500K)/34.60，亦即K 34. 6 故能使系统稳定的参数K的取值范围为0 K 34.6,.,例3设某系统的特征方程 试确定待定参数及，以便使系统稳定。 解根据特征方程的各项系数，列出Routh表：,.,根据Routh表，由系统稳定的充要条件，有 所以，使系统稳定的叔产的取值范围为 0及1,.,三、Routh判据的特殊情况,(1)如果在Routh表中任意一行的第一个元为零，而其后各元均不为零或部分地不为零，则在计算下一行第一个元

7、时，该元必将趋于无穷大。于是，Routh表的计算将无法进行。 为了克服这一困难，可以用一个很小的正数。来代替第一列等于零的元，然后计算Routh表的其余各元。,.,Routh表第一列出现零元素，用很小的正数代替，继续进行。,例,s5 1 2 1 s4 2 4 1 s3 0 0 s2 1 0 s1 0 0 s0 1 0 0,系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。,.,例4设系统的特征方程为 D(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0 试判别系统的稳定性。 解 根据特征方程的各项系数，列出Routh表：,.,由于第一列各元符号不完全一致，所以系统不稳定。第一列各元

8、符号改变次数为2，因此有两个具有正实部的根。 其实，从特征方程各项系数不全为正，即可知系统是不稳定的。 若上下各元符号不变，且第一列元符号均为正，则有共扼虚根，此时系统是临界稳定的，而非渐近稳定。,.,(2)如果当Routh表的任意一行中的所有元均为零时，系统的特征根中，或存在两个符号相异、绝对值相同的实根；或存在一对共扼纯虚根；或上述两种类型的根同时存在；或存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共扼复数根。 利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程的导数的系数组成Routh表的下一行。 Routh表中其余各元的计算继续进行下去。 这些数值相同、符号相异的成对的特征根，可通过解

9、由辅助多项式构成的辅助方程得到，即2p阶的辅助多项式有这样的p对特征根。,.,某一行全为零，用上一行对应系数构成辅助方程，对s求导，将得到的新方程系数取代原零行，继续进行。,例3,s6 1 6 9 4 s5 1 5 4 0 s4 1 5 4 0 s3 s2 2.5 4 0 0 s1 3.6 0 0 0 s0 4 0 0 0,0 0 0 0,4 10 0 0,辅助方程,某行全为零，说明存在对称于原点的根。,求导,.,辅助多项式还可用于求得关于原点对称的根。阶数为关于原点对称根的个数。,s1,2=j, s3,4=2j,因式分解得另两个根为,3，特征方程在虚轴上有重根。,s5 1 2 1 s4 1 2 1 s3 0 s2 1 1 0 s1 0 0 s0 1 0 0,虚根为重根，系统响应具有tsin(t+) 形式，不稳定。首列元素没变号，但与s2、s4对应的辅助多项式分别为（s2+1）和（s4+2 s2 +1），说明特征方程虚轴上有重根。,.,例5设系统的特征方程为 试用