抛物线大题训练(一)

1、抛物线大题训练（一）1已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x00）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围2在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p0）的准线方程为 x=，过点M（0，2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由3如图所示，设F是

2、抛物线E：x2=2py（p0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1k2=1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D已知AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）（1）求抛物线E的方程；（2）若+=64，求直线l1、l2的方程4已知抛物线C：y2=2px（p0），点A、B在抛物线C上（）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（） 设直线OA、OB的倾斜角分别为，且+=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由5已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线

3、l1：y=kx+1（kR，且k0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=1于点S，T（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由6已知抛物线y2=2px（p0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）求抛物线方程；求ABS面积的最大值7已知抛物线y2=4x，直线l：y=x+b与抛物线交于A，B两点（）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值8抛物线

4、M：y2=2px（p0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C（）求抛物线M的方程；（）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率9已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（）求椭圆C的标准方程；（）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=，若2，1，求|+|2的最小值抛物线大题训练（二）10（2015福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F

5、，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N（）证明的值与k1无关；（）记直线MN的斜率为k2，证明为定值 11已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p0）交于A，B两点，且=3，其中O为坐标原点（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程12已知过点 M（，0）的直线 l与抛物线 y2=2px（p0）交于A，B两点，且 =3，其中O为坐标原点（1）求p的值；（2）若圆x2+y22x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的

6、方程13已知点A（4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为2，点M的轨迹为曲线C（） 求曲线C 的轨迹方程；（） Q为直线y=1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求QDE的面积S的最小值14如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|CF|=|BF|DF|，若存在，求出直线l的

7、方程，若不存在，请说明理由15已知抛物线C：y2=2px（p0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l交抛物线C于两个不同点D、E设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由16（2014陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线C2：y=x2+1（y0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离

8、心率为（）求a，b的值；（）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若APAQ，求直线l的方程17（2014山东）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形（）求C的方程；（）若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，（）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由18（2014安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p10）和E2：y2=2p2x（p2

9、0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点（）证明：A1B1A2B2；（）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值19（2014福建）已知曲线上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=3的距离小2（）求曲线的方程；（）曲线在点P处的切线l与x轴交于点A直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论20（201

10、4江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值21（2014杭州二模）设抛物线：y2=2px（p0）过点（t，）（t是大于0的常数）（）求抛物线的方程；（）若F是抛物线的焦点，斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程

11、22（2014包头一模）设抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点（1）若BFD=120，ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求EDA的面积23（2014长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，求的最小值24（2014长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两

12、个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点（）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求PCD面积的最小值25（2015上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）（1）用k、b表示出C点、D点

13、的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求ABC的面积，证明ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了ACE、BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由26（2014乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p0）的焦点过F，过H（，0）引直线l交此抛物线于A，B两点（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围27（2014太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于

14、不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D（）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|QB|=a|QC|QD|，求实数a的值28（2014合肥一模）已知ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+nym=0（m，n为常数且m0）（）求p的值；（）O为抛物线的顶点，OFA、OFB、OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值29（2014呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两

15、点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O（）求抛物线C的方程；（）当圆E的面积最小时，求E的方程30（2014普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值抛物线大题训练（一）参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x00）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围考点：

16、抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x1）+1联立方程得x2kx+k1=0，A（k1，（k1）2），10即k2同理B（k1，（k1）2），20即k2，令，则所以k2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题2（2015淮安一模）在平面直角坐标系x

17、Oy中，已知抛物线y2=2px（p0）的准线方程为 x=，过点M（0，2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2解

18、答：解：（1）由题设知，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，2）在直线MA上，所以2y0=（x0）联立，解得A（16，4），所以直线OA的方程为 设直线BC方程为y=kx2，由，得k2x2（4k+1）x+4=0，所以由，得所以，故的为定值2点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题3（2014九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1k2=1，l1

19、与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D已知AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）（1）求抛物线E的方程；（2）若+=64，求直线l1、l2的方程考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）确定AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用+=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程解答：解：（1）由题意，F（0，），AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，+=3，p=4抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2（8

20、k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4+=32+16（k12+）64，当且仅当k12=，即k1=1时取等号，直线l1、l2的方程为y=x+2或y=x+2点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题4（2014浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p0），点A、B在抛物线C上（）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（） 设直线OA、OB的倾斜角分别为，且+=，问

21、直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合+=，可得b=2p2mp，即可得出结论解答：解：（）直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，2p），三角形ABO是Rt，过A，B，O三点的圆方程是：（x2p）2+y2=4p2；（）设点，直线AB的方程为：x=m

22、y+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y22mpy2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=2pb，这样，tan=即1=，所以b=2p2mp，直线AB的方程可以写成为：x=my2p2mp，即x+2p=m（y2p），直线AB过定点（2p，2p）点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题5（2014广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（kR，且k0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=1于点S，T（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段S

23、T为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标解答：解：（1）点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，a=4（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，y=kx+1代入抛物线方程，消

24、去y得x24kx4=0，解得x1+x2=4k，x1x2=4（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为（3分）令y=1，得，点S的坐标为（4分）同理可得点T的坐标为（5分）=（6分），由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=2，（7分）直线l1的方程为y=2x+1，或y=2x+1（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，1），则=（10分）而|ST|2=，（11分）以线段ST为直径的圆的方程为=展开得（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=3（13分）以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，3）（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系

25、，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题6（2015兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）求抛物线方程；求ABS面积的最大值考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；分类讨论，求出ABS面积的表达式，即可求得其最大值解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，

26、则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，又得，所以依题意，p=4抛物线方程为y2=8x（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，抛物线方程为y2=8x当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：=（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，ABS面积为，ABS面积的最大值为点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题7（2015路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=x+b与抛物线交于A，B两点（）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积

27、的最大值考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）联立得y2+8y8b=0由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程（）由直线l与y轴负半轴相交，得1b0，由点O到直线l的距离d=，得SAOB=|AB|d=4由此利用导数性质能求出AOB的面积的最大值解答：解：（）联立得：y2+8y8b=0依题意应有=64+32b0，解得b2设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0=4因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|=所以|AB|=2r，即=8，解得b=所以x0=2b+8=，所以圆心

28、为（，4）故所求圆的方程为（x）2+（y+4）2=16（）因为直线l与y轴负半轴相交，b0，又l与抛物线交于两点，由（）知b2，2b0，直线l：y=x+b整理得x+2y2b=0，点O到直线l的距离d=，所以SAOB=|AB|d=4b=4 令g（b）=b3+2b2，2b0，g（b）=3b2+4b=3b（b+），g（b）在（2，）增函数，在（，0）是减函数，g（b）的最大值为g（）=当b=时，AOB的面积取得最大值点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力8（2015大庆二模）抛物线M：y2=2px（p0

29、）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C（）求抛物线M的方程；（）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率解答：解：（）

30、椭圆N：+y2=1，c2=a2b2=1=，椭圆的左焦点为F1（，0），=，则p=1故M：y2=2x；（）由题意知，A（a，2a），|OA|=t，a2+2a=t2由于t0，故有t= 由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1又A在直线BC上，故有+=1将代入上式，得：+=1，解得c=a+2+又D（a+2，2），直线CD的斜率为：kCD=1点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题9（2015黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，

31、过点（1，），（）求椭圆C的标准方程；（）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=，若2，1，求|+|2的最小值考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1设椭圆C的标准方程为（ab0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由2，1）可得到k2的取值范围由于=（x12，y1），=（x22，y2），通过换元，令t=，即可得出|+|2的最小值解答：解：（）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，

32、设椭圆C的标准方程为（ab0），椭圆C过点（1，），又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1（5分）（）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky1=0（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将2得+2=+2=（8分）由2，1得+200，0k2（9分）=（x12，y1），=（x22，y2），+=（x1+x24，y1+y2）x1+x24=k（y1+y2）2=，|+|=+=16+令t=，|+|2=8t228t+16t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与

33、系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题10（2015福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N（）证明的值与k1无关；（）记直线MN的斜率为k2，证明为定值考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x

34、2，根据向量数量积运算公式，可得的值与k1无关；（）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=4，同理可得 y2y4=4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（）的结果即可证明解答：证明：（）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m0） （1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得 y24my8=0（2分）从而y1y2=8，于是，（3分）与k1无关 （5分）（）设M（x3，y3），N（x4，y4）则 （8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n0），将其代入y2=4x，消去x，整理得

35、 y24ny4=0y1y3=4 同理可得 y2y4=4 （10分）故，（11分）由（）知，y1y2=8，为定值 （12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大11（2015洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p0）交于A，B两点，且=3，其中O为坐标原点（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线

36、方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y22pmyp2=0，y1+y2=2pm，y1y2=p2，由于=3，即x1x2+y1y2=3，x1x2=，即有p2=3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9由于x1x2=1

37、，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=则直线l：x=y+1，即有4x+y4=0或4xy4=0点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题12（2015洛阳一模）已知过点 M（，0）的直线 l与抛物线 y2=2px（p0）交于A，B两点，且 =3，其中O为坐标原点（1）求p的值；（2）若圆x2+y22x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程考点

38、：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y22pmyp2=0，y1+y2=2pm，y1y2=p2，由于=3，即x1x2+y1y2=3，x1x2=，即有p2=3，解得，p=

39、2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=4，则（y1y2）2=（y1+y2）24y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1y2）2+（x1x2）2=（y1y2）2+（）2=y1y2）21+（）2=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|CD|=|AB|CD|，又CD为圆x2+y22x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y=0或xy=0点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查

40、等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题13（2015衡水模拟）已知点A（4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为2，点M的轨迹为曲线C（） 求曲线C 的轨迹方程；（） Q为直线y=1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求QDE的面积S的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x4）（II）设Q（m，1），切线方程为y+1=k（xm），与抛物线方程联立化为x24kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得

41、=0，即k2km1=0解得x=2k可得切点（2k，k2），由k2km1=0可得k1+k2=m，k1k2=1得到切线QDQE因此QDE为直角三角形，|QD|QE|令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2km）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x4）（II）设Q（m，1），切线方程为y+1=k（xm），联立，化为x24kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得=0，即k2km1=0x24kx+4k2=0，解得x=2k

42、可得切点（2k，k2），由k2km1=0k1+k2=m，k1k2=1切线QDQEQDE为直角三角形，|QD|QE|令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2km）2+（k2+1）2=4（k2km）+m2+（km+2）2=4（k2km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），|QD|=，|QE|=，（4+m2）=4，当m=0时，即Q（0，1）时，QDE的面积S取得最小值4点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题14（2015郴州二模）如图所示，已知

43、过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|CF|=|BF|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2x轴，垂足为点O2，作AA1x轴利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r=|O1O2|，即可证明；

44、（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）与抛物线方程联立化为x24kx4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得可得kMAkMB=1，可得MAB为直角三角形，可得MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点设线段AB的中点为P，可得P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3（1）|=4，即可得出所求的MAB的外接圆的方程（3）假设存在直线l使得|AF|CF|=|BF|DF|，设=，可得，设C（x3，y3），D（x4，y4）利用向量的坐标运算可得x1=x2，x4=x3把x1=x2代入根与系数的关系可得

45、把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx1=0，把根与系数的关系与x4=x3联立可得，联立解得即可解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2x轴，垂足为点O2，作AA1x轴则r=|O1O2|，r=|O1O2|，以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为x24kx4=0，x1+x2=4k，x1x2=4由x2=4y，可得kMAkMB=1，MAMBMAB为直角三角形，MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点设线段AB的中点为P，可得P与抛物线的准线相切，切点为点MxP=xM=2，=2，2k=

46、2，解得k=1yp=3，圆心P（2，3），又r=|MP|=|3（1）|=4，所求的MAB的外接圆的方程为：（x2）2+（y3）2=16（3）解：假设存在直线l使得|AF|CF|=|BF|DF|，设=，则，设C（x3，y3），D（x4，y4）则（x1，1y1）=（x2，y21），（x4，1y4）=（x3，y31），x1=x2，x4=x3把x1=x2代入x1+x2=4k，x1x2=4，可得 把y=kx+1代入椭圆+=1的方程可得（3k2+6）x2+6kx1=0，x3+x4=，x3x4=与x4=x3联立可得，联立可得，化为k2=1，解得k=1因此满足条件的直线存在：y=x+1点评：本题考查了抛物线与

47、椭圆的标准方程及其性质、直线与抛物线椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量坐标运算、圆的标准方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题15（2015上海模拟）已知抛物线C：y2=2px（p0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l交抛物线C于两个不同点D、E设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由考点：

48、直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由于过点M（p，0）与抛物线有两个交点，设l：x=my+p，与抛物线方程联立可得y22pm2p2=0，利用根与系数的关系即可得出；（2）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点P的纵坐标为=pm，代入l：x=my+p可得P（pm2+p，pm）由于l与l互相垂直，将点P中的m用代，得Q再利用中点坐标公式可得N（x，y），消m即可得出解答：（1）证明：过点M（p，0）与抛物线有两个交点，设l：x=my+p，联立得y22pm2p2=0，y1y2=2p2（2）解：依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点P的纵坐标为=

49、pm，代入l：x=my+p得+p，即P（pm2+p，pm）由于l与l互相垂直，将点P中的m用代，得Q设N（x，y），则消m得，由抛物线的定义知存在直线x=，点，点N到它们的距离相等点评：本题考查了抛物线的定义及其不知方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（2014陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线C2：y=x2+1（y0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为（）求a，b的值；（）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B

50、），若APAQ，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：向量与圆锥曲线分析：（）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2；（）由（）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y0），设其方程为y=k（x1）（k0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（k1，k22k），利用=0，可求得k的值，从而可得答案解答：解：（）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点设C

51、1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2a=2，b=1（）由（）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y0）易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x1）（k0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点P（xp，yp），直线l过点B，x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得xp=，从而yp=，点P的坐标为（，）同理，由得点Q的坐标为（k1，k22k），=（k，4），=k（1，k+2），APAQ，=0，即k4（k+2）=0，k0，k4（k+2）=0，解得k=经检验，k=符合题意，故直线l的方程为y=（x1），即8x+3y8=0点评：本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题