武大数学建模培训：多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型

1、层次分析法建模层次分析法(ahp-analytichiranyprocess)-多目标决策方法70年代美国运营学家TLSatty提出的是一种结合定性和定量分析的多目标决策分析方法论。 吸收和利用行为科学的特征，量化了决策人的经验判断，在目标(要素)结构复杂且缺少必要的数据时，采用该方法很实用，是系统科学中常用的系统分析方法，因此已成为系统分析的数学工具之一。研究传统常用的自然科学和社会科学的方法如下机制分析方法：利用经典数学工具分析观察到的因果关系统计分析方法：利用大量观测数据求出统计规律，用随机数学方法描述现象规律。基本内容： (1)多目标决策问题例子AHP建模方法(2)AHP建模方法的基本

2、步骤(3)AHP建模方法的基本算法(3)AHP建模方法理论算法应用的几个问题。参考书： 1、姜启源、数学模型(第二版，第九章)第三版，第八章)，高等教育出版社2、程理民等运营学模式和方法教程(第10章)，清华大学出版社3，运筹学编制小组，运营计划学(修订版)，第11章，第7节，清华大学出版社一、问题的例子：a .大学毕业生的就业选择问题大学毕业学位的毕业生在“双向选择”的情况下，使用者和毕业生有各自的选择标准和要求。 对毕业生来说，选择职场的标准和要求是多方面的。 例如，有以下内容能发挥自己的才能，为国家做出好的贡献(职场适合发挥专业)。工作收入好(待遇好)生活环境好(大城市、气候等工作条件等

3、)职场的评价很好(评价-Reputation )工作环境好(人际关系的协调等)发展晋升(promote、promotion )的机会多(新部门和部门的发展有后劲)等。问题：现在很多使用者都可以给他选择，所以他面临着很多选择和决定。 问题是他如何作出决定和选择或者他用什么方法重新排列了可以选择的岗位？工作的选择生活环境工作环境名声收入发展贡献可选择的单位p 1p 2-pnb .休假旅行目的地的选择暑假有三个观光地。 比如：苏州杭州，北戴河，桂林，到底去哪里旅游最好？我必须做出决策和选择。 因此，通过比较3个观光地的特征，如景色费用居住环境旅行条件等，确立决策标准，最后确定了可以综合评价选择的最佳

4、方案。选择观光地目标层住着旅途景色费用饮食基准层P1P2P3程序层c .资源开发的综合判断7种金属可以开发，开发后对国家的贡献可以通过两个比较得到，决定先开发哪个资源，效用最高。经济发展、贡献u经济价值战略重要性交通条件要求量风险费开采费金PS！铝铝铝钿Ur磷酸根铁铟铜Co二、问题分析：例如，观光地的选择问题：一般来说，该决定问题可以按以下顺序进行(S1 )将决策分解为以下三个级别目标楼层：(选择观光地)标准层：(景色、费用、居住、饮食、旅行等5个标准)程序级别：(有，三个选择位置)用直线连接各阶层。(S2 )对各规范目标的权重、各方案对各规范的权重相互比较。 这些权限的重量在人的思考过程中总

5、是定性的。例如，经济健康的人：把景色作为第一选择中老年：把居住、饮食作为第一选择经济不好的人：费用低是第一选择。分层分析方法必须提供确定权重的定量分析方法。(S3 )综合提案后的基准层的权重和基准后的目标层的权重。(S4 )最终导出计划层对目标层的权重，做出决定。以上步骤和方法是PS的决策分析方法。三、确定各阶层相互比较的方法对比较矩阵和权重向量在决定各层次的各要素间的权重时，由于仅靠定性的结果很难被他人接受，因此Santy等人提出了一致矩阵法即，1 .不是将所有的要素一起比较，而是比较两个要素2 .此时采用相对尺度，尽量减少性质不同的各要素相互比较的困难，提高精度。因素比较方法对比较矩阵法：

6、目的是比较某一级别的要素对高级别的要素o的影响(例如，在观光决策解中，比较景色等5个标准在选择观光地的目标中很重要)。采用的方法是这样的方法，其中每次采取两个元素，比较它对目标元素o的影响，并用表示，所有比较的结果都用配对比较矩阵表示(1)由于上述配对比较矩阵具有特征可以称为正反矩阵。 显然，有以下情况：例如，在旅行决策问题上=表示以下内容：所以：=表示以下内容：也就是说，景色是4，居住是1。=表示以下内容：也就是说，费用的重要性是7，居住的重要性是1。因此，比较矩阵如下所示问题：稍微分析一下，发现了上述配对比较矩阵的问题也就是说，存在以下要素的不匹配以上：这些内容包括：矩阵内的因为配对比较矩

7、阵的比较次数太多，要素的比较次数次因此，存在如何改造为比较矩阵，不能决定对上位要素o的各要素的权重的问题与此相对，Saoty提出了在配对比较发生不一致的情况下，计算各要因(上位要因) o的权重的方法，并确定了该不一致的容许误差范围。因此，首先将比较矩阵的完全一致对视为比较完全一致4 :一致性矩阵Def :有正反对的比较矩阵(4)除去满足： (I )正反性：即然后，(ii )一贯性：即满足上述条件的正反对称矩阵a被称为匹配性矩阵，简称为一致矩阵。一致性矩阵(一致性矩阵)的性质：性质1 :的秩Rank(A)=1唯一的非零特征根是n性质2 :任何列(行)向量都是与特征根对应的特征向量即，某个(特征向

8、量、特征值):的双曲正切值满意：也就是说启发和思考：既然一致矩阵具有以上性质，那么就由n个元素W1、W2、W3、 wn组成的向量是一致矩阵的特征向量，对于一致矩阵，在求出一致矩阵的特征向量后，可以将一致矩阵的特征向量标准化后的矩阵看作各要素W1、W2、W3、Wn目标o的权重向量。 因此，通过求出一致矩阵的特征根和特征向量，可以求出元素W1、W2、W3、Wn的针对目标o的权重向量。说明：所谓一致矩阵，就是物体，各自的重量，把他们两个比较重量，其比构成一致矩阵，用重量向量右乘的话：分析：在重量向量未知的情况下，决策者主观地判断物体间的两个比较关系，或者用Delphi (调查方法)来确定这些比，使矩

9、阵(不一定一定具有一致性)已知，记录主观判断的矩阵是(主观)判断矩阵，并且由于它们在不一致的容许范围内，特征根或特征向量连续地依赖于矩阵的要素，即在离一致性的要求不太远的情况下，特征根和特征量(向量)与一致矩阵的特征根和特征向量并不有很大的不同：从特征向量到权重向量问题：标记使用以上讨论的特征性根求权重向量的方法和想法，在理论上应该解决以下问题1 .一致阵列的性质1是一致阵列的最大特征根(即必要条件)，但在利用特征根求特征向量的情况下，应该回答充分的条件，即在正逆矩阵中是否存在正的最大特征根和正的特征向量，并且对于正逆矩阵的最大特征根，一致矩阵2 .使用主观判断矩阵的特征根和特征向量连续地近似

10、一致矩阵的特征根和特征向量，即获得：也就是说理论上是否有根据。3 .一般来说，主观判定矩阵在接近一致矩阵的过程中被邻近的代替(即这种近似的替代一致矩阵的做法)通过指定所发生的偏差估计问题(即一致性检查的判定指标)，以指定在什么样的容许范围内可接受主观判定矩阵这个问题是一贯性检查问题的内容。以上三个问题：前两个问题可以在数学上严格得到(参见教材p35、定理1、定理2 )。 第三个问题： Satty给出了一致性指标(Th1，Th2介绍如下)。附属：Th1: (教材p26，perronTh比隆1970 )对于正矩阵(的所有要素都是正数)(1)的最大特征根是正单根(2)与正的特征向量相对应(的所有分量

11、都是正数)(3)在此，半径向量是对应的标准化特征向量.证明：可以通过使(3)成为标准形来证明Th2 :阶正反阵列a的最大特征根当时是一致的五、一致性检查一致性指标：1 .完整性检查指标的定义和决定的定义：当人们对复杂事件的每一元素采用两个比较时，获得的主观判断矩阵存在误差(和误差估计问题)，因为它不能直接确保正逆矩阵是匹配的正逆矩阵。 这种误差必然导致特征量和特征向量之间的误差。 在这种情况下，问题和问题之间会产生差异。 (在上述问题中是主观的判断矩阵的特征量，是有偏差的相对权重向量)。 这是由判定矩阵的不匹配引起的。因此，为了避免误差过大，我们给出了测量主观判断矩阵一致性的判断标准。因为。主

12、观判断矩阵一致时：如果匹配，则可以此时存在唯一的非o特征根(一致数组的性质1:Rark(4)=1，具有唯一的非o最大特征根，并且)主观判断矩阵不是一致矩阵时，此时一般有(Th2 )此时，需要：也就是说因此，可以将其平均值作为验证主观判断矩阵的基准、匹配性的指标也就是说很明显：(1)当时有：完全一致(2)值越大，主观判断矩阵的完全一致性越差，即背离越大(基于将特征向量设为权重向量的误差越大)。(3)一般认为主观判定矩阵的匹配性是可以接受的，否则，应该重新进行两个比较来建立主观判定矩阵。2 .随机一致性检查指标问题：实际操作时，主观判断矩阵的维数越大，判断的一致性越差，所以应该缓和高维矩阵的一致性

13、要求。 因此，导入修正值来修正一致性检查指标。 也就是说，定义的修改值表如下的维数1 2 3 4 5 6 7 8 90.000.000.580.961.121.241.321.41.45定义新的一致性检查指标随机完整性检查指标的说明：为了确定不匹配程度的容许范围，有必要确定所测量的匹配性指标的基准。 Satty导入了随机的一贯性指标，其定义和计算过程如下对于固定的随机结构的正逆矩阵，该元素从19和1随机取值，并且满足和的相互性，即：之后计算出的一致性指标非常不一致，因此在这种情况下，值相当大这种结构相当多，把它们的平均值作为随机的一致性指标。 Satty对于不同的11 )，使用100500个样

14、本，算出上表所示的随机匹配性指标作为校正值表。3 .完整性检查指标的定义完整性比率。从随机性检查指标可以看出当时，这是因为一二楼的正反总是一致的。的配对比较序列，其匹配性指标与同一层的随机匹配性指标之比简称为匹配性比率即，有匹配性检查指标定义匹配性比率定义：情况：主观判断矩阵的不一致程度在容许范围内，将其特征向量作为权重向量使用。 否则，就成对地建立新的主观判定矩阵。注：上式的选择具有主观可靠度。六、标度比较标度解：在构筑正逆矩阵时，在比较两个性质可能不同的要素和对上位要素o的影响时，应该采用什么样的相对刻度，即，要素的值为(19)或(1 )以上的数字，Satty以19的尺度最好，即，值为19

15、或其可知阶跃矩阵只要作成判定值即可刻度定义13579二，四，六，八倒数1要素和要素一样重要要素比要素重要一点因素比因素重要因素比因素重要得多要素绝对比要素重要因素和因素重要性的比较值处于上述两个相邻等级之间比较要因和要因而得到的判定值相互为倒数注意：以上比较的比例Satty使用了多个比例比较层，我们得出的结论是，19的比例不仅在比较简单的比例中是最好的，而且比较的结果也不比比较复杂的比例差。 Satty使用的比较比例如下13、15、16、111及 ，其中 ，其中等共27种比较尺度，对放置在不同距离上的光源的亮度进行比较判断，生成比较矩阵，计算权重矢量。 将这些所计算出的权重向量与基于物理中的光强度定律和其他物理知识而获得的实际权重向量进行比较。 结果，19的比较尺度不仅简单，效果也高(至少没有比其他更复杂的尺度差)。因此，用19的尺度构成比较矩阵的元素是合适的。七、组合权重向量的计算层次总排序的权重向量的计算层次分析法的基本思想：(1)计算对下一层的各要素