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文档简介

1、Legendre (Legendre)多项式及其性质I. Legendre多项式Legendre多项式是从Legendre方程的一般解导出的，因此，如果先引入Legendre方程和Legendre方程的幂级数解，则Legendre方程的表达式为：其中是非负实数(1.1)幂级数解决方案包括：(1.2)其中：(1.3)(1.4)正如Darumbel判别法所表明的，这两个系列的收敛半径可以是非整数(1.3)和(1.4)表达式的任意值，也可以是任意常量，并且是地块(-1，1)内和所有表达式(1.1)的解决方案，因此(1.2)上(1.3)和(1.4)幂级数是当时级数的收敛性，其他级数发散。并且，当取非负

2、整数时，我们发现和中的一个退化为闭区间-1，1的方程(1.1)的边界解的二次多项式。在这种情况下，适当地选择了这个多项式的最高阶次系数，结果多项式称为升序多项式或降序函数的第一类。从中导出Legendre多项式的表达式。正偶数退化为二次多项式。为了求的表达式，在中，我们通过表示其他每个项目的系数。为此，请用以下格式替换系数递归关系：(1.5)(1.5)在样式中：(1.6)习惯性(1.7)所以有：(1.8)(1.5)值得从样式中获取并使用。(1.9)一般来说，我们()(1.10)将这些系数导入到(1.3)中，并记录如下：(1.11)这是正偶数时的勒让德多项式。当绵羊奇数的时候退化为二次多项式，我

3、们可以记住：(1.12)用统一的形式写(1.11)和(1.12)，(1.13)此处表示的整数部分如上所述，对于非负整数，和有一个legend多项式，有另一个legend多项式，由第二类Legendre函数写入，此时方程式(1.1)解释为：(1.14)特别是(1.11)和(1.12)表达式：图形如下：二.勒让德多项式的性质首先介绍Legendre多项式的父函数。试验函数(1.15)展开的幂级数(1.16)可以证明系列展开模式的系数精确为Legendre多项式(1.17)因此，称为Legendre多项式的父函数。1.(1.18)如果用样式(1.17)中的替换，可以立即获得此结果。此表达式根据奇数函

4、数(如果是偶数，则为偶数，如果是奇数)描述奇偶。2.(1.19)得到替代式(1.17)而且所以自下而上和(1.18)可立即获得Legendre多项式的递归公式：(1.20)(1.21)(1.22)(1.23)(1.24)现在证明(1.20)和其他导出公式，使父函数分别具有差异，即获取以下两个id(1.25)(1.26)可以从格式(1.25)和(1.26)中获取(1.27)得到两个端点(1.17)，每个端点彼此分隔(1.28)(1.29)然后导入到(1.27)你会得到与衍生物的关系其他推导公式在这里并不一一证明。可以通过将格式(1.17)和(1.29)替换为格式(1.26)来获得上述系列的每个系数都为零，因此得到了结果这是递归公式，可以由，由，由，由，Legendre多项式的正交

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