第五章 电路的等效变换PPT

1、第五章 电路的等效变换,本章概述,本章主要介绍电路的等效变换概念，内容包括：电阻的串并联等效变换，电阻的Y型连接和形连接等效变换，电源的串、并联等效变换，实际电源的两种模型及其等效变换以及输入电阻的计算等。 在电路分析中，常把某一部分电路作为一个整体看待。如果这个整体只有两个端钮与电路其他部分相连接，则称这个整体为二端网络（或一端口网络）。二端网络的整体作用相当于一条支路。二端网络外部端子的电压与端电流之间的伏安关系称为外特性。,如果两个二端网络N1和N2的外部特性完全相同，则称这两个二端网络N1和N2相互等效。在电路分析中，为了使电路得到简化，常用等效支路来代替结构比较复杂的二端网络。 应强

2、调指出，等效的意义是对网络外部电路而言的，两相互等效的网络内部并不等同。更通俗地讲，当电路中某一部分用其等效电路替代后，未被替代部分的电压和电流均应保持不变。这未被替代的部分仅限于等效电路以外，即“外部电路”。,51 电阻的串联和并联,一、电阻的串联 下图（a）所示的电路为n个电阻 的串联组合。,由KVL可知 因电阻串联时流经每个电阻的电流为同一电流,则 ， ， ，代入上式，即得 式中 (51) 此处的R 便是这几个电阻串联时的等效电阻，它大于其中任一个串联电阻。 电阻串联时，各个电阻上的电压为 (k=1,2,n) (52) 可见，串联电阻的电压与其电阻值成正比，上式称为电压分配律公式，或称分

3、压公式。,二、电阻的并联,下图（a）所示的电路为n个电阻的并联组合。,电阻并联时，各个电阻两端的电压为同一电压。由KCL可知，电阻并联电路的端电流为 （53） 式中 分别为电阻 的电导。而 (k=1,2,n) （54）,这里的G是n个电阻并联后的等效电导。相应的等效电阻R 为 或 （55） 电阻并联时，各电阻中的电流为 （56） 可见，各个并联电阻中的电流与各自的电导值成正比。上式称为电流分配律公式，或称分流公式。,例51如本例图所示的电路中， ， ， ， ， 求 。,解 由于电流源为恒流源，Rs并不影响R1、R2、R3中的电流分配。由题给条件，可知：,根据电流分配公式，则得,三、电阻的混联,

4、一个电阻性二端网络，其内部若干个电阻既有串联又有并联时，则称为电阻的串并联，或简称电阻的混联。就其端口特性而言，此二端网络可等效为一个电阻，简化的方法是将串联部分求出其等效电阻，并联部分求出其等效电阻，再看上述简化后得到的这些电阻之间的连接关系是串联还是并联，进而继续用电阻串联和并联规律作等效简化，直到简化为一个等效电阻元件构成的二端网络为止。,例52 本例图（a）、（b）所示电路均为混联电路，试求其等效电阻（图中各电阻的单位均为）,解 在图例52（a）中，R3与R4串联后与R2并联，再与R1串联。则其等效电阻为 对图例52（b）的电路，请大家一起来做一下。 其等效电阻R=12。,例53 本例

5、图（a）所示的电路，各电阻值均已给出，求ab间的等效电阻。,解 为了判断电阻的串、并联关系，应将电路中的节点标出。本例中对各电阻的连接而言，可标出4个节点a、b、c、d。先求得a、c节点间R1与R2并联的等效电阻为1，c、d节点间R3与R4并联的等效电阻为2，其余未被等效的电阻保留，并画出相应的等效电路图如例53图（b），进一步的简化由此图末端向端口继而用电阻串并联规律计算可得,四、几类特殊网络等效电阻举例,例54 本例图所示为一无穷大电阻网络， 各正方形网孔每一边的电阻都相同，均为R，求A、B之间的等效电阻。,解 设想在A、B两端点接入（并联）一个电源，其电压为U，并设A端点为高电势。接通电

6、源后，自A点馈入网络的电流大小为I，而从B点流出网络的电流大小也为I。即馈入网络的电流从A点流向无穷远，再由无穷远流回B点，继而由B点流出网络。 对于A点而言，从A点出发的4个支路，相对无穷远的地位都是一样的，则每一个支路的电流大小为 ，那么从A点流向无穷远的电流在AB支路上的大小为 ，其方向由A指向B。,同样，对于B点而言，电流从无穷远流回B点，在电流流回B点的4个支路中，其地位都是一样的。因此，经AB支路流回B的电流大小亦为 ，且方向由A指向B。 所以，AB支路的总电流为 对于AB支路,有以下电压、电流关系，即,所以 即 而 就是AB之间的等效电阻，其大小为 。 由此题可以看出，网络支路中

7、的电流具有叠加性质，这种求网络等效电阻的方法称为叠加法。,例55 本例图（a）所示为一无穷大电阻网络，网络中各电阻的大小相同，均为R ，试求A、B之间的等效电阻。,解 由于网络是无限大的电阻网络，因而AB之间的等效电阻与CD两点向右看过去的等效电阻可以认为相等，若用 代表CD两点向右看过去的等效电阻，则该无穷大的电阻网络可简化为例55图(b)的形式。 由此可得到以下关系式 因为 ,代入上式即可求得AB之间的等效电阻为 由于RAB必须为实数，所以AB之间的等效电阻为,例56 本例图（a）所示为一正方体形状的金属框，其各边的电阻均为R,试求AC1两点之间的等效电阻。,解 若在A、C1之间接上电源，

8、设A点的电势高于C1点的电势，由对称性可知，A1、B、D为等势点，B1、C、D1也为等势点，则本例图（a）的电路可简化为图（b）,由此即得A、C1两点间的等效电阻为,52 电阻的星形连接与三角形 连接的等效变换,在网络中把三个电阻元件连接成图（a）的形式，称为电阻的Y形连接（或星形连接），该网络称为Y形网络或星形网络（有时亦称T形网络）； 如果把三个电阻元件连接成图（b）的形式，则称为电阻的形连接（或三角形连接），该网络称为网络或三角形网络（有时亦称形网络）,在网络分析中，往往需要将上述两种电阻网络作等效变换。而在这两种电阻网络进行等效变换时，必须遵循对外部电路等效的原则。即要求它们对应的三个

9、端子1、2、3之间具有相同的电压U12、U23、U31，同时，流入对应端子的电流应分别相等，即i1= i1, i2= i2, i3= i3，这便是Y电阻网络等效变换的条件。,由KCL和KVL可以证明，从电阻的Y形连接变换成形连接，各电阻之间的变换关系为 （57） 从电阻的形连接变换成电阻的Y形连接，各电阻之间的变换关系为 （58）,如果电路对称，即当 则它们之间的变换关系为,例57本例图(a)所示为一桥式电路，已知R1=50,R2=40,R3=15,R4=26,R5=10,试求此桥式电路的等效电阻。,解 将R1、R5、R2组成的形连接替换成由R6、R7、R8组成的Y形连接，如本例图（b）,如图

10、（b）所示,由电阻Y之间的变换公式，可知,应用电阻串并公式，可求得整个电路的等效电阻为,53电源的串联和并联,一、电压源的串联 下图（a）为n个电压源的串联，根据KVL很容易证明这一电压源的串联组合可以用一个等效电压源来替代，如图（b）所示，这个等效电压源的电压为 (59) 式中，uSk的参考方向与图（b）中的uS的参考方向一致时取“”号，不一致时则取“”号。,二、电流源的并联,图（a）为n个电流源的并联，根据KCL，这一电流源的并联组合可以用一个等效电流源来替代，如图（b）所示，这个等效电流源的电流为： (510) 式中，isk的参考方向与图（b）中is的参考方向一致时取“”号，不一致时取“

11、”号。,补充：电压源与电流源的串联与并联,1、电压源与电流源的串联 这两种电源互相串联是允许的。如图表示的是一个电压源与一个电流源的串联。 根据KCL， 根据KVL， 任意实数（因电流源的端电压 为任意实数）,所以，此二端网络的端口电压电流关系为 对任意的u，uR， 这个关系恰恰与电流源所具有电压电流关系相吻合。于是，此网络可以用一个电流源（见图）来等效，只要后者的电流为iS。 对多个电压源和多个电流源的串联，此结论同样有效。,2、电压源与电流源的并联 这两种电源互相并联是允许的。如图表示的是一个电压源与一个电流源的并联。 根据KVL， 根据KCL， 任意实数（因电压源的端电流 为任意实数）,

12、上二式表明，此网络的端电压取确定值而端电流取任意值，前者不受后者影响。显然，这种关系恰与一个电压源所具有的电压电流关系吻合。 于是有：一个电压源与一个电流源相并联可用一个单独的电压源来等效(如图所示），只要电压源的电压为uS。,54 含源二端网络的等效变换,图(a)所示为电压源us与电阻R相串联的二端网络，在其端子11处的电压u与（输出）电流i（其外部电路在图中没有画出）的关系为 (511) 图（c）所示为电流源is与一电导为G的电阻相并联的二端网络，在其端子11处的电压u与（输出）电流I的关系为 (512),比较式 和 可知，若满足下列条件 (513) 则两式完全等同，也就是说在端子11处的

13、u和i的关系完全一样。由此可以得出结论，在满足式（513）的条件下，一电压源和电阻串联的二端网络与一电流源和电导并联的二端网络可以相互等效变换（注意us和is的参考方向，is的参考方向由us的负极指向正极）。,任意线性二端网络，如果能测出（或算出）它的开路电压和短路电流，就可用一电压源与电阻串联的支路或一电流源与电阻并联的分支电路进行等效替换。 应强调指出，上述含源二端网络的等效变换仅限于在保证端子11外部电路的电压、电流和功率相同时的等效变换（即只对网络外部等效），对内部并无等效可言。,例58 求本例图(a)所示电路中电流i的大小。,解 这是一个“综合等效”题，应用含源二端网络的等效变换，电

14、流源并联，电压源串联，电阻的串并联知识，可将图（a）相继作图 的等效变换，如图所示，对最终的等效简化电路（d）由KVL可求得,例59 本例图（a）所示电路中，已知uS=12V，R=2,VCCS的电流受电阻R上的电压uR控制，且iC=guR,g=2S，求uR。,解 应用含源二端网络的等效变换，把电压控制电流源（VCCS）和电导的并联组合变换为电压控制电压源（VCVS）与电阻的串联组合，如图（b）则 (1) 由KVL ,注意到uR=Ri,可得 (2) 联立式（1）、（2）解得,55 网络的输入电阻,一个二端网络，对其端口来说，从它的一个端子流入的电流一定等于从另一个端子流出的电流。如果一个二端网络内部仅含电阻，应用电阻的串、并联和Y变换等方式，可以求得它的等效电阻。 如果一个二端网络内部除电阻外，还含有受控源，但不含任何独立源，可以证明，无论其内部如何复杂，其端口电压与端口电流总是成正比。因此可定义二端网络其端口的输入电阻为 (514) 式中u为二端网络的端口电压，i为端口电流。,二端网络端口的输入电阻也等于其端口的等效电阻，但两者的含义是有区别的。求二端网络端口等效电阻的一般方法称为电压、电流法，即在二端网络端口加以电压源uS,，然后求出端口电流i或者在其端口加以电流源iS，然后求出端口电压u，再根据式(514)，即可求得其输入电阻的大小。在电路技术中，测量