平面应变条件下M-C材料屈服时的中主应力公式

1、文章编号平面应变条件下M-C材料屈服时的中主应力公式邓楚键，郑颖人，朱建凯（后勤工程学院，重庆 400041）摘 要：基于Mohr-Coulomb准则，通过引入罗德角参数及Mohr-Coulomb准则平面应变等效广义Mises准则，推导了平面应变条件下材料屈服时的中主应力公式，并给出它与基于SMP准则的平面应变中主应力公式之间的关系式。对平面应变条件下的条形地基进行了有限元数值模拟，计算结果验证了本文推导的平面应变条件下M-C材料屈服时的中主应力公式的正确性。关 键 词：Mohr-Coulomb；罗德角参数；中主应力公式；SMP准则；有限元中图分类号：TU 443 文献标识码：AFormula

2、 of Intermediate Principal Stress at Failure For Mohr-Coulomb Material in Plane Strain State Deng Chu-jian , Zheng Ying-ren, Zhu Jian-Kai( Logistical Engineering University, ChongQing, 400041,China)Abstract: Based on Mohr-Coulomb yield criterion , the Formula of Intermediate Principal Stress at Fail

3、ure For Mohr-Coulomb Material in Plane Strain State were obtained by analyzing the Lode angle parameter and the general Mises yield criterion matched Mohr-Coulomb yield criterion in Plane Strain State . Second, The relation of the Intermediate Principal Stress at Failure in Plane Strain State betwee

4、n Mohr-Coulomb Material and SMP Material is put forward. Finally , a foundation under plane strain condition was analyzed by FEM and the computational Results shows the formula is correct.Key words: Mohr-Coulomb yield criterions; Lode angle parameter; The Formula of Intermediate Principal Stress; SM

5、P;FEM1 引 言平面应变状态是岩土工程中广泛存在的一种应力状态，如边坡、条形地基、挡墙等。在平面应变条件下对岩土体进行强度和变形分析是在岩土工程中经常遇到的一个问题。除了三轴应力状态以外，对于岩土体平面应变的研究是最多和历史最长的课题之一1。由于岩土的强度和变形与其所受到的应力状态密切相关，因此，如何简单、合理的确定外荷载作用下岩土体中的应力状态，就成为对岩土体进行强度和变形的基础。在平面应变条件下，中主应力的确定是比较困难的。例如，在室内试验中常按如下两种方法确定2：一是在中主应力方向的刚性板与试样之间放置充水袋，通过量测袋中孔隙水压力的变化来确定中主应力；另一种方法是直接量测为使试样保

6、持平面应力状态而需施加在刚性板上的作用力，进而间接的计算出中主应力。显然，这两种方法不仅试验复杂，而且对仪器要求也比较高，试验中的岩土体也不知道是弹性状态还是塑性状态。当采用非线性方法对岩土体进行强度和变形分析时，中主应力大多是通过虎克定律来计算，然而岩土体并不是弹性材料，这种方法也不可能较为简单、准确地确定中主应力。本文基于Mohr-Coulomb（简称M-C）准则，通过引入罗德角参数及M-C准则的平面应变等效广义Mises准则，推导了平面应变条件下材料屈服时的中主应力公式，为对岩土体进行强度和变形分析提供了有力的基础。1 Mohr-Coulomb准则自从1900年莫尔(O.Mohr)教授建

7、立了著名的M-C强度理论以来，大量的实验和工程实践已证实， M-C屈服准则能较好地描述岩土材料的强度特性，因而在岩土工程领域得到了广泛的应用。由于M-C屈服准则没有考虑中主应力的影响，因此M-C材料屈服时的中主应力的计算也就没有引起人们的注意。对于一般受力下的岩土，所考虑的任何一个受力面，其极限抗剪强度通常可用库仑定律表示： （1）式中为极限抗剪强度，为受剪面上的法向应力（假定以拉为正），、分别为岩土材料的粘聚力及内摩擦角。利用莫尔定律，可以把（1）式推广到平面应力状态而成Mohr-Coulomb准则（参见图1）： (2)其中是莫尔应力圆半径，可表示为： (3)这样（1）还可以表示为： (4)

8、或 (5) 图1 Mohr-Coulomb准则Fig 1 Mohr-Coulomb yield criterion2 平面应变条件下与M-C匹配的广义Mises准则3(关联流动法则情况下)广义Mises准则可以表达如下： (6)按照岩土塑性理论，得与广义Mises准则相联系的流动法则为： (7)在平面应变条件下，如设在屈服时，弹性应变不变，故可得：，从而从（7）式可得： 得 ； (8)由此 或 (9)而 由于，则有同样可得 因而 整理可得： (10)将(9)、(10)代入(6)，可得： (11)把(11)与(2)相比，可得： (12)由此可得： (13)上式便是平面应变条件下与M-C精确匹配的

9、广义Mises准则(关联流动法则情况下)，此式最早由Drucker-Prager提出，因此又称Drucker-Prager屈服准则，是M-C内切圆准则。3 平面应变条件下M-C材料屈服时的中主应力公式引入应力洛德角参数，M-C屈服准则可表达如下式4： (14) 其中上式中以（应力张量的第一不变量）、（应力偏量的第二不变量）、（应力洛德角）表示。对式（14）中进行变换可得： (15)(15)式中当取不同的值时，可以得到系列广义Mises准则。将(14)式对进行微分，并使之等于零，这时取得极值，此时与M-C精确匹配的广义Mises准则表达式5为： (16)其中此时对应的广义Mises准则为M-C内

10、切圆屈服准则，联系前面推导的平面应变条件下与M-C精确匹配的广义Mises准则(关联流动法则情况下)，两者相互吻合。由于不同的应力状态对应不同的M-C精确匹配的广义Mises准则4，故平面应变条件下M-C材料的屈服应力满足下述关系： (17)即 (18)由此可得： (19)上式便为本文推导的平面应变条件下M-C材料屈服时的中主应力公式。由于屈服时满足下式(M-C准则)： (20)当时，(19)式便为下式： (21)这就是金属等纯粘聚性材料在平面应变条件下屈服时的中主应力公式，与文献6,7一致。对于无粘结纯摩擦M-C材料，屈服时满足下式： (22)此处假设压应力为正，有： (23)上式说明对于无

11、粘结纯摩擦M-C材料，中主应力满足下式： (24)另外，佐武根据相关联流动法则和SMP准则推导出纯摩擦材料在平面应变条件下的屈服时的应力条件8： (25)上式与(24)有一定的出入，这是因为两者推导时用的屈服准则不一致，一个用的是M-C准则，另一个用是SMP准则。比较(24)和(25)两式，可以发现两者在相同的情况下，基于SMP准则的中主应力比基于M-C准则的中主应力要大些，它们满足下式： (26)式中为平面应变条件下的M-C准则的内摩擦角。4 算例验证光滑刚性条形地基的极限承载力问题的基本理论基础源于Prandlt解，对一个承受均匀垂直荷载的半无限、无重量地基，其极限承载力可以通过极限分析求

12、得其精确解为： 在的情况下。图2 有限元剖分Fig.2 FEM Meshing这是一个典型的平面应变问题，考虑其对称性，有限元模型如图2所示。取，。采用有限元软件ANSYS对该问题进行求解。关于极限荷载的求解，文献9已有详细的阐述，本文不再重复。表1是不同的工况下取得极限荷载时塑性区内一些节点的主应力信息(、)及按照(19)计算的中主应力，以拉为正。从表1中可以看出，在不同的的情况下，本文中主应力公式计算的结果和有限元计算的结果吻合的非常好，最大误差仅为0.46，这有力的说明了本文推导的平面应变条件下材料屈服时的中主应力公式是正确的。表1 有限元计算的中主应力与公式计算的中主应力Tab.1 T

13、he Intermediate Principal Stresses got by FEM and by the Formula of Intermediate Principal Stress节点编号/-11-31.56-41.56-51.55-41.560.00002-31.75-41.72-51.70-41.720.000030.11-9.87-19.86-9.870.00064-23.90-33.37-42.85-33.370.00005-32.04-42.02-52.01-42.020.00006-24.24-33.78-43.32-33.780.00007-2.20-12.12-2

14、2.03-12.120.00018-8.27-17.96-27.64-17.95-0.00029-15.88-25.74-35.60-25.740.000110-9.17-19.00-28.84-19.000.0001表1 有限元计算的中主应力与公式计算的中主应力(续)Tab.1 The Intermediate Principal Stresses got by FEM and by the Formula of Intermediate Principal Stress (continue)节点编号/-11-43.52-68.23-85.63-68.230.00002-39.33-62.7

15、2-79.11-62.67-0.00073-43.17-67.75-85.05-67.74-0.00014-32.39-53.30-67.76-53.14-0.00285-43.56-68.24-85.61-68.23-0.00016-33.00-54.27-69.04-54.15-0.002270.91-12.84-22.53-12.840.00048-1.66-15.99-26.08-15.99-0.00029-12.28-28.92-40.55-28.87-0.001810-9.23-25.39-36.76-25.38-0.0002表1 有限元计算的中主应力与公式计算的中主应力(续)Ta

16、b.1 The Intermediate Principal Stresses got by FEM and by the Formula of Intermediate Principal Stress (continue)节点编号/-11-58.35 -118.2-147.5 -118.20.00012-49.30 -102.1-127.8 -102.0-0.00123-0.04 -19.23 -28.64 -19.230.00024-46.67 -96.20 -119.8 -95.76-0.00465-48.02 -98.88 -123.3 -98.53-0.00366-27.53 -6

17、5.69 -84.34 -65.65-0.000570.96 -17.52 -26.60 -17.530.00048-14.74 -43.93 -58.18 -43.89-0.00099-0.63 -20.20 -29.80 -20.200.000110-6.30 -29.77 -41.26 -29.76-0.0004注：上述三个表中所取得的节点并不一定相同，它们都是在各自的塑性区内任意选取的。5 结语（1）基于Mohr-Coulomb准则，通过引入罗德角参数及Mohr-Coulomb准则平面应变等效广义Mises准则，推导了平面应变条件下M-C材料屈服时的中主应力公式，并给出了平面应变条件下

18、M-C材料屈服时的中主应力与SMP材料屈服时的中主应力之间的关系式。（2）对平面应变条件下的条形地基进行了有限元数值模拟，屈服时中主应力的有限元计算结果与本文推导的平面应变条件下M-C材料屈服时的中主应力公式的计算结果吻合地非常好，这表明该公式是正确的。（3）本文公式为进一步研究中主应力的强度效应以及Mohr-Coulomb准则的修正提供了一定的基础。参考文献1 李广信，黄永男，张其光. 土体平面应变方向上的主应力J. 岩土工程学报，2001，23(3)：58-61 LI Guang-Xin, HUANG Yong-Nan, ZHANG Qi-Guang. The Principal Stre

19、ss of Soil in the Direction of Plane StrainJ.Chinese Journal of Geotechnical,2001，23(3): 58-612 史宏彦，刘保健.确定平面应变条件下无粘性土中主应力的一个经验公式J西安公路大学学报，2001，21(1)：19-22 SHI Hong-Yan, LIU Bao-JIian. An Empirical Formula Determining Intermediate Principal Stress of Cohesionless Soil under Plane Strain ConditionJ.Jo

20、urnal of Xian Highway University ,2001,21(1):19-22 3 郑颖人，沈珠江，龚晓南广义塑性力学岩土塑性力学原理M北京：中国建筑工业出版社，20024 邓楚键，何国杰，郑颖人. 基于M-C准则的D-P系列准则在岩土工程中的应用研究J. 岩土工程学报，2006，28(6) Study on the Drucker-Prager yield criterions based on the M-C yield criterion and Application in the Geotechnical engineeringJ.Chinese Journal

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