弯曲变形+简单超静定问题课件

1、第五章 梁弯曲时的位移,2020年6月22日星期一,第一节 梁的位移挠度及转角,2,弯曲变形+简单超静定问题,第一节 梁的位移挠度及转角,一、挠曲线,在平面弯曲情况，梁变形后的轴线将成为xoy平面内的一条曲线。这条连续、光滑的曲线梁的挠曲线。（弹性曲线）,3,弯曲变形+简单超静定问题,第一节 梁的位移挠度及转角,二、截面转角和挠度,（梁弯曲变形的两个基本量）,1 挠度：,梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴线（x 轴）方向上所产生的线位移，称为梁在截面的挠度。,C,一般情况下，不同 横截面的挠度值不同,横截面挠度随截面位置（x轴）而改变的规律用挠曲线方程表示。即：,符号规定：挠度向下为正，向上为

2、负。 单位：mm,4,弯曲变形+简单超静定问题,第一节 梁的位移挠度及转角,2 转角：,横截面绕中性轴所转过的角度,由梁弯曲的平面假设可知：梁的横截面变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线,A：曲线在C点的切线与x轴间的夹角,符号规定：转角从x轴逆时针转至切线方向为正，反之为负 单位：rad,5,弯曲变形+简单超静定问题,第一节 梁的位移挠度及转角,3 截面挠度与转角的关系：,挠曲线的斜率：,工程中由于是小变形， 极小。可用：,注：挠曲线上任意点处切线的斜率等于该点处横截面的转角,6,弯曲变形+简单超静定问题,第一节 梁的位移挠度及转角,弹性曲线的小挠度微分方程：,力学公式,数学公式,此即弹性

3、曲线的小挠度微分方程,7,弯曲变形+简单超静定问题,第一节 梁的位移挠度及转角,挠曲线近似微分方程,8,弯曲变形+简单超静定问题,第一节 梁的位移挠度及转角,挠曲线近似微分方程,：梁的弯曲方程,积分一次：,积分二次：,积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定,边界条件和连续光滑条件：梁上某些横截面处位移为已知的条件,9,弯曲变形+简单超静定问题,第二节 用积分法求弯曲变形,例题1 求该悬臂梁的最大挠度和转角,A,B,l,解：,建立坐标、写弯矩方程,B,代入挠曲线近似微分方程：,积分一次：,积分二次：,10,弯曲变形+简单超静定问题,第二节 用积分法求弯曲变形,例题1 求该悬臂梁的最大挠度

4、和转角,A,B,l,B,利用边界条件确定积分常数：,11,弯曲变形+简单超静定问题,第二节 用积分法求弯曲变形,例题2 求该简直梁的最大挠度和转角,q,A,B,解：,建立坐标、写弯矩方程,代入挠曲线近似微分方程：,积分一次：,积分二次：,12,弯曲变形+简单超静定问题,第二节 用积分法求弯曲变形,例题2 求该简直梁的最大挠度和转角,q,A,B,利用边界条件确定积分常数：,13,弯曲变形+简单超静定问题,第二节 用积分法求弯曲变形,例题2 求该简直梁的最大挠度和转角,q,A,B,14,弯曲变形+简单超静定问题,第二节 用积分法求弯曲变形,例题3 求该简直梁的最大挠度和转角,A,B,解：,建立坐标

5、、写弯矩方程,15,弯曲变形+简单超静定问题,第二节 用积分法求弯曲变形,积分一次：,积分二次：,16,弯曲变形+简单超静定问题,第二节 用积分法求弯曲变形,17,弯曲变形+简单超静定问题,第二节 用积分法求弯曲变形,18,弯曲变形+简单超静定问题,第三节 用叠加法求弯曲变形,叠加法：当梁上同时作用几个荷载时，在小变形情况下，且梁内应力不超过比例极限，则每个荷载所引起的变形（挠度和转角）将不受其它荷载的影响,即：梁上任意横截面的总位移等于各荷载单独作用时，在该截面所引起的位移的代数和,19,弯曲变形+简单超静定问题,第三节 用叠加法求弯曲变形,荷载叠加：将作用在梁上的荷载分解成单个荷载，利用单

6、个荷载作用下梁的挠度和转角的结果进行叠加，就可求得梁在多个荷载作用下的总变形,20,弯曲变形+简单超静定问题,第三节 用叠加法求弯曲变形,逐段刚化法：将梁分成几段，分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移，然后计算其总和,即：考虑某段梁的变形时，将其它梁段视为刚体，在利用外力平移计算其它梁段的变形，最后叠加,例题1 求该悬臂梁的最大挠度和转角,21,弯曲变形+简单超静定问题,第三节 用叠加法求弯曲变形,22,弯曲变形+简单超静定问题,第三节 用叠加法求弯曲变形,例题2 求梁跨中中点处的挠度。已知：抗弯刚度为EI,q,解：,q,23,弯曲变形+简单超静定问题,第三节 用叠加法求弯曲变形,例题3

7、 求A点处的挠度。已知：抗弯刚度为EI,l,a,解：,M,24,弯曲变形+简单超静定问题,第四节 提高梁刚度的一些措施,1 刚度条件：,例题1 已知：P1=2kN，P2=1kN。l=400mm，a=100mm，外径D=80mm，内径d=40mm，E=200GPa，截面C处挠度不超过两轴承间距离的10-4，轴承B处转角不超过10-3弧度。试校核该主轴的刚度。,解：,25,弯曲变形+简单超静定问题,第四节 提高梁刚度的一些措施,26,弯曲变形+简单超静定问题,第四节 提高梁刚度的一些措施,满足刚度条件,27,弯曲变形+简单超静定问题,第四节 提高梁刚度的一些措施,2 提高梁刚度的措施：,梁的变形不

8、仅与荷载、支承有关，而且与材料、跨度等也有关,（1） 提高梁的抗弯刚度 EI,对弹性模量来说，即使采用高强合金钢也只是增加了许用应力，但 E 值比较接近，（提高梁的抗弯强度的措施）。要增加梁的抗弯刚度还是需要考虑横截面的惯性矩,梁的变形与横截面的惯性矩成反比，增加惯性矩可以提高梁的抗弯刚度。（与提高梁的抗弯强度的办法相类似）,28,弯曲变形+简单超静定问题,第四节 提高梁刚度的一些措施,（2） 调整跨度,* 调整支承外伸梁,* 增加支承超静定（可减小变形，降低梁内最大弯矩）,29,弯曲变形+简单超静定问题,第五节 梁内弯曲应变能,纯弯曲,横力弯曲,30,弯曲变形+简单超静定问题,第六章 简单超

9、静定问题,61 超静定问题及其解法,一、关于超静定的基本概念,二、求解超静定问题的基本方法,一、关于超静定的基本概念,超静定问题与超静定结构未知力个数多于独立平衡方程数,超静定次数 未知力个数与独立平衡方程数之差,多余约束 保持结构静定多余的约束,静定问题与静定结构未知力(内力或外力)个数等于独立的平衡方程数,二、求解超静定问题的基本方法,因为未知力个数超过了独立的平衡方程数，必须寻找补充方程。,寻找补充方程的途径：,利用结构的变形条件,结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件：,1、结构的连续性,2、变形与内力的协调性,方法1：,寻找补充方程法（适用于求解拉压超静定）,36,弯曲变形+简单

10、超静定问题,变形比较法（适用于求解超静定梁）,1、建立相当系统：解除多余约束，代以多余约 束反力。,2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。,3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。,相当系统的内力图，应力和变形即为原超静定梁的结果。,方法2：,静平衡方程,补充方程,37,弯曲变形+简单超静定问题,6-2 拉压超静定问题,一、拉压超静定问题的求解,二、温度应力和装配应力,一、拉压超静定问题的求解,例题：求图示杆的支反力,解： AB 杆受力如图,由：,本问题为共线力系，只有一个独立平衡方程,得：,现有两个未知力，本问题为一次超静定问题,需要建立一个补充方程,变形条件：,物理条件：,补充方程：,40,

11、弯曲变形+简单超静定问题,图示结构,1、2杆的抗拉刚度相同，均为E1A1,3杆的抗拉刚度为E3A3，受力如图。,求：各杆的内力。,例题,本问题为一次超静定,对节点A,得到：,还需要建立一个补充方程,解：,结构变形特点：,变形前三杆汇交于A点，变形后三杆仍交于A点。,由于结构和受力的对称性，A点只有垂直位移。,43,弯曲变形+简单超静定问题,变形协调方程：,物理方程,44,弯曲变形+简单超静定问题,由变形协调方程和物理方程，可得到补充方程。,45,弯曲变形+简单超静定问题,平衡方程,补充方程,解得：,46,弯曲变形+简单超静定问题,图示结构,1、2杆的抗拉刚度相同，均为EA，AB杆为刚杆 ，受力

12、如图。 求：各杆的内力。,例题,47,弯曲变形+简单超静定问题,本问题为一次超静定,对杆AB,得到:,解：,48,弯曲变形+简单超静定问题,变形协调方程,由结构的变形图,得到,物理方程,补充方程,49,弯曲变形+简单超静定问题,补充方程,静平衡方程,联解(a) (c),得:,50,弯曲变形+简单超静定问题,二、温度应力和装配应力,1. 温度应力,静定结构中当温度变化时，内部不会产生应力。,超静定结构中当温度变化时，内部会产生附加应力。,温度应力：超静定结构因温度变化而产生的应力。,两端固支的直杆AB，长度为l ，抗拉刚度为EA，热膨胀系数为 l。,求：温度升高 后杆内的应力。,例题,52,弯曲

13、变形+简单超静定问题,解：,本问题为一次超静定,静平衡方程,变形协调方程,物理方程,联解，得：,53,弯曲变形+简单超静定问题,杆端的约束力为：,杆中的温度应力为：,温度应力与杆的横截面面积A，杆的长度 l 无关。,54,弯曲变形+简单超静定问题,杆中的温度应力为：,通过一组数据说明温度应力的大小：,钢材的热膨胀系数,求：温度升高 时的温度应力。,解：,温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免。,55,弯曲变形+简单超静定问题,温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免,常使用的方法：,1、结构中适当留一些间隙，（如钢轨,桥梁,水泥路面）,2、结构中适当采用伸缩节（如管道）,56,弯曲变形+

14、简单超静定问题,2.装配应力,静定结构中当结构尺寸有误差时，只会引起结构几何位置的变化，内部不会产生应力。,超静定结构中当构件尺寸有误差时，会引起强迫装配，从而内部会产生附加应力。,图示静定结构，1杆短，2杆长，装配时不会产生装配应力。,57,弯曲变形+简单超静定问题,装配应力：超静定结构因构件尺寸误差，引起强迫装配而产生的应力。,图示静不定结构，3杆短了，装配时会产生装配应力。,58,弯曲变形+简单超静定问题,图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为EA， 3杆比设计尺寸短了。,求：强迫装配后，各杆的轴力。,例题,59,弯曲变形+简单超静定问题,解：,对节点A,得到：,还需要建立一个补充方程,

15、本问题为一次超静定,60,弯曲变形+简单超静定问题,变形协调方程,物理方程,补充方程,61,弯曲变形+简单超静定问题,平衡方程,补充方程,解得：,62,弯曲变形+简单超静定问题,求：3根杆的装配应力。,图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为 EA， 3杆比设计尺寸短了，若：3根杆均为圆钢杆,例题,63,弯曲变形+简单超静定问题,解：,3根杆的装配内力为：,3根杆的装配应力为：,64,弯曲变形+简单超静定问题,3根杆的装配应力为：,65,弯曲变形+简单超静定问题,利用圆轴扭转时的变形条件可以求解扭转超静定问题。,两端固定的圆轴，受力如图。,求：两端的约束力偶矩。,6-3 扭转超静定问题,轴受力如

16、图,一次超静定,变形条件：,联解（1）（2），得：,67,弯曲变形+简单超静定问题,图示两种材料的组合杆，扭转刚度分别为： ,端头受一扭转力偶矩 作用 。,求：各杆所受的力偶矩。,例题,68,弯曲变形+简单超静定问题,物理方程：,将（3）、（4）代入（2），得补充方程,杆受力如图,变形条件：,解：,69,弯曲变形+简单超静定问题,联解（1）、（5）,解得：,70,弯曲变形+简单超静定问题,6-4 简单超静定梁,一、概述,三、简单组合结构的超静定问题,二、简单超静定梁,迄今为止，所研究梁的支反力都可以利用静平衡方程直接求得 静定梁,实际工程中，为了提高梁的强度和刚度，常用的方法为增加梁的支座 超

17、静定梁,支反力的数量 独立的平衡方程的数量,对于超静定梁：,一、概述,实例: 细长工件的 车削加工。,二、简单超静定梁,为了提高加工精度，增加尾顶针。,力学模型:,一次超静定梁,求解超静定梁的方法:,变形比较法,1、解除多余约束，代以多余约束反力，建立相当系统。,本问题中，解除支座B，代以多余约束反力FB。,2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。,本问题中，梁的变形条件为：,3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。,75,弯曲变形+简单超静定问题,解题过程如下：,对于相当系统有：,解得：,76,弯曲变形+简单超静定问题,作出梁的弯矩图,77,弯曲变形+简单超静定问题,特殊地，当 时，,若未加尾顶

18、针B，此时梁上的最大弯矩为：,78,弯曲变形+简单超静定问题,特殊地，当 时，,梁上最大挠度为：,未加尾顶针时梁上的最大挠度为,79,弯曲变形+简单超静定问题,合理地增加多余约束可以明显减小梁上的弯矩和变形。,80,弯曲变形+简单超静定问题,变形比较法,1、解除多余约束，代以多余约束反力，建立 相当系统。,2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。,3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。,相当系统的内力图，应力和变形即为原超静定梁的结果。,相当系统不是唯一的，但必须是静定系统。,81,弯曲变形+简单超静定问题,作出图示梁的剪力图和弯矩图。,例题,82,弯曲变形+简单超静定问题,取相当系统如图：,由梁的变形条件：,解得：,83,弯曲变形+简单超静定问题,取另一相当系统如图：,由梁的变形条件：,解得：,84,弯曲变形+简单超静定问题,求图示梁的最大弯矩。,在某些高次超静定问题中,合理地应用对称性分析可以降低超静定次数。,该问题理论上说，是三次超静定问题。,在忽略x方向的轴向力时，该问题简化为是二次超静定问题。,可取相当