2010上海市高考数学理科试卷(全解全析)

1、2010 年高考数学（理科）上海试题 班级_，学号_，姓名_ 一、填空题一、填空题（本大题满分 56 分，每小题 4 分） 1不等式 2 0 4 x x 的解集是_ 2若复数12zi （i 为虚数单位） ，则z zz_ 3若动点p到点(2,0)f的距离与它到直线20 x的距离相等，则p的轨迹方程为 _ 4行列式 cossin 36 sincos 36 的值是_ 5圆 22 :2440c xyxy的圆心到直线3440 xy的距离d 6随机变量的概率分布率由下图给出： x 7 8 9 10 ()px 0.3 0.35 0.2 0.15 则随机变量的均值是_ 72010 年上海世博会园区每天 9:0

2、0 开园，20:00 停止入园在右边的框 图中，s 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表 示整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_ 8对任意不等于1的正数a，函数( )log (3) a f xx的反函数的图像都 过点p，则点p的坐标是 9从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 1 张，事件a为抽得红 桃k，事件b为抽得黑桃，则概率()p ab （结果用最简分数表示） 10在 n 行 n 列矩阵 12321 23411 34512 12321 nnn nn n nnnn 中， 记位于第i行第j列的数为( ,1,2, ) ij a i jn。当9n 时

3、， 11223399 aaaa 11将直线 2: 0lnxyn、 3: 0lxnyn（ * nn，2n ） 、x轴、y轴围成的封闭图形的面积 否 是 开始 t9,s0 输出 t,s t19 tt1 输入 a 结束 （第 7 题图） 记为 n s，则lim n n s 12如图所示，边长为的正方形纸片 abcd 中，ac 与 bd 相交于 o，剪去aob，将剩余部分沿 oc、 od 折叠，使 oa、ob 重合，则以 a(b)、c、d、o 为顶点的 四面体的体积为 13如图所示，直线2x与双曲线 2 2 :1 4 x y的渐近线交于 12 ,e e 两点，记 1122 ,oee oee ，任取 双

4、曲线 上的点 p， 若 12 opaebe (a、br)， 则 a、b 满足的一个等式是_ 14从集合 , , , ua b c d的子集中选出个不同的子集，需同时满足 以下两个条件：) ,u都要选出； ) 对选出的任意两个子集 a、b，必有ab或ba； 则共有 种不同的选法 二、选择题二、选择题（本大题满分 20 分，每小题 5 分） 15. “2 4 xkkz ”是“tan1x ”成立的 答（ ） （a）充分不必要条件. （b）必要不充分条件. （c）充分条件. （d）既不充分也不必要条件. 16. 直线l的参数方程为 1 2 () 2 xt tr yt ，则l的方向向量d 可以是 答（

5、） （a） （，） （b） （，） （c） （2，） （d） （，2） 17. 若 0 x是方程 1 3 1 2 x x的解，则 0 x属于区间 答（ ） （a） （ 2 3 ，1） （b） （ 1 2 ， 2 3 ） （c） （1 3 ， 1 2 ） （d） （0，1 3 ） 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 11 1 , 13 11 5 ，则此人能 答（ ） （a）不能做出这样的三角形. （b）做出一个锐角三角形. （c）做出一个直角三角形. (d) 做出一个钝角三角形. 第 12 题图 第 13 题图 x o y e1 e2 三、解答题三、解答题（本大题满分 74

6、 分） 19.（本题满分 12 分） 19.（本题满分 12 分） 已知0 2 x ，化简： 2 lg(costan12sin)lg 2cos()lg(1 sin2 ) 24 x xxxx . 20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 5 分，第 2 个小题满分 8 分。 20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 5 分，第 2 个小题满分 8 分。 已知数列 n a的前n项和为 n s，且585 nn sna， * nn (1)证明：1 n a 是等比数列； (2)求数列 n s的通项公式，并求出n为何值时， n s取得最小值，并说明理由；

7、 21. （本大题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 8 分. 21. （本大题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 8 分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用s平 方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径r取何值时，s取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到 0.01 平方米）; (2)在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼 的底面半径为 0.3 米时，求图中两根直线 1335 ,a ba b

8、所在异面 直线所成角的大小， （结果用反三角函数表示）. 22.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 10 分。 22.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 10 分。 若实数x、y、m满足xmym，则称x比y远离m. （1）若 2 1x 比 1 远离 0，求x的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明： 33 ab比 22 a bab远离2ab ab； （3） 已知函数( )f x的定义域, 24 k dx xkz xr .任取x

9、d，( )f x等于sin x和cosx中 远离 0 的那个值写出函数( )f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分. 23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分. 已知椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，点p坐标为(, )a b， （1）若直角坐标平面上的点m、(0,)ab、( ,0)b a满足 1 () 2 pmpapb ，求点m的坐标； （2）设直线

10、 11 :lyk xp交椭圆于c、d两点，交直线 22 :lyk x于点e若 2 12 2 b k k a ， 证明：e为cd的中点； （3）对于椭圆的点( cos , sin ),(0)q ab，如果椭圆上存在不同的两个交点 1 p、 2 p 满足 12 pppppq ，写出求作点 1 p、 2 p的步骤，并求出使 1 p、 2 p存在的的取值范围 上海 2010 年高考数学（理科）试题详解详析 上海市高境第一中学 王大平 wdpfox 一、填空题一、填空题（本大题满分 56 分，每小题 4 分） 1不等式 2 0 4 x x 的解集是_ 【析】：解集为： 2 ( 4,2)(4)(2)0(4

11、)(2)00 4 x xxxx x ； 2若复数12zi （i 为虚数单位） ，则z zz_ 【析】： 2 |51262z zzzzii ； 3若动点p到点(2,0)f的距离与它到直线20 x的距离相等，则p的轨迹方程为 _ 【析】：由抛物线定义得：焦点为 2 (2,0),48fpyx； 4行列式 cossin 36 sincos 36 的值是_ 【析】： cossin 36 cos()0 36 sincos 36 或直接代值计算； 5圆 22 :244 0c xyxy 的圆心到直线3440 xy的距离d 【析】：圆心为 22 |314 24| 3 3 2 5 (1, )d ； 6随机变量的概

12、率分布率由下图给出： x 7 8 9 10 ()px 0.3 0.35 0.2 0.15 则随机变量的均值是_ 【析】：随机变量的均值为70.380.3590.2100.158.2 ； 72010 年上海世博会园区每天 9:00 开园，20:00 停止入园在右边的框 图中，s 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表 示整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_ 【析】：ssa； 否 是 开始 t9,s0 输出 t,s t19 tt1 输入 a 结束 （第 7 题图） 8对任意不等于1的正数a，函数( )log (3) a f xx的反函数的图像都 过点p，则点

13、p的坐标是 【析】：函数( )log (3) a f xx的图像恒过点( 2,0)，由互为反函数的 图像的关系知，点p的坐标是(0, 2)； 9从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 1 张，事件a为抽得红桃k，事件b为抽得黑桃， 则概率()p ab （结果用最简分数表示） 【析】：事件a、事件b为两个独立事件，所以有： 1137 ()( )( ) 525226 p abp ap b； 10在 n 行 n 列矩阵 12321 23411 34512 12321 nnn nn n nnnn 中， 记位于第i行第j列的数为( ,1,2, ) ij a i jn。当9n 时， 11223399

14、aaaa 【析】：矩阵中的元素经过9次元素的轮换，主对角线上的元素轮遍了9个数字，故： 11223399 12945aaaa ；也可将矩阵完整列出，再计算 11将直线 2: 0lnxyn、 3: 0lxnyn（ * nn， 2n ） 、x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为 n s， 则lim n n s 【析】：依题意，封闭图形如图所示： 直线 2: 0lnxyn、 3: 0lxnyn （ * nn，2n ）恒过定点(1,0),(0,1)， 且其交点为(,) 11 nn p nn （ * nn，2n ） ， 当n，三角形的第三个顶点无限接近(1,1)， 即limlim()1 naobabpaob

15、p nn ssss ； 12如图所示，边长为的正方形纸片 abcd 中，ac 与 bd 相 交于 o，剪去aob，将剩余部分沿 oc、od 折叠，使 oa、 ob 重合，则以 a(b)、c、d、o 为顶点的四面体的体积为 第 12 题图 【析】：依题意，因 aoodaood aocdo boocaooc 折叠后 面； 故四面体 acdo 的高为 2 42 2 2 ao ， 所以： 28 211 1 (2 2)2 2 33 23 a cdort cdo vsao ； 13如图所示，直线2x与双曲线 2 2 :1 4 x y的渐近线交于 12 ,e e两点，记 1122 ,oee oee ，任取

16、双曲线 上的点 p，若 12 opaebe (a、br)，则 a、b 满足的一个等式是_ 【析】：依题意，点 p 为双曲线 2 2 1 4 x y上的点， 设( , )p x y，则 1122 (2,1),(2, 1)oeeoee ， 由 12 (2(),)opaebeab ab 得： (2(,),(abpbx ya， 代入双曲线方程得： 1 4 ab ； 14从集合 , , , ua b c d的子集中选出个不同的子集，需同时满足以下两个条件：) ,u都要选出； ) 对选出的任意两个子集 a、b，必有ab或ba；则共有 种不同的选法 【析】：依题意，当a为单元素集时，则b含有a中的元素外，还

17、要含有另外三个中的一个或两个， 因此有 112 433 ()24ccc种选法；当a为双元素集时，则b含有a中的元素外，还要含有另 外二个中的一个，因此有 21 42 12c c 种选法；所以共有 36 种不同的选法 二、选择题二、选择题（本大题满分 20 分，每小题 5 分） 15. “2 4 xkkz ”是“tan1x ”成立的 答（ a ） （a）充分不必要条件. （b）必要不充分条件. （c）充分条件. （d）既不充分也不必要条件. 【析】：2tantan(2)tan1 444 xkkzxk 充分性成立； 5 4 x 满足tan1x，但不满足2 4 xkkz ，必要性不成立； 16. 直

18、线l的参数方程为 1 2 () 2 xt tr yt ，则l的方向向量d 可以是 答（ c ） （a） （，） （b） （，） （c） （2，） （d） （，2） 第 13 题图 x o y e1 e2 【析】：直线l的方程为 12 21 xy ，所以l的方向向量d 是(2, 1)，也可以是( 2,1)； 17. 若 0 x是方程 1 3 1 2 x x的解，则 0 x属于区间 答（ c ） （a） （ 2 3 ，1） （b） （1 2 ， 2 3 ） （c） （1 3 ， 1 2 ） （d） （0，1 3 ） 【析】：将方程变形为： 1 3 1 ( )0 2 x f xx，利用二分法原理，用

19、计算器分别计算函数( )f x在所给 区间的端点的函数值，选两者异号的区间即可 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 11 1 , 13 11 5 ，则此人能 答（ d ） （a）不能做出这样的三角形. （b）做出一个锐角三角形. （c）做出一个直角三角形. (d) 做出一个钝角三角形. 【析】：由三角形面积公式知： 111111 : :13:11:5 21321125 abca b c ， 令13 ,11 ,5 ,0ak bk ck k，由 222 bca知，角c为钝角， 所以此人能做出一定是钝角三角形； 三、解答题三、解答题（本大题满分 74 分） 19.（本题满分 1

20、2 分） 19.（本题满分 12 分） 已知0 2 x ，化简： 2 lg(costan12sin)lg 2cos()lg(1 sin2 ) 24 x xxxx 【析】：原式 2 22 lg(sincos )lg 2(cossin )lg(sincos ) 22 xxxxxx 2 lg(sincos )lg(sincos )lg(sincos ) 0 xxxxxx 20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 5 分，第 2 个小题满分 8 分。 20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 5 分，第 2 个小题满分 8 分。 已知数列 n a的前

21、n项和为 n s，且585 nn sna， * nn (1) 证明：1 n a 是等比数列； (2) 求数列 n s的通项公式，并求出n为何值时， n s取得最小值，并说明理由； 【析】： (1) 证明： ) 当2n时， 111 585 (1 585)651 nnnnnnn assnanaaa ； 所以有： 1 1 15 6(1)5(1) 16 n nn n a aa a ； 由 11111 1 85 5141150asaaa ； 即数列1 n a 是首项 1 115a ，公比为 5 6 的等比数列； (2) 令等比数列1 n a 的前 n 项和为 n t，则有： *1 5 15 1 ( )

22、65 90 ( )90 56 1 6 5 75 ( )1 (15), 6 n n nnnn n tsnstnnnn nn ； 因 1*5 75 ( )1 0, 6 n nn ，故当 * (15) 0,nnn时， 由计算器计算14,15,16n得，15n 取得最小值 【解法】 ：由(1)知： 1 5 115 6 n n a ，得 1 5 1 15 6 n n a ， 从而 1 5 7590 6 n n sn (nn*)； 解不等式 sn0，即 2222 1 0a kbp， 设 c(x1,y1)、d(x2,y2)，cd 中点坐标为(x0,y0)， 则 2 121 0 222 1 2 010 222

23、 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb ， 由方程组 1 2 yk xp yk x ，消 y 得方程(k2k1)xp， 又因为 2 2 2 1 b k a k ，所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb ， 故 e 为 cd 的中点； 【证法】 ：直线 11 :lyk xp交直线 22 :lyk x于点e，则点e的横坐标 21 e p x kk ； 由 22222222 11 1 2 2 22 () 1 2()0ba kxk p yk xp y x a a x a b pb 得， 直线

24、11 :lyk xp交椭圆于c、d两点的横坐标之和为： 2 1 222 1 2 cd k pa xx ba k ， 又 2 12 2 b k k a ， 所以有： 2 111 22222 2 21 1121 1 2 2 cd e xxk pak pk pp x kkba kbk kk k a ； 因点 c、d、e 在直线 1 l上，所以e为cd的中点； 【证法 3】 ：设 1122 ( ,),(,)c x yd xy，则由 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 可得： 12121212 22 ()()()() 0 xxxxyyyy ab 又： 12 1 12 yy k xx 故可得： 2 12 2 1 12 1yyb xxa k 而由题意知： 2 2 2 1 1b k a k ，所以： 12 2 12 yy k xx ，即： 12 2 12 2 2 yy k xx ； 即线段cd的中点 1212 (,) 22 xxyy 在直线 2 yk x上， 也即直线 1 l与 2 l的交点e为线段cd的