2015年三年高考数学(理)真题精编――专题06 数列(大题)

1、 三、解答题37. 【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.试题分析：（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知，从而得证；（2）由和得，从而可得，即可得证.【考点定位】数列与不等式结合综合题.40. 【2014高考重庆理第22题】（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分）设（）若，求及数列的通项公式；（）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.【答案】（）；（）存在，【解析】试题分析：（）由所以数列是等差数列，可先求数列再求数列的通项公式；也可以先根据数列的前几项归

2、纳出数列的通项公式，然后由数学归纳法证明.（）利用数列的递推公式构造函数，由，然后结合函数的单调性，用数学归纳法证明即可.试题解析：解: （）解法一：再由题设条件知从而是首项为0公差为1的等差数列，故=，即（）解法一：设，则.令，即，解得.下用数学归纳法证明加强命：当时，所以，结论成立.假设时结论成立，即易知在上为减函数，从而即再由在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.再证：当时，有，即当时结论成立假设时，结论成立，即由及在上为减函数，得这就是说，当时成立，所以对一切成立.由得即因此考点：1、数列通项公式的求法；2、等差数列；3、函数思想在解决数

3、列问题中的应用.4、数学归纳法.41. 【2015高考重庆，理22】在数列中，（1）若求数列的通项公式； （2）若证明：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由于，因此把已知等式具体化得，显然由于，则（否则会得出），从而，所以是等比数列，由其通项公式可得结论；（2）本小题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是可变形为,由于，因此，于是可得，即有，又，于是有，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知，因此，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.(1)由,有 (2)由，数列的递推关系式变为变形为.由上式及，归纳可得因为，所以对求和得另一方面，由上已证的不等式知得

4、综上：【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，考查创新意识43. 【2015高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.（）求数列的通项公式；（）记，证明.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线在点处的切线斜率为.从而可以写出切线方程为.令.解得切线与轴交点的横坐标.（）要证，需考虑通项，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出，求出初始条件当时，.当时，单独考，并放缩得，所以，综上可得对任意的，均有.【考点定位】1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放

5、缩法证明不等式.44. 【2014，安徽理21】（本小题满分13分）设实数，整数，（I）证明：当且时，；（II）数列满足，证明：【答案】（I）证明：当且时，；（II）试题解析：（I）证明：用数学归纳法证明当时，原不等式成立假设时，不等式成立当时，所以时，原不等式也成立.综合可得，当且时，对一切整数，不等式均成立（2） 证法1：先用数学归纳法证明证法2：设，则，并且由此可得，在上单调递增，因而，当时，当时，由，即可知，并且，从而故当时，不等式成立假设时，不等式成立，则当时，即有所以当时，原不等式也成立综合可得，对一切正整数，不等式均成立考点：1数学归纳法证明不等式；2构造函数法证明不等式47.

6、【2013天津，理19】已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值【答案】（）；（）最大项的值为，最小项的值为. (2)由(1)得当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2Sn1，故.综上，对于nN*，总有.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.48. 【2014天津，理19】已知和均为给定的大于1的自然数设集合，集合（）当，时，用列举法表示集合；（）设，其中证明：若，则【答案】（）；（

7、）详见试题分析试题解析：（）当时，可得，（）由及，可得考点：1集合的含义与表示；2等比数列的前项和公式；3不等式的证明49. 【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列满足，且成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设，求数列的前项和.【答案】(I) ; (II) .【解析】(I) 由已知，有，即 ,所以，又因为，故，由，得，当时，当时，所以的通项公式为【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.53. .【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】已知等比数列满足：，.（I）求数列的通项公式；（II）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若

8、不存在，说明理由。 54. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】已知等差数列满足：，且、成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【解析】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，解得或，当时，；当时，所以数列的通项公式为或.（2）当时，显然，不存在正整数，使得.当时，令，即，解得或（舍去）考点：等差数列、等比数列的性质，等差数列的求和公式.55. 【2015高考湖北，理18】设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为已知，（）求数列，的通项公式；（）当时，记，求数列的前项和 【答案】（）

9、或；（）.【解析】（）由题意有， 即解得 或 故或（）由，知，故，于是， . -可得，故. 【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前项和.56. 【2013上海,理23】(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分给定常数c0，定义函数f(x)2|xc4|xc|.数列a1，a2，a2，满足an1f(an)，nN*.(1)若a1c2，求a2及a3；(2)求证：对任意nN*，an1anc；(3)是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由【答案】(1) a22，a3c10 ;(2)参考解析; (3) c，)c8 (3)由(2)，结合c0，得an1an，即an为无穷递增数列又an为等差数列，所以存在正数M，当nM时，anc，从而，an1f(an)anc8.由于an为等差数列，因此其公差dc8.若a1c4，则a2f(a1)a1c8，又a2a1da1c8，故a1c8a1c8，即a1c8，从而a20.当n2时，由于an为递增数列，故ana20c，所以，an1f(