2015年高三数学(理)一轮复习讲义：7.4直线、平面平行的判定与性质(人教A版)

1、第4讲直线、平面平行的判定与性质最新考纲1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题知 识 梳 理1直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba学生用书第114页辨 析 感 悟1对直线与平面平行的判定与性质的理解(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条

2、直线()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)若直线a，P，则过点P且平行于a的直线有无数条()2对平面与平面平行的判定与性质的理解(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(7)(教材练习改编)设l为直线，是两个不同的平面，若l，l，则.()感悟提升三个防范一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，如(1)、(3)二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，如(5)三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过

3、已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，如(2)、(4)考点一有关线面、面面平行的命题真假判断【例1】 (1)(2013广东卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mn B若，m，n，则mnC若mn，m，n，则 D若m，mn，n，则(2)设m，n表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是()A若m，mn，则nB若m，n，m，n，则C若，m，mn，则nD若，m，nm，n，则n解析(1)A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中，若，仍然满足mn，m，n，故C错误；故D正确(2)A错误，n有可能在平面内；B错误，

4、平面有可能与平面相交；C错误，n也有可能在平面内；D正确，易知m或m，若m，又nm，n，n，若m，过m作平面交平面于直线l，则ml，又nm，nl，又n，l，n.答案(1)D(2)D规律方法 线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题【训练1】 (1)(2014长沙模拟)若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()Ab BbCb或b Db与相交或b或b(2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面，的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn.其中真命题的个数为()A3 B2 C1

5、D0解析(1)可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b与相交或b或b时，均满足直线ab，且直线a平面的情况，故选D.(2)中，当与相交时，也能存在符合题意的l，m；中，l与m也可能异面；中，l，l，mlm，同理ln，则mn，正确答案(1)D(2)C考点二线面平行的判定与性质【例2】 如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积(1)证明法一连接AB，AC，如图，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB中点又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，A

6、C平面AACC，因此MN平面AACC.法二 取AB的中点P，连接MP，NP，AB，如图，而M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.(2)解法一连接BN，如图，由题意ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，规律方法 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性

7、质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)【训练2】 如图，在四面体ABCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点证明：直线HG平面CEF.证明法一如图1，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.F，H分别是AB，AC的中点，K是ABC的重心，.又据题设条件知，EKGH.EK平面CEF，GH平面CEF，直线HG平面CEF.图1图2法二如图2，取CD的中点N，连接GN、HN.G为DE的中点，GNCE.CE平面CEF，GN平面CEF，GN平面CEF.连接FH，ENF，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，FH綉BC，EN綉BC，FH綉EN，四边形FHNE为平行四边

8、形，HNEF.EF平面CEF，HN平面CEF，HN平面CEF.HNGNN，平面GHN平面CEF.GH平面GHN，直线HG平面CEF.考点三面面平行的判定与性质【例3】 (2013陕西卷)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积审题路线(1)判定四边形BB1D1D是平行四边形BDB1D1BD平面CD1B1同理推出A1B平面CD1B1面A1BD面CD1B1.(2)断定A1O为三棱柱ABDA1B1D1的高用勾股定理求A1O求SABD求.(1)证明由题设知，B

9、B1綉DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綉B1C1綉BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)解A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，规律方法 (1)证明两个平面平行的方法有：用定义，此类题目常用反证法来完成证明；用判定定理或推论(即“线线平行面面平行”)，通过线面平行来完成证明；根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；借助“传递性”来完成(

10、2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用【训练3】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN平面A1BD.证明法一如图，连接B1D1，B1C.P，N分别是D1C1，B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN平面A1BD，PN平面A1BD.同理MN平面A1BD.又PNMNN，平面PMN平面A1BD.法二如图，连接AC1，AC，且ACBDO，ABCDA1B1C1D1为正方体，ACBD，CC1平面ABCD，CC1BD，又ACCC1C，BD平面AC1C，AC1BD.同理可证A

11、C1A1B，AC1平面A1BD.同理可证AC1平面PMN，平面PMN平面A1BD. 1平行关系的转化方向如图所示：2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化” 学生用书第116页答题模板8如何作答平行关系证明题【典例】 (12分)(2012山东卷，文)如图1，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.图1图2规范

12、解答 (1)如图2，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CBCD，所以COBD，(1分)又ECBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，因此BDEO，(3分)又O为BD的中点，所以BEDE.(5分)图3(2)法一如图3，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MNBE.(6分)又MN平面BEC，BE平面BEC，MN平面BEC.(7分)又因为ABD为正三角形，所以BDN30，又CBCD，BCD120，因此CBD30，所以DNBC.(9分)又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDNN，故平面DMN平面BEC，(11分)又DM平面DMN，

13、所以DM平面BEC.(12分)图4法二如图4，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CBCD，BCD120，所以CBD30.(7分)因为ABD为正三角形，所以BAD60，ABC90，因此AFB30，所以ABAF.(9分)又ABAD，所以D为线段AF的中点(10分)连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DMEF.(11分)又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.(12分)反思感悟 立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求，每步推理要有理有据，不可跨度太大，以免漏掉得分点本题易忽视DM平面EBC，造成步骤不完整而失分答题模板证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所

14、证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾检查关键点及答题规范证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回顾检查答题规范【自主体验】 (2013福建卷改编)如图，在四棱锥PABCD中，ABDC，AB6，DC3，若M为PA的中点，求证：DM平面PBC.证明法一取PB中点N，连接MN，CN.在PAB中，M是PA的中点，MNAB，且MNAB

15、3，又CDAB，CD3，MN綉CD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.法二取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC，又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC，又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.对应学生用书P313基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1已知直线a，b，c及平面，下列条件中，能使ab成立的是()Aa，b Ba，bCac，bc Da，b解析由

16、平行公理知C正确，A中a与b可能异面B中a，b可能相交或异面，D中a，b可能异面答案C2在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是()A平行 B平行和异面C平行和相交 D异面和相交解析ABCD，AB，CDCD，CD和平面内的直线没有公共点答案B3(2014陕西五校一模)已知直线a和平面，那么a的一个充分条件是()A存在一条直线b，ab且bB存在一条直线b，ab且bC存在一个平面，a且D存在一个平面，a且解析在A，B，D中，均有可能a，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确答案C4(2014汕头质检)若m，n

17、为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线B若m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线C已知，互相平行，m，n互相平行，若m，则nD若m，n在平面内的射影互相平行，则m，n互相平行解析A中，m，n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行，也可以在内；D中，m，n也可能异面答案B5在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()ABD平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D

18、EH平面ADC，且四边形EFGH是梯形解析如图，由题意知EFBD，且EFBD.HGBD，且HGBD.EFHG，且EFHG.四边形EFGH是梯形又EF平面BCD，而EH与平面ADC不平行故选B.答案B二、填空题6(2014南京一模)下列四个命题：过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内其中所有真命题的序号是_解析根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故正确；过平面外一点有无数

19、条直线与该平面平行，故不正确；根据平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，故正确；根据两个平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内，故正确从而正确的命题有.答案7(2014衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_解析如图连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行8(2014金丽衢十二校联考)设，是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：a，b；a，b；

20、b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的题号填上)解析由面面平行的性质定理可知，正确；当b，a时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为或.答案或三、解答题9(2014青岛一模)四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A，N，D三点的平面交PC于M.(1)求证：PD平面ANC；(2)求证：M是PC中点证明(1)连接BD，AC，设BDACO，连接NO，ABCD是平行四边形，O是BD中点，在PBD中，又N是PB中点，PDNO，又NO平面ANC，PD平面ANC，PD平面ANC.(2)底面ABCD为平行

21、四边形，ADBC，又BC平面ADMN，AD平面ADMN，BC平面ADMN，因平面PBC平面ADMNMN，BCMN，又N是PB中点，M是PC中点10.如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.证明(1)AEB1G1，BGA1E2，BG綉A1E，A1G綉BE.又同理，C1F綉B1G，四边形C1FGB1是平行四边形，FG綉C1B1綉D1A1，四边形A1GFD1是平行四边形A1G綉D1F，D1F綉EB，故E、B、F、D1四点共面

22、(2)H是B1C1的中点，B1H.又B1G1，.又，且FCBGB1H90，B1HGCBF，B1GHCFBFBG，HGFB.又由(1)知A1GBE，且HGA1GG，FBBEB，平面A1GH平面BED1F.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014蚌埠模拟)设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1 Bml1且nl2Cm且n Dm且nl2解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1m可得l1，同理可得l2，又l1与l2相交，故可得，充分性成立，而由不一定能得到l1m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n