2016---2017年高考真题解答题专项训练：立体几何(文科)教师版

1、2016-2017年高考真题解答题专项训练：立体几何（文科）教师版1在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB（）已知AB=BC，AE=EC求证：ACFB；（）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【答案】（）证明：见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）根据，知与确定一个平面，连接，得到，从而平面，证得.（）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面.试题解析：（）证明：因，所以与确定平面.连接，因为为的中点，所以，同理可得.又，所以平面，因为平面，所以.（）设

2、的中点为，连.在中，因为是的中点，所以，又，所以.在中，因为是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面.【考点】平行关系，垂直关系【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行.此类题目是立体几何中的基本问题.解答本题，关键在于能利用已知的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，通过严密推理，给出规范的证明.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等.2如图，在四棱锥P-ABCD中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD（）在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由； （）证明：平面PAB平面PBD【来源】20

3、16年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）【答案】（）详见解析；（）详见解析.【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第（）问，先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；第（）问，先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直.试题解析：（）取棱AD的中点M（M平面PAD），点M即为所求的一个点.理由如下：因为ADBC,BC=AD，所以BCAM, 且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB平面PAB,C

4、M平面PAB,所以CM平面PAB.（说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点）（）由已知，PAAB, PACD,因为ADBC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD.从而PABD.因为ADBC,BC=AD，所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=AD，所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.【考点】线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找

5、一条平行线，而这条平行线一般是由过平面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分.证明面面垂直时，先证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪些线面垂直，确定要证哪些线线垂直，切忌不加思考，随便写视频3如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（）求证：BF平面ACFD；（）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷精编版）【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查

6、空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力试题解析：（）延长相交于一点，如图所示.因为平面平面，且，所以平面，因此， .又因为， ， ，所以为等边三角形，且为的中点，则所以平面.（）因为平面，所以是直线与平面所成的角.在中， ，得.所以，直线与平面所成的角的余弦值为.【考点】空间点、线、面位置关系、线面角.【方法点睛】解题时一定要注意直线与平面所成的角的范围，否则很容易出现错误证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线视频4如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFA

7、B，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60，G为BC的中点.（）求证：FG平面BED；（）求证：平面BED平面AED；（）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平面几何知识，如本题构造一个平行四边形：取的中点为，可证四边形是平行四边形，从而得出；（）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂

8、直的证明有时需要利用平面几何的知识，如本题可由余弦定理解出，即；（）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点作于点，则平面，从而直线与平面所成角即为.再结合三角形可求得正弦值.试题解析：（）证明：取中点，连接，在中，因为是中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（）证明：在中， ，由余弦定理可得，进而得，即，又因为平面平面平面，平面平面，所以平面.又因为平面，所以，平面平面.（）解：因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角.过点作于点，连接，又平面平面，由（）知平面，所以直线与平面所成的角即为

9、.在中，由余弦定理得，所以，因此，在中，所以，直线EF与平面所成角的正弦值为.【考点】直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角【名师点睛】垂直、平行关系的证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.视频5如图，在四棱锥中，平面， .（）求证： ；（）求证： ；（）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编

10、版）【答案】（）见解析；（）见解析；（）存在.理由见解析.【解析】试题分析：（）利用线面垂直判定定理证明；（）利用面面垂直判定定理证明；（）取PB中点F，连结EF，则，根据线面平行的判定定理证明平面.试题解析：（）因为平面，所以又因为，所以平面（）因为， ，所以因为平面，所以所以平面所以平面平面（）棱PB上存在点F，使得平面证明如下：取PB中点F，连结EF， ， 又因为E为的中点，所以又因为平面，所以平面【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转

11、化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等.视频6如图，四棱锥D中， 平面， ， ， ， 为线段上一点， ， 为的中点（）证明平面；（）求四面体的体积.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【答案】（）见解析；（） 【解析】试题分析：（）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果试题解析：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行

12、且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（）因为平面， 为的中点，所以到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积.【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解视频7如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上， 交于点，将沿折起到的位置.（）证明： ；（)若，求五棱锥的体积.【来源】2016

13、年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【答案】（）详见解析；（） .【解析】试题分析：（1）由已知得， ， ；（2）由 ，由 ，可证平面又由得 五边形的面积 以五棱锥体积试题解析： （1）由已知得， ，又由得，故，由此得，所以（2）由得，由得，所以，于是，故，由（1）知，又，所以平面，于是，又由，所以， 平面又由得五边形的面积所以五棱锥体积考点：1、线线垂直；2、锥体的体积.视频8如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（）证明：G是AB的中点；（）在图中作出点

14、E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【答案】（）见解析；（）作图见解析，体积为.【解析】试题分析：证明由可得是的中点.（）在平面内，过点作的平行线交于点， 即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得四面体的体积试题解析：（）因为在平面内的正投影为，所以因为在平面内的正投影为，所以所以平面，故又由已知可得， ，从而是的中点.（）在平面内，过点作的平行线交于点， 即为在平面内的正投影.理由如下：由已知可得 ， ，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正

15、投影.连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.由（）知， 是的中点，所以在上，故由题设可得平面， 平面，所以，因此由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得所以四面体的体积【考点】线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.视频9如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC

16、的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13【解析】试题分析：（）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（）由V=13SBCDDE即可求解.试题解析:（I）因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC，又因为BD平面ABC，所以PABD.（II）因为AB=BC，D为AC中点，所以BDAC，由（I）知，PABD，所以BD平面PAC.所

17、以平面BDE平面PAC.（III）因为PA平面BDE，平面PAC平面BDE=DE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DE=12PA=1，BD=DC=2.由（I）知，PA平面ABC，所以DE平面PAC.所以三棱锥E-BCD的体积V=16BDDCDE=13.【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.10(2017北京高考)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交

18、点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）取中点，由平几知识可得四边形为平行四边形，即得，再根据线面平行判定定理得平面（2）由平几知识可得,再根据面，得即得 再根据线面垂直判定定理得平面，即得平面平面 试题解析：证明：（1）取中点，连接，由于为四棱柱，所以，因此四边形为平行四边形，所以， 又平面， 平面，所以平面 （2）因为 ,E,M分别为AD和OD的中点，所以,又 面， 所以因

19、为 所以 又 A1E, EM 所以平面平面，所以 平面平面 11如图，已知四棱锥P-ABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.（I）证明：CE平面PAB；（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版）【答案】（I）见解析；（II）.【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。（）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可证明；（）由题意，取BC，AD的中点M，N，可得AD平面P

20、BN，即BC平面PBN，过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH可知MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角依此可在RtMQH中，求QMH的正弦值试题解析：（）如图，设PA中点为F，连接EF，FB因为E，F分别为PD，PA中点，所以且，又因为， ，所以且，即四边形BCEF为平行四边形，所以，因此平面PAB（）分别取BC，AD的中点为M，N连接PN交EF于点Q，连接MQ因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ/CE由PAD为等腰直角三角形得PNAD由DCAD，N是AD的中点得BNAD所以AD平面PBN，由BC/AD得

21、BC平面PBN，那么平面PBC平面PBN过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MHMH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD=1在PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在RtMQH中，QH=，MQ=，所以sinQMH=， 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平

22、行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面本题（1）是就是利用方法证明的另外，本题也可利用空间向量求解线面角12如图，在四棱锥中， 平面， ， ， ， ， ， .（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证： 平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【来源】人教A版高中数学必修二第2章 章末综合测评3【答案】（）.（）见解析;（）.【解析】试题分析：本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.求两条异面直线所成的角，首先要借助平行线找出异面直线所成的角，然后借助解三角形求出角，证

23、明线面垂直只需寻求线线垂直，求线面角首先利用转化思想寻求直线与平面所成的角，本题作 是一步重要的转化，寻求斜线、垂线，斜足、垂足、斜线在平面内的射影，找到线面角后利用三角形边角关系求出线面角.求线面角也可转化为点到平面的距离“盲求”.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.试题解析：（）如图，由已知AD/BC，学|科网故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.又因为BC/AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PB

24、C.（）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD/BC，DF/AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2.又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.考点：两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角【名师点睛】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.求两条异

25、面直线所成的角，首先要借助平行线找出异面直线所成的角，然后借助解三角形求出角，证明线面垂直只需寻求线线垂直，求线面角首先利用转化思想寻求直线与平面所成的角，寻求斜线、垂线，斜足、垂足、斜线在平面内的射影，找到线面角后利用三角形边角关系求出线面角.求线面角也可转化为点到平面的距离“盲求”.13四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 , （1）证明：直线平面;（2）若面积为，求四棱锥的体积.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【答案】（）见解析（）【解析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取中点，由于平面为等边三角形，则，利用面面垂直的性质定理可推出底面ABCD，设，表示相关的长度，利用的面积为，求出四棱锥的体积.试题解析：（1） 在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积14如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）证