2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：直线与圆锥曲线剖析

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想.直线与圆锥曲线的位置关系，是历年高考考查的重点，常以解答题形式考查，以直线与圆锥曲线的方程为基础，结合有关概念及计算，将位置关系转化为相应的方程或方程组的解的讨论如2012年广东T20等.归纳知识整合1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次

2、方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合探究直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交2圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C

3、相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2| |y1y2| .自测牛刀小试1已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a等于()A.B.C. D4解析：选C由消去y得ax2x10，所以解得a.2直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1 B2C1或2 D0解析：选A因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点3设抛物线x24y的焦点为F，经过点P(1,5)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为线段AB的中点，则|AF|BF|_.解析：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y210，由抛物线定义得|AF|BF|y1y2p10212.答案：

4、124直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_解析：直线ykx1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上则m1，且m5.答案：m1且m55过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：由c1，知椭圆右焦点为(1,0)，则直线方程为y2(x1)，联立方程得解得x10，x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12，y2.S1|y1y2|1.答案：直线与圆锥曲线的位置关系问题例1(1)已知直线ykx1与椭圆1相切，则k，a之间的关系式为_(2)(2013沈阳模拟)若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则

5、k的取值范围是()A.B.C. D.自主解答(1)由得(a4k2)x28kx44a0.因为直线与椭圆相切，所以64k24(44a)(a4k2)0，即a4k210.(2)由得(1k2)x24kx100.直线与双曲线右支有两个不同交点，解得k0m23k21.xP，从而yPkxPm.kAP.又|AM|AN|，APMN，则，即2m3k21.把代入，得m22m，解得0m0，解得m. 综上，m的取值范围是m2.保持本例题条件不变，若直线ykx1与椭圆相交于不同的两点M，N，且|MN|2，求直线的斜率k.解：由(1)可知，椭圆方程为y21.由得(3k21)x26kx0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

6、则x1x2，x1x20.则|MN|x1x2|x1x2|2，36k2(1k2)4(3k21)24(9k46k21)，即12k24.k. 与弦长有关问题的解法(1)求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是：将直线方程代入圆锥曲线方程，消去y(或x)后，得到关于x(或y)的一元二次方程ax2bxc0(或ay2byc0)，再由弦长公式|AB|x1x2| |y1y2|，求其弦长在求|x1x2|时，可直接利用公式|x1x2|求得(2)涉及弦的中点及直线的斜率问题，可考虑用“点差法”，构造出kAB和x1x2，y1y2，运用整体代入的方法，求中点或斜率，体现“设而不求”的思想2椭圆ax2by21与直线xy10相交于A

7、，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，kOC，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，将ba代入得a，b.故所求椭圆的方程是1.圆锥曲线中最值(或取值范围)问题例3已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点(1)求过点O，F，并且与直线l：x2相切的圆M的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围自

8、主解答(1)a22，b21，c1，F(1,0)，圆过点O，F，圆心M在直线x上设M，则圆半径r，由|OM|r，得 ，解得t，所求圆的方程为2(y)2.(2)设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，方程有两个不等实根如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，xG0)，其焦点F到准线的距离为.(1)试求抛物线C的方程；(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(

9、t0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值解：(1)焦点F到准线的距离为，p.故抛物线C的方程为x2y.(2)设P(t，t2)，Q(x，x2)，N(x0，x)，则直线MN的方程为yx2x0(xx0)令y0，得M，kPM，kNQx0x.NQQP，且两直线斜率存在，kPMkNQ1，即(x0x)1，整理得x0.又Q(x，x2)在直线PM上，则MQ与共线，得x0.由得(t0)，t.t或t(舍去)所求t的最小值为.2种思想函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很

10、好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型3类问题圆锥曲线中的三类问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系判断将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解(2)证明定点和定值问题的方法定点和定值问题的证明方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思

11、路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向(3)圆锥曲线中常见的最值问题及解法圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题求最值常见的解法有几何法和代数法. 答题模板圆锥曲线中的探索性问题典例(2012福建高考满分13分)如图，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与

12、直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由快速规范审题第(1)问：1审条件，挖解题信息观察条件：椭圆方程及左、右焦点F1，F2，离心率e，ABF2的周长为8ABF2的周长为4a，e.2审结论，明确解题方向观察所求结论：求椭圆的方程需建立关于a，b，c的方程组求解3.建联系，找解题突破口由条件可得4a8， 可得a2，b23 得E的方程1.第(2)问：1审条件，挖解题信息观察条件：直线l与椭圆E相切于点P，与直线x4相交于点Q得判别式0及P，Q的坐标2审结论，明确解题方向观察所求结论：探索是否存在点M，使得以PQ

13、为直径的圆恒过点M0恒成立3建联系，找解题突破口由条件分析的位置并设出M的坐标(x1,0)得到关于参数m，k，x1的方程得关于x1的方程组结论,准确规范答题易忽视定义的应用 (1)因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，(1分)又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，(2分)所以4a8，a2.又因为e，即，所以c1，(3分)所以b.故椭圆E的方程是1.(4分)(2)由消去y得(4k23)x28kmx4m2120.(5分)因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，(6分)即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m23

14、0.(*)(7分)忽视圆的对称性，判断不出M必在x轴上此时x0，y0kx0m，所以P.(8分)由得Q(4,4km)(9分)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上(10分)设M(x1,0)，则0对满足(*)式的m，k恒成立因为，对于方程(4x14)x124x130不会利用对m，k恒成立，求解x1.(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)(11分)由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.(12分)故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.(13分)答题模板速成解决解析几何中的探索性问题的一般步骤：第一步提

15、假设第二步作推理第三步来证明第四步下结论假设结论成立以假设为条件，进行推理求解明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确若推出矛盾，即否定假设回顾反思解题过程一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是()AkBk或k Dk解析：选D由双曲线渐近线的几何意义知kb0)的半焦距为c，若直线y2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()A. B.1C. D.1解析：选D依题意直线y2x与椭圆的一个交点坐标为(c,2c)，所以1，又b2a2c2，消去b整

16、理得a22acc20，所以e22e10，解得e1.又e(0,1)，所以e1.4(2013温州模拟)设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60，则|为()A. B.C.p D.p解析：选B如图，过A作ADx轴于D，令|FD|m，则|FA|2m，|AD|m，由抛物线定义知|FA|AB|，即pm2m，mp.|p.5(2013清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选C设过点(0,1)斜率为k的直线方程为ykx1.由得k2x2(2k4)x10.(*)当k0时，(*)式只有

17、一个根；当k0时，(2k4)24k216k16，由0，即16k160得k1.所以k0，或k1时，直线与抛物线只有一个公共点，又直线x0和抛物线只有一个公共点6(2013绍兴模拟)已知双曲线1(a0，b0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k20，若|k1|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：选B设M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)则k1，k2.又M，N，P都在双曲线1上，b2(x2x)a2(y2y) .|k2|，即|k1|k2|.又|k1|k2|2，1，即4b2a2.4(c2a2)

18、a2，即4c25a2.即e2，e.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.答案：x2y808一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线x24y上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为_解析：由于A(0,1)为抛物线的焦点，由抛物线定义可知，圆心到A点的距离等于到准线的距离，故l：y1.答案：y19(2012重庆高考)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，

19、若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.解析：设过抛物线焦点的直线为yk，联立得整理得k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得k224，代入k2x2(k22)xk20得12x213x30，解得x1，x2.又|AF|BF|，故|AF|x1.答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b0，m0或mb0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|AP|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|.解：(1)设点P的坐标为(x0，y

20、0)由题意，有1.由A(a,0)，B(a,0)得kAP，kBP.由kAPkBP，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0.由于y00，故a22b2.于是e2，所以椭圆的离心率e.(2)证明：法一：依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224.由ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|.法二：依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0)由点P在椭圆上，有1.因为ab0，kx00，所以1