第五章 .特征值特、征向量及矩阵对角化总结

1、第五章 特征值、特征向量及矩阵的对角化（填空、选择为主）5.1矩阵的特征值和特征向量定义（矩阵的特征值和特征向量）设A为n阶方阵，如果存在数及非零向量x,使得(4-1) 或(4-2)则称为A的一个特征值，x为A的对应于（或属于）特征值的一个特征向量.求n阶方阵A的特征值与特征向量的一般步骤如下：第一步：计算特征多项式；第二步：求出特征方程=0的全部根（重根按重数计算），则就是方阵的全部特征值.如果为特征方程的单根，则称为A的单特征值；如果为特征方程的k重根，则称为A的k重特征值，并称k为的重数；第三步：对A的相异特征值中的每个特征值,求出齐次线性方程组 (4-3)的一个基础解系，则就是对应于特

2、征值的特征空间的一个基，而A的属于的全部特征向量为 其中为不全为零的任意常数.特征值和特征向量有下列基本性质：性质1 设的全部特征值为，则有 利用性质1可以简化有关特征值问题的某些计算.性质2 设为方阵A的一个特征值，且x为对应的特征向量，则对任何正整数k,为的一个特征值且x为对应的特征向量.更一般地，对于任何多项式，则为方阵的一个特征值，且x为对应的特征向量.性质3 设为可逆方阵A的一个特征值，则为的一个特征值，为的一个特征值性质4 设为方阵A的互不相同的特征值，为属于的特征向量，则向量组线性无关.更一般的，设为属于的线性无关特征向量，则向量组 线性无关性质5 设的线性无关特征向量的个数不大

3、于k关于特征值与特征向量的结论见下图：kA特征值对应特征向量5.2相似矩阵及方阵可相似对角化的条件定义（相似矩阵）对于同阶矩阵A,B，若存在同阶可逆矩阵P，使得（4-4）则称A与B相似，或A相似于B，并称变换： 为相似变换.矩阵的相似关系具有反身性(A与A相似)、对称性（A与B相似，则B与A相似）和传递性（A与B相似，B与C相似，则A与C相似）.定理（矩阵A与B相似的必要条件）设矩阵A与B相似，则有(1)； (2)；(3)，即A与B有相同的特征多项式（从而A与B有相同的特征值）（但要注意到其特征向量不一定相等）；(4)与相似，与相似，与相似.推论 若n阶矩阵A相似于对角矩阵=diag(1,2,

4、，n)时，的主对角线元素1,2,，n就是A的n特征值.定理（矩阵相似与对角矩阵的充分必要条件）n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.推论 矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A的属于每个特征值的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数.定理（矩阵相似于对角矩阵的充分条件）如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值（即A的特征值都是特征值），则A必相似于对角矩阵.矩阵可相似对角化的条件见下图（设A是n阶矩阵）5.3 向量的内积、长度及正交性 定义 几何中，两个向量 的数量积定义为：其中 是 的长度， 是 的夹角.如果在直角坐标系下，向量 表示为 则 依据坐标表示向量 的

5、长度为： ，向量 的夹角为：代数中 定义 设 维向量 称为向量 的内积.称 为向量 的长度（或范数），特别，当 时，称 为单位向量.称 为向量 与 的夹角；特别，当 （即 ）时，称向量 与 正交. 注：内积是向量的一种运算，如果x和y都是列向量，可以记作x，y=xTy，其结果是一个数.且x，x=x12+x22+xn20，当且仅当x=0时成立.4. 向量长度的性质：（1） 非负性：且（2） 齐次性：（3） 三角不等式：以上定义的概念有如下性质： 1 2 3 4 ，（ ） 5 6 7 称一组两两正交的非零向量为正交向量组. 定理 设n维向量 是一组两两正交的非零向量（或称是正交向量组），则 线性无

6、关. 证 设 ，两边与 作内积，得 因 故 ，同理， ，所以 线性无关. 定义 设 是向量空间， 是 的一组基，且 是正交向量组，则称 是 的一组正交基.如果 既是 的一组正交基，又是单位向量，则称 是规范正交基或单位正交基. 正交基的求法（施密特正交化公式解决矩阵的对角化问题）： 1.正交化 设 是向量空间， 是 的一组基，则 ， ， 是 的一组正交基. 2.单位化 如果取 则 是规范正交基. 例3 设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解 取；.再把它们单位化，取，.即合所求.例4 已知，求一组非零向量，使两两正交.解 应满足方程，即.它的基础解系为 ，.把基础解系正交化，即合所求

7、.亦即取 ，.于是得 ，.正交矩阵定义 1 是 阶方阵，并且 （即 ），称 为正交阵. 2 若 是正交阵，则称 是正交变换. 正交阵的充要条件： 为正交阵 的列（行）是两两正交的单位向量. 为正交矩阵的充要条件是 或 证 设 ， 是 的列向量，则 为正交阵 是两两正交的单位向量.正交矩阵的等价定义：正交矩阵有下列基本性质：设A,B都是n阶正交矩阵，则（1） （2）也是正交矩阵（注：A为正交能推出A为可逆矩阵且，但反之不成立）（3）如果A,B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵. (4)实矩阵A为正交矩阵，当且仅当A的列（行）向量组为正交单位向量组. 利用上述的性质(4)，可以比较方便的检验矩阵是

8、否为正交矩阵.正交变换定义 若P为正交阵，则线性变换y=P x称为正交变换.正交变换的性质：设 是正交变换的系数矩阵，则 ，从而 及 . 正交变换有下列性质（其中A为正交矩阵）：(1) 保内积性：若，则；(2) 保长度性：若，则正交矩阵的判断例题5.4实对称矩阵的性质及正交相似对角化实对称矩阵有下列性质：性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交.即设1，2是实对称矩阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若12则p1与p2正交.性质3 若为实对称矩阵A的k重特征值，则A的属于的线性无关特征向量正好有k个.定理 设A为实对称矩阵，则必存在正交矩

9、阵P，使得为对角矩阵.求正交矩阵，使得对角矩阵的方法：1）、求出的全部特征值：由方程解得；2）、对于每一个，解齐次线性方程组，找出基础解系3）、将正交化，单位化，得一组正交单位向量；4）、因为各不相同，因此所求的向量组是两两正交的单位向量组，其向量的总数为，这组列向量就构成了正交矩阵。例6、设实对称矩阵，求正交矩阵，使得为对角矩阵。解：1）、求特征值由，得的特征值为；2）、当时，解齐次线性方程组，即得同解方程组，取，得，于是基础解系；当时，解齐次线性方程组，即得同解方程组，取，得，于是基础解系；当时，解齐次线性方程组，即得同解方程组，取，得，于是基础解系，3）、是正交向量组，将它们单位化则，且。例7、设实对称矩阵，求正交矩阵，使得为对角矩阵。解：1）、求特征值由，得的特征值为；2）、当时，解齐次线性方程组，即得同解方程组，取，得，于是基础解系；当时，解齐次线性方程组，即得同解方程组，取，得，于是基础解系，向量恰好正交；3）、是正交向量组，将它们单位化于是得正交矩阵 ，且。下图是矩阵相似对角化过程的框图解方程. A有重特征值么? 有 无A有n个线性无关的特征向量么? A可相似对