2019普通高中学业水平考试

1、北京市普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共75分）1（3分）已知集合a0，1，b1，1，3，那么ab等于（）a0b1c0，1d0，1，32（3分）平面向量，满足2，如果（1，2），那么等于（）a（2，4）b（2，4）c（2，4）d（2，4）3（3分）如果直线ykx1与直线y3x平行，那么实数k的值为（）a1bcd34（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）a4b2c2d45（3分）如果函数f（x）ax（a0，且a1）的图象经过点（2，9），那么实数a等于（）a2b36（3分）某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人为了解学生

2、在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为（）a60b90c100d1107（3分）已知直线l经过点o（0，0），且与直线xy30垂直，那么直线l的方程是（）ax+y30bxy+30cx+y0dxy08（3分）如图，在矩形abcd中，e为cd中点，那么向量等于（）abcd9（3分）实数的值等于（）a1b2c3d410（3分）函数yx2，yx3，ylgx中，在区间（0，+）上为减函数的是（）ayx2byx3cdylgx11（3分）某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.

3、1，那么本次活动中，中奖的概率为（）a0.1b0.2c0.3d0.712（3分）如果正abc的边长为1，那么等于（）abc1d213（3分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，如果a10，a45，b30，那么b等于（）abcd14（3分）已知圆c：x2+y22x0，那么圆心c到坐标原点o的距离是（）abc1d15（3分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是正方形，a1a底面abcd，a1a2，ab1，那么该四棱柱的体积为（）a1b2c4d816（3分）函数f（x）x35的零点所在的区间是（）a（1，2）b（2，3）c（3，4）d（4，5）17（3分）在sin5

4、0，sin50，sin40，sin40四个数中，与sin130相等的是（）asin50bsin50csin40dsin4018（3分）把函数ysinx的图象向右平移个单位得到yg（x）的图象，再把yg（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）abcd19（3分）函数的最小值是（）a1b0c1d220（3分）在空间中，给出下列四个命题：平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；平行于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行其中正确命题的序号是（）abcd21（3分）北京市环境保护监测中心每月向公众公布北

5、京市各区域的空气质量状况.2018年1月份各区域的pm2.5浓度情况如表：各区域1月份pm2.5浓度（单位：微克/立方米）表区域pm2.5浓度区域pm2.5浓度区域pm2.5浓度怀柔27海淀34平谷40密云31延庆35丰台42门头沟32西城35大兴46顺义32东城36开发区46昌平32石景山37房山47朝阳34通州39从上述表格随机选择一个区域，其2018年1月份pm2.5的浓度小于36微克/立方米的概率是（）abcd22（3分）已知，那么（）abcd23（3分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，如果，那么abc的最大内角的余弦值为（）abcd24（3分）北京故宫博物院成立于1

6、925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图根据图中信息，下列结论中正确的是（）a2013年以来，每年参观总人次逐年递增b2014年比2013年增加的参观人次不超过50万c2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多d2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万25（3分）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，在三棱锥pabc中，平面pac平面abc，bcac求证：bcpa证明：因为平面pac平面abc平面pac平面ab

7、cacbcac，bc平面abc所以_因为pa平面pac所以bcpaaab底面pacbac底面pbccbc底面pacdab底面pbc二、解答题（共4小题，满分25分）26（7分）已知函数（）a ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（）函数f（x）的最小正周期t （将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（）求函数f（x）的最小值及相应的x的值27（7分）如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，abbc，d，e，分别为pb，pc的中点（）求证：bc平面ade；（）求证：bc平面pab28（6分）已知圆o：x2+y2r2（r0）经过点a（0，5），与x轴正半轴交于点b（）r ；（将结果直接填写在答

8、题卡的相应位置上）（）圆o上是否存在点p，使得pab的面积为15？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由29（5分）种植于道路两侧、为车辆和行人遮阴并构成街景的乔木称为行道树为确保行人、车辆和临近道路附属设施安全，树木与原有电力线之间的距离不能超出安全距离按照北京市行道树修剪规范要求，当树木与原有电力线发生矛盾时，应及时修剪树枝行道树修剪规范中规定，树木与原有电力线的安全距离如表所示：树木与电力线的安全距离表电力线安全距离（单位：m）水平距离垂直距离1kv113kv10kv3335kv110kv3.54154kv220kv44.5330kv55.5500kv77现有某棵行道树已经自然生长2

9、年，高度为2m据研究，这种行道树自然生长的时间x（年）与它的高度y（m）满足关系式（）r ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（）如果这棵行道树的正上方有35kv的电力线，该电力线距地面20m那么这棵行道树自然生长多少年必须修剪？（）假如这棵行道树的正上方有500kv的电力线，这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全，那么该电力线距离地面至少多少m？北京市普通高中学业水平考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共75分）1（3分）已知集合a0，1，b1，1，3，那么ab等于（）a0b1c0，1d0，1，3【考点】1e：交集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；3

10、7：集合思想；4o：定义法；5j：集合【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合a0，1，b1，1，3，ab1故选：b【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（3分）平面向量，满足2，如果（1，2），那么等于（）a（2，4）b（2，4）c（2，4）d（2，4）【考点】96：平行向量（共线）菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4o：定义法；5a：平面向量及应用【分析】利用数乘向量运算法则直接求解【解答】解：平面向量，满足2，（1，2），2（1，2）（2，4）故选：d【点评】本题考查向量的求法，考查数乘向量运算法则等基础知识，考查运

11、算求解能力，是基础题3（3分）如果直线ykx1与直线y3x平行，那么实数k的值为（）a1bcd3【考点】ii：直线的一般式方程与直线的平行关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4o：定义法；5b：直线与圆【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出【解答】解：直线ykx1与直线y3x平行，k3，经过验证满足两条直线平行故选：d【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）a4b2c2d4【考点】3k：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想

12、；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】根据题意，由函数的图象可得f（1）的值，结合函数的奇偶性可得f（1）的值，即可得答案【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（1）2，又由函数为奇函数，则f（1）f（1）2，故选：b【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数单调性的性质，属于基础题5（3分）如果函数f（x）ax（a0，且a1）的图象经过点（2，9），那么实数a等于（）a2b3【考点】4b：指数函数的单调性与特殊点菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4r：转化法；51：函数的性质及应用【分析】由题意代入点的坐标，即可求出a的值【解答】解：指数函数f（x）ax（a0，a1）

13、的图象经过点（2，9），9a2，解得a3，故选：b【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题6（3分）某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为（）a60b90c100d110【考点】b3：分层抽样方法菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4o：定义法；5i：概率与统计【分析】根据分层抽样的定义和题意知，抽样比例是 ，根据样本的人数求出应抽取的人数【解答】解：根据分层抽样的定义和题意，则高中学生中抽取的人数 60060

14、（人）故选：a【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在所求的层中抽取的个体数目7（3分）已知直线l经过点o（0，0），且与直线xy30垂直，那么直线l的方程是（）ax+y30bxy+30cx+y0dxy0【考点】ij：直线的一般式方程与直线的垂直关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4o：定义法；5b：直线与圆【分析】由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可【解答】解：直线l与直线xy30垂直，直线l的斜率为1，则y0（x0），即x+y0故选：c【点评】本题考查了直线方程的求法，属于基础题8（3分）如图，在矩形abc

15、d中，e为cd中点，那么向量等于（）abcd【考点】9h：平面向量的基本定理菁优网版权所有【专题】35：转化思想；5a：平面向量及应用【分析】直接利用向量的线性运算求出结果【解答】解：在矩形abcd中，e为cd中点，所以：，则：故选：a【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9（3分）实数的值等于（）a1b2c3d4【考点】41：有理数指数幂及根式；4h：对数的运算性质菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4a：数学模型法；51：函数的性质及应用【分析】直接利用有理指数幂及对数的运算性质求解即可【解答】解：2+02故选：b【点评】本题考查

16、了有理指数幂及对数的运算性质，是基础题10（3分）函数yx2，yx3，ylgx中，在区间（0，+）上为减函数的是（）ayx2byx3cdylgx【考点】3e：函数单调性的性质与判断菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】根据题意，依次分析4个函数在区间（0，+）的单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，函数yx2，为二次函数，在区间（0，+）为增函数；yx3，为幂函数，在区间（0，+）为增函数；，为指数函数，在区间（0，+）上为减函数；ylgx中，在区间（0，+）为增函数；故选：c【点评】本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数

17、的单调性，属于基础题11（3分）某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为（）a0.1b0.2c0.3d0.7【考点】c2：概率及其性质菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4r：转化法；5i：概率与统计【分析】根据互斥事件概率加法公式即可得到其发生的概率的大小【解答】解：由于中一等奖，中二等奖，为互斥事件，故中奖的概率为0.1+0.10.2，故选：b【点评】此题考查概率加法公式及互斥事件，是一道基础题12（3分）如果正abc的边长为1，那么等于（）abc1d2【考点】9o：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有

18、【专题】38：对应思想；4r：转化法；5a：平面向量及应用【分析】根据向量的数量积的运算性质计算即可【解答】解：正abc的边长为1，|cosa11cos60，故选：b【点评】本题考查了向量的数量积的运算，是一道基础题13（3分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，如果a10，a45，b30，那么b等于（）abcd【考点】hp：正弦定理菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4r：转化法；58：解三角形【分析】根据正弦定理直接代入求值即可【解答】解：由正弦定理，得，解得：b5，故选：b【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查解三角形问题，是一道基础题14（3分）已知圆c：x2+y22x

19、0，那么圆心c到坐标原点o的距离是（）abc1d【考点】j2：圆的一般方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5b：直线与圆【分析】根据题意，由圆的一般方程分析可得圆心c的坐标，进而由两点间距离公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，圆c：x2+y22x0，其圆心c为（1，0），则圆心c到坐标原点o的距离d1；故选：c【点评】本题考查圆的一般方程，涉及两点间距离公式，属于基础题15（3分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是正方形，a1a底面abcd，a1a2，ab1，那么该四棱柱的体积为（）a1b2c4d8【考点】lf：棱柱、棱锥、棱台的体

20、积菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；4o：定义法；5f：空间位置关系与距离【分析】该四棱柱的体积为vs正方形abcdaa1，由此能求出结果【解答】解：在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是正方形，a1a底面abcd，a1a2，ab1，该四棱柱的体积为vs正方形abcdaa11222故选：b【点评】本题考查该四棱柱的体积的求法，考查四棱柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（3分）函数f（x）x35的零点所在的区间是（）a（1，2）b（2，3）c（3，4）d（4，5）【考点】52：函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35

21、：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】求得 f（1）f（2）0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间【解答】解：由函数f（x）x35可得 f（1）1540，f（2）8530，故有 f（1）f（2）0，根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点所在区间为（1，2），故选：a【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查17（3分）在sin50，sin50，sin40，sin40四个数中，与sin130相等的是（）asin50bsin50csin40dsin40【考点】gf：三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】35：转化思想

22、；56：三角函数的求值【分析】利用诱导公式化简可得答案【解答】解：由sin130sin（18050）sin50与sin130相等的是sin50故选：a【点评】题主要考察了诱导公式的应用，属于基本知识的考查18（3分）把函数ysinx的图象向右平移个单位得到yg（x）的图象，再把yg（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）abcd【考点】hj：函数yasin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】由题意利用函数yasin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把函数ysinx的图象向右平

23、移个单位得到yg（x）sin（x）的图象，再把yg（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为y2sin（x），故选：a【点评】本题主要考查函数yasin（x+）的图象变换规律，属于基础题19（3分）函数的最小值是（）a1b0c1d2【考点】3h：函数的最值及其几何意义菁优网版权所有【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用【分析】分别讨论两段函数的单调性和最值，即可得到所求最小值【解答】解：当x1时，f（x）x2的最小值为f（0）0；当x1时，f（x）x递减，可得f（x）1，综上可得函数f（x）的最小值为0故选：b【点评】本题考查分段函数的

24、最值求法，注意分析各段的单调性和最值，考查运算能力，属于基础题20（3分）在空间中，给出下列四个命题：平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；平行于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行其中正确命题的序号是（）abcd【考点】2k：命题的真假判断与应用菁优网版权所有【专题】38：对应思想；48：分析法；5f：空间位置关系与距离【分析】由线面平行的性质可判断；由线面垂直的性质定理可判断；由两个平面的位置关系可判断；由面面平行的判定定理可判断【解答】解；对于，平行于同一个平面的两条直线互相平行或相交或异面，故错误；对于，垂直于同一个平面的两

25、条直线互相平行，故正确；对于，平行于同一条直线的两个平面互相平行或相交，故错误；对于，垂直于同一个平面的两个平面互相平行或相交，故错误故选：b【点评】本题考查空间线线和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质定理的运用，属于基础题21（3分）北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2018年1月份各区域的pm2.5浓度情况如表：各区域1月份pm2.5浓度（单位：微克/立方米）表区域pm2.5浓度区域pm2.5浓度区域pm2.5浓度怀柔27海淀34平谷40密云31延庆35丰台42门头沟32西城35大兴46顺义32东城36开发区46昌平32石景山37房山47朝阳34

26、通州39从上述表格随机选择一个区域，其2018年1月份pm2.5的浓度小于36微克/立方米的概率是（）abcd【考点】cb：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4o：定义法；5i：概率与统计【分析】由表可知从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份pm2.5的浓度小于36微克/立方米的地区有9个，根据概率公式计算即可【解答】解：从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份pm2.5的浓度小于36微克/立方米的地区有9个，则2018年1月份pm2.5的浓度小于36微克/立方米的概率是，故选：d【点评】本题主要考查频

27、率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等22（3分）已知，那么（）abcd【考点】gp：两角和与差的三角函数菁优网版权所有【专题】35：转化思想；36：整体思想；56：三角函数的求值【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果【解答】解：知，那么，则：sin，故选：d【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23（3分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，如果，那么abc的最大内角的余弦值为（）abcd【考点】hr：余弦定理菁优网版权所有【专题】38：对应思

28、想；4o：定义法；58：解三角形【分析】先判断abc的最大内角为a，再利用余弦定理计算cosa的值【解答】解：abc中，acb，abc的最大内角为a，且cosa故选：a【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题24（3分）北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图根据图中信息，下列结论中正确的是（）a2013年以来，每年参观总人次逐年递增b2014年比2013年增加的参观人次不超过50万c2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多d

29、2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万【考点】f4：进行简单的合情推理菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5i：概率与统计【分析】由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多【解答】解：由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在a中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故a错误；在b中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故b错误；在c中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故c正确；在d中，2012年到2

30、017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故d错误故选：c【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题25（3分）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，在三棱锥pabc中，平面pac平面abc，bcac求证：bcpa证明：因为平面pac平面abc平面pac平面abcacbcac，bc平面abc所以_因为pa平面pac所以bcpaaab底面pacbac底面pbccbc底面pacdab底面pbc【考点】lw：直线与平面垂直菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4r：转化法；5f：空间位置关系与距离【分析】根据面面垂

31、直的性质定理判断即可【解答】解：根据面面垂直的性质定理判定得：bc底面pac，故选：c【点评】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题二、解答题（共4小题，满分25分）26（7分）已知函数（）a2；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（）函数f（x）的最小正周期t2（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（）求函数f（x）的最小值及相应的x的值【考点】hw：三角函数的最值菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4o：定义法；57：三角函数的图象与性质【分析】（）由f（0）1求得a的值；（）由正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期；（）由正弦函数的图象与性质求得f（x）的最小

32、值以及对应x的值【解答】解：（）函数由f（0）asina1，解得a2；（）函数f（x）2sin（x+），f（x）的最小正周期为t2；（）令x+2k，kz；x2k，kz；此时函数f（x）取得最小值为2故答案为：（）2，（）2【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题27（7分）如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，abbc，d，e，分别为pb，pc的中点（）求证：bc平面ade；（）求证：bc平面pab【考点】ls：直线与平面平行；lw：直线与平面垂直菁优网版权所有【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5f：空间位置关系与距离【分析】（）由d、e分别为pb、pc

33、的中点，得debc，由此能证明bc平面ade（）推导出pabc，abbc，由此能证明bc平面pab【解答】证明：（）在pbc中，d、e分别为pb、pc的中点，debc，bc平面ade，de平面ade，bc平面ade（）pa平面abc，bc平面abc，pabc，abbc，paaba，bc平面pab【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题28（6分）已知圆o：x2+y2r2（r0）经过点a（0，5），与x轴正半轴交于点b（）r5；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（）圆o上是否存在点p，使得pab的面积为15？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由【考点】j9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4r：转化法；5b：直线与圆【分析】（）直接由已知条件可得r；（）存在由（）可得圆o的方程为：x2+y225，依题意，a（0，5），b（5，0），求出|ab|，直线ab的方程为x+y50，又由pab的面积，可得点p到直线ab