3.5两角和、差的正弦、余弦和正切公式ppt课件

1、第五节 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式,1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式,【即时应用】 (1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“”或“”) cos15=cos(45-30)=cos45-cos30( ) sin15=sin(45-30)=cos45sin30-sin45cos30 ( ) cos15=cos(60-45)=cos60cos45+ sin60sin45 ( ) cos15=cos(60-45)=cos60cos45-sin60sin45 ( ),(2)计算sin72cos18+cos72sin18=_. (3)计算cos72cos12+sin72sin12=_.,【解析

2、】(1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+ sin45sin30,故错误；sin15=sin(45-30)= sin45cos30-cos45sin30，故错误;正确，cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,故错误. (2)原式=sin(72+18)=sin90=1. (3)原式=cos(72-12)=cos60= . 答案：(1) (2)1 (3),2.二倍角的正弦、余弦、正切公式,【即时应用】 (1)思考：二倍角公式tan2= 中对任意的都成立 吗？ 提示：不一定,当k+ 2k+ (kZ)时，公式成 立. (2) sin15cos

3、15的值等于_. 【解析】 sin15cos15= 2sin15cos15 = sin30= 答案：,(3)若tan= 则tan2=_. 【解析】 答案：,热点考向 1 三角函数的化简 【方法点睛】三角函数化简的技巧、方法和要求 (1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； (2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； (3)一些常规技巧：“1”的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等,(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化 (5)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种

4、数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.,【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2= 2cos2,1-cos2=2sin2,形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”.,【例1】化简下列各式： 【解题指南】(1)若注意到化简式是开平方根和2是的二 倍，是 的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口； (2)由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若 注意到这两大特征，不难得到解题的切入点.,【规范解答】(1)因为 2, 所以 =|cos|=cos, 又因为 所以 所以，原式=,答案：(1) (2)1,【互动探究】把本例中的(2)改为 【解

5、析】原式= 答案：,【反思感悟】1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅 限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系， 同时还要注意2, +, -三个角的内在联系，cos2= sin( 2)=2sin( )cos( )是常用的三角变换. 2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消 元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧. 3.常用的公式变形：,【变式备选】不查表求sin220+cos280+ sin20cos80 的值. 【解析】sin220+cos280+ sin20cos80 = (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80 =1 co

6、s40+ cos160+ sin20cos(60+20) =1 cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+ sin20(cos60cos20sin60sin20),热点考向 2 三角函数的求值 【方法点睛】三角函数的求值主要有两种类型，即给角求值，给值求值. (1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数. (2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.,【例2】若 的值. 【解题指

7、南】本题可以利用 的变换，同时要注意 x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简 原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用 的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解.,【规范解答】方法一：由,【反思感悟】1.此题若将 的左边展开成 再求cosx,sinx的值就很繁琐，把 作为整体，并注意角的变换 这样就可运用二 倍角公式.化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键. 2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数 的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.,【变式训练】(2012山东高考)若 , sin2= 则sin=( ) 【解析】选D.由于 ，则2 ,，所以

8、cos20. 因为sin2= 所以 又cos2=1-2sin2， 所以,【变式备选】已知 求sin(+)的值. 【解析】 又,sin(+)=-sin+(+),热点考向 3 三角函数的给值求角 【方法点睛】1.三角函数的给值求角问题的一般思路 (1)求出该角的某一三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出角.,2.三角函数给值求角时应注意的问题 求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的函数，这样,由三角函数值才可以唯一确定角. (1)若角的范围是(0, ),选正、余弦皆可; (2)若角的范围是(0,),选余弦较好; (3)若角的范围为 则选正弦.,【例3】已知co

9、s= (1)求tan2的值； (2)求. 【解题指南】(1)利用同角三角函数关系式求出sin,tan,再求出tan2；(2)把写成-(-)，根据已知条件求出的正弦，-的正弦，求出cos，根据范围确定角.,【规范解答】(1)由,(2)由 由=-(-),得cos=cos-(-) =coscos(-)+sinsin(-),【反思感悟】根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosAsinAcosB两端同除以cosAcosB得tanB=tanA等变化技巧也经常用到.,【变式训练】已知 、均为锐 角，求+的值. 【解析】,热点考向 4 三角函数的综

10、合应用 【方法点睛】 三角函数公式和三角函数性质的关系 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=Asin(x+)的形式,再进一步探讨定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. (2)注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力,【例4】已知函数f(x)=2sin(-x)cosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值. 【解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质.,【规范解答】(1)f(x)=2sin(-x

11、)cosx=2sinxcosx=sin2x, 函数f(x)的最小正周期为. (2)由 f(x)在区间 上的最大值为1，最小值为,【反思感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟练掌握公式和变换技巧，强化运算能力.以基本三角函数的性质为基础求y=Asin(x+)的性质，有时给出角的范围时要注意x+的范围的变化.,【变式训练】(2013三明模拟)已知函数f(x)= (1)求f(x)的最小正周期. (2)若将f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数g(x)的图 象，求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.,【解析】(1)f(x)= sin(x+ )+sin x= cos x+sin x= 2

12、( sin x+ cos x)=2sin(x+ ), 所以f(x)的最小正周期为2. (2)将f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数g(x)的图象. g(x)=f(x- )=2sin(x- )+ =2sin(x+ ), x0,时，x+ , 当x+ = ，即x= 时，sin(x+ )=1,g(x)取得最大值2. 当x+ = ,即x=时,sin(x+ )=- ,g(x)取得最小值-1.,【变式备选】已知函数 (1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数f(x)在区间 上的值域.,【解析】(1)f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ ) = cos2x+

13、 sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) = cos2x+ sin2x+sin2x-cos2x = cos2x+ sin2x-cos2x=sin(2x- ), 周期T= =, 由 函数图象的对称轴方程为 (kZ).,(2) f(x)=sin(2x- )在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 当x= 时，f(x)取最大值1. 又 当 时，f(x)取最小值 函数f(x)在区间 上的值域为,1.(2011福建高考)若tan=3，则 的值等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【解析】选D. 的值 等于6.,2.(2011福建高考)若(0， )，且sin2+cos2= 则 tan的值等于( ) 【解析】选D.sin2+cos2= sin2+(1-2sin2)= sin2= 又(0, ),si