卢正新《随机过程》第五章布朗运动与鞅-全

1、1,第五章：布朗运动与鞅,布朗运动的定义与基本性质 鞅的定义与例,2,随机游动与布朗运动,考虑在直线上的无限随机游动：质点每经过t时间，随机地以概率p=0.5向右移动x0；以概率q=0.5向左移动x，且每次移动相互独立。令,则质点在时刻t的位置X(t)可表示为：,其均值和方差为：,3,t和x的取值：,使得DX(t)在t和x趋于零时，极限有意义。,如： t = x，当t-0， DX(t)-0，则X(t)=0，a.s.,若取t = x3 ，当t-0， DX(t)-，不合理。,一般情况下，有 此时：,4,X(t)为独立同分布的随机变量之和，由中心极限定理，可得： 1）X(t)N(0, 2t); 随机

2、游动的值在不相重叠的时间区段内相互独立，得 2）X(t)是独立增量过程； 在任一时间区间随机游动的值仅与时长有关，得 3）X(t)是平稳增量过程,5,布朗运动定义1：随机过程W(t)，t0，如果满足： 1）W(0)=0； 2）W(t)是独立、平稳增量过程； 3）对任意t0，W(t)服从正态分布N(0, 2t)。 则称W(t)，t0为维纳过程，或称为布朗运动（B(t)， t0 ）。,如果=1，称为标准布朗运动。,一般布朗运动可用W(t)/，t0变换成标准布朗运动，后面我们 假定都是标准布朗运动。,6,布朗运动定义2：随机过程B(t)，t0为布朗运动，如果满足： 1）（正态增量）B(t)-B(s)

3、N(0,t-s) ； 2）（独立增量）B(t)-B(s)独立于过去的状态B(v)，0v s； 3）（轨道连续） B(t)，t0的轨道是t的连续函数。,注：并未强调B(0)=0，如果B(0)=x，可用B(t)-x进行变换。,定理：设B(t)，t0是正态过程，轨道连续，B(0)=0，对任意的s，t0，有EB(t)=0，EB(s)B(t)=min(s,t)，则B(t)，t0为布朗运动，反之亦然。,9,推论：设B(t)，t0 为布朗运动，则：,例：设B(t)，t0 为标准布朗运动，计算PB(2) 0及PB(t) 0，t=1,2 。,多维随机变量函数的概率密度：,13,15,布朗运动的轨道,从时刻0到时

4、刻T对布朗运动的一次观察称为布朗运动在区间0,T上的一条轨道或路径。,1）是t的连续函数； 2）在任何点都不可微,轨道的基本性质,16,鞅的定义与例,博弈问题：博弈者进行一序列博弈（轮盘赌），每次博弈输和赢的概率相同，每次的下注额自定。问博弈者采用何种下注方式赢面大？,定义：随机过程Xn，n0称为关于Yn，n0的下鞅，如果对n0， Xn是Y0, ,Yn的函数，EXn，且EXn+1| Y0, ,Yn Xn。,定义：随机过程Xn，n0称为关于Yn，n0的上鞅，如果对n0， Xn是Y0, ,Yn的函数，EXn，且EXn+1| Y0, ,Yn Xn。,若 Xn，n0同时是关于Yn，n0的上鞅和下鞅，则称之为关于Yn的鞅。,鞅描述的是“公平”的博弈，下鞅和上鞅则是“有利”和“无利”的博弈。,博弈问题解答：,18,定理：设Xn，n0是关于Yn，n0的鞅，则 1）对任意的0mn，有EXn| Ym, ,Y0 =Xm ； 2）对任意n，EXn=EX0,例：独立随机变量之和与积 1）设Y0=0，Yn， n0是独立的中心化随机变量序列， E|Yn|，定义X0=0，则Xn =Y1+Yn是鞅