材料加工中的数值模拟方法-微观组织数值模拟(5)

1、材料加工过程的数值模拟 微观组织数值模拟(V),任课教师: 王锦程,Office：公字楼216 Tel O) Email ： jchwang,The Cahn-Hilliard Equation,(for conserved quantities),The Ginzbug-Landau (Allen-Cahn) Equation,(for non-conserved quantities),描述同构相变过程中，只涉及到成分场 的变化，成分场 变化采用Cahn-Hilliard方程描述：,M为化学迁移率，一般为系统成分和温度的函数。这类模型可描述同构相变过程,系统化学

2、自由能密度,梯度能系数,弹性能,Ni-Al合金系统析出过程,(1,2, 3): (1,1,1)0, (-1,-1,1)0, (-1,1,-1)0, (1,-1,-1)0,Landau多项式自由能形式,三个序参量场,一个序参量场,CALPHAD自由能形式,高斯散度定理,平衡方程（物质或能量守恒）,微分方程,随时间的变化率,通量的散度,内部的源或汇,化学势,变分是求泛函的极值,广义菲克定律,化学势梯度，扩散的驱动力,守恒序参量,非守恒序参量,场量变化速率与驱动力成正比,序参量可看成广义坐标，能量对坐标的变分导数，类似于能量对广义坐标的微分导数，可看成广义力，即驱动力。 粘性弛豫：运动速度（广义坐标

3、的变化率）与驱动力成正比（最简单的情形）。,相场模型建立步骤：,分析问题的物理背景，确定描述该体系组织演变的序参量 根据所确定的序参量，建立描述体系各状态的统一自由能形式 根据序参量特性，确定相应的动力学方程 确定模型中的各种参数 确定是否考虑系统中可能存在的各向异性 确定是否需要考虑系统的随机涨落 选择合适的数值算法求解偏微分方程组,相场法应用实例（II）,纯物质凝固相场模型的建立,序参量确定 自由能密度函数确定 相场动力学方程 温度场方程 相场参数确定（渐近分析法，平衡解法） 各向异性 噪声,对于一个封闭空间Rd，材料由界面(t)Rd-1分割为固/液两态。对于纯物质有,枝晶生长：典型的St

4、efan 问题（自由边界问题）,远场条件,尖锐界面模型,需跟踪界面,kinetic mobility,传热方程,界面守恒,Gibbs-Thomson 关系（曲率效应）,Gibbs-Thompson 系数,纯物质相场模型包含两个场变量：相场和温度场(无浓度场)。,自由能密度写为序参量的级数展开形式：,序参量平衡值的确定:,自由能密度函数的构造(1),在凝固点Tm进行泰勒展开：,其中：,当T=Tm时：,在 T=TM时，固相与液相的自由能相等,选取：,This term tilts the free energy wells up/down, allowing for discontinuous c

5、hange in as T goes through 1st order transition at TM。,最终得到：,极小值在：,由于液相的自由能与序参量无关，可以将其作为参考态，令其取值为0， 可将 f(,T) 重新写为如下形式：,The “Double-Well” Free Energy Density,是一个双阱曲线，其在 处，取最小值，对应着固相和液相。,选择如此形式要满足：当 时，其导数 ，从而保证 曲线独立于温度，在 处（即固相和液相）取极小值，而使体系处于稳态；同时 满足 时 ， 时,Need a thermodynamic state function in terms o

6、f,and,so that,solid,liquid,degree of ordering,and a penalty for isothermally transforming from solid to liquid,自由能函数的构造(2),Assembling the Free Energy Function,“classic” Gibbs free energy of transformation,can be set to zero, if liqid component A is taken as the reference state,故,Trends in the Free E

7、nergy,liquid,solid,系统自由能,liquid,Interface penalty,without,solid,with,相场动力学方程,Solid s=1,liquid L=0,propagation of interface,根据标准热传导方程:,考虑固/液界面熵的变化：,温度场方程,This (phenomenological) term accounts for the release of latent heat as the interface advances,This is a flux-conservative equation, i.e. it conser

8、ves heat Flux in the absence of latent heat,W,Fourier定律,纯物质凝固相场模型,Karma纯物质凝固相场模型,A. Karma and W.J. Rappel PRE 1998, 57:4323,固相：,液相：,The phase-field (order parameter) and temperature field approach sharp-interface profiles when w0,渐近性分析的目的是将相场模型与尖锐界面模型联系起来，从而证明相场法在解决自由边界问题的适用性。分析的原理是选取界面厚度远小于某一物理尺度，尺度上的巨大差异可以采用扰动展开法来解决。,相场模型参数获取方法：渐近分析,尖锐界面模型,相场模型,？,渐近分析,Interface kinetic coefficient,Capillary length,Note the details of a1 and a2 depend on the form of h(). See A. Karma and W.R. Rappel, Phys. Rev. E (1996),相场模型的极限形式,一维稳态解 在相场方程中引入的各个系数都不是一个可测量的物理参数。为了解这些设定参数与宏观可测量的物理参量间的关系，考虑一维相变系统，其在