材料结构与性能第三讲 晶体学点群

1、第三讲 晶体学点群,32种晶体学点群 点群的表示符号及性质 点群的推导方法,晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称作晶体学点群。点对称操作的共同特征是进行操作后物体中至少有一个点是不动的。 晶体学中，点对称操作只能有轴次为1,2,3,4,6的旋转轴和反轴。(对称中心= ，镜面= ) 如果把点对称操作元素通过一个公共的点按所有可能组合起来，则一共可以得出32种不同的组合方式，称为32种晶体学点群。,32种晶体学点群,32种晶体学点群,点群是至少保留一点不动的对称操作群。 点群晶体+非晶体 32种晶体学点群是满足“晶体制约”的点群。 晶体结构的许多固体物理学性质的点对称性都与其所对应的点群有关

2、。 晶体或其他物体所具有的点对称性可以通过点群符号简洁地描述出来。根据这些符号人们可以知道其全部点对称性，即点群符号可以对应着晶体或物体的全部点对称性。,32晶类的推演 http:/metafysica.nl/derivation_32.html,点群的Schnflies符号,Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。 Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。 Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。 Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。 O:具有3个4次轴,4个3次

3、轴和6个2次轴的八面体点群。,32种点群的表示符号及性质,1.旋转轴(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6 2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面： C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m, ,4/m,6/m 3.旋转轴加通过该轴的镜面： C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm 4.旋转反演轴 S2= Ci, S4,S6=C3d;,32种点群的表示符号及性质,5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴： D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622 6.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：

4、D2h,D3h,D4h,D6h; mmm, ,4/mm,6/mmm 7. D群附加对角竖直平面： D2d,D3d; ， 8. 立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral) T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,432, ,m3m,晶体点群的Schnflies符号和国际符号,.,晶体学点群的对称元素方向及国际符号,点群推导方法,外延推演法： 从7种晶系的主要点对称特征出发外延推演，可以推导出32种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十分明确。 旋转群推导法：先推导出11种纯旋转晶体学点群，与反演操作组合可得11种中心对称的晶体学点群，再推导出另外10种非中心对称的点

5、群。优点是速度快。 循环群推导法：先确定5种循环群，1、2、3、4、6，再在每种循环群上加上新对称操作，或用 代替n轴。优点是透彻了解各种点群的对称操作。 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,1. 三斜晶系 对称操作是1(C1)或 (i) （1）如果只有对称操作1(C1) ，则形成最简单的点群。 该点群的阶数h是1，满足群的定义：,一个元素只能自乘： 1(C1) 1(C1)= 1(C1)，具有封闭性； 单元素也可有结合律： 1(C1) 1(C1) 1(C1)=1(C1) 1(C1) 1(C1); 有单位元素： 1(C1) 1(E) =

6、1(E) 1(C1)= 1(C1)； 1(C1)的逆阵仍是1(C1)。,（2）有对称操作1(C1)或 (i)，则它们构成两元素点群。 用符号 (S2) 表示，点群的阶h是2 。元素为1, 即E，i。当然也满足群的定义，这个点群的元素具有封闭性，对称操作符合结合律，只有一个单位元素1(E)， (i)的逆仍是 (i)。,1(C1),(i),外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,2. 单斜晶系,单斜晶系在三斜晶系的基础上多了一个二次轴2(C2)或2次旋转反演轴 =m (h)。,当一物体有单一的2次对称轴是就具有单斜对称性，构成一点群，用2或C2表示， 即2(C2)。这是一个阶数h为2的点群。其对称

7、操作为1，2或E，C2。,(2) 当一物体只有 或m对称时，也构成阶数h为2的点群1，m或E ，h。其点 群符号为m(C1h)。,(3) 如果单斜晶系中2及轴同时存在，则必有反演对称性。这就形成了一个新的点群 1，2， ，m或用熊夫利斯符号表示成E，C2，i， h。其中h为4，即为四元素 点群。符号是 C2h，重要元素为2和m。,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,国际符号中 表示镜面m垂直于n次旋转轴，nm表示镜面m包含n次旋转轴，所以实际有n个镜面m。,熊夫利斯符号Cn表示一个含有Cn， ，的点群。Cnh表 示这种点群中还含有垂直于Cn的镜面，点

8、群Cnh中对称操作数 目是Cn群中的两倍。Cnv表示镜面含Cn轴。点群Cnv中对称操作 数目也是Cn群的两倍。,2(C2),m(C1h),外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,3. 正交晶系 正交晶系有两个互相垂直的2次轴或两个镜面，因此也必有第 三个2次轴。,(1)正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群 1， ， ， 或用222表示。这里国际符号按字符顺序表示的内容依次是a、b和c轴的对称 性。对称特征：h是4 。熊夫利斯符号为 E， ， ， ，用 D2表示，指在垂直于2次轴方向有2次轴。,(2)两个相互垂直的镜面决定了两个镜面的交线上有一个2次轴。如果两个镜面 分别垂直于a、b向，则c必为2

9、次轴。构成点群 1， ， ， 或mm2表示，h是4。 熊夫利斯符号： E， ， ， ，或用C2v表示。,mm2是国际表中表示点群的标准形式。 非标准形式 2mm (a是2次轴) m2m (b是2次轴),外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,(3)在不改变正交晶系的前提下，可使a、b、c轴均为2次轴，且有垂直于三轴的3个 镜面。3个镜面可导出反演操作。 构成一个新点群，即1, 2 100， 2 010， 2 001， m 100， m 010， m 001， 或用 表示，也可简略成mmm，其h是8。相应的熊夫利斯符号是 E， C 2100， C 2010， C 2001， 100， 010，

10、001 ，或用D 2h 表示。,D2表示点群有3个2次轴，若加一个镜面可推导出其他对称元素。符号D2h中的h表示 点群还有一个垂直于2次轴的镜面h。,222（D2）,mm2（C2v）,mmm（D2h）,4. 四方晶系 四方晶系只在单一的方向上有4次轴，或4次反演轴 。 （1）点阵有4次轴时构成h为4的点群，即 1，41，422，43 。可用4或C4表示。 （2）在点阵垂直于4次轴的方向加一个2次轴，则必有另一个2次轴，且4次轴与两个2次轴垂直。产生了两个新的2次轴110和 ，从而得到h为8的点群， 1，4 001 , 2 001 , 43001 , 2 100， 2 010， 2 110, ，

11、用符号422或D4表示。 （3）在点阵垂直于4次轴的方向加上镜面 ，则可得新的点群 1，41，2，43， ， ， ， ，其h为8。该点群用符号 或C4h表示。因为点群中有反演操作 ，所以是中心对称点群。,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,（4）在点阵平行于4次轴方向，即在矢量a和c所决定的面上加镜面。则得 则可得新的点群 1，41，2，43， ， ， ， ，其h为8。该点群用符合4mm或C4v表示。 （5）垂直于点阵的4次轴加镜面和2次轴，即点群422和 组合在一起，构成h为16的新点群，用 表示，或简写成 。熊夫利斯 符合是D4h。因为点群中有反

12、演操作 ，所以是中心对称点群。 （6）点阵有 轴时也构成h为4的点群，即 1， ， ， ，可用 或S4表示。 （7）在点群 垂直于 轴方向加2次轴，得到矢量a与b间对角线方向的镜面 和 。这样形成的点群，其h为8。该点群用 或D2d表示。,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,四方晶系对应7种点群。其中点群 是该晶系中心对称和全对称点群，它概括了该晶系中所有可能的对称操作。因此所有点群都是点群 的子群。,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,三方晶系 三方晶系要求在单一的方向上有3次轴或3次反演轴 ， 这即可构成点群3或 。,国际符号按字符顺序表示的内容依次是c向，a、b和a+b向，以及垂

13、直于a、b和a+b向的对称性。符号中没有表示出其对称性的方向即为只有恒等操作1的方向。 点群 具有中心对称性和全对称性。若垂直于3次轴加镜面，则有 即为 ，且属于六方晶系，不在这里讨论。 注意不要认为熊夫利斯符号S6表示的是六方晶系。,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,六 六方晶系 六方晶系要求在单一的方向上有6次轴或6次反演轴 ， 这即可构成点群6或 。,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,国际符号按字符顺序表示的内容依次是c向，a、b和a+b向，以及垂直于a、b和a+b向的对称性。符号中没有表示出其对

14、称性的方向即为只有恒等操作1的方向。 点群 具有中心对称性, 点群 具有中心对称性和全对称性。 注意不要认为熊夫利斯符号C3h和D3h表示的是三方晶系。,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,七 立方晶系 立方晶系要求四个3次轴，且它们夹角互为109047，但3次轴不是a、b或c向，否则对称操作集合无封闭性，不能构成点群。 对类型的三次轴有,同理可证明构成点群时还应包含有绕a、b及c的三个2次旋转轴， 并构成点群23，由此可总共推导出5种立方点群。,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,国际符号按字符顺序表示的

15、内容依次是a、b和c向，abc向，以及a+b、ac、和bc向的对称性。符号中没有表示出其对称性的方向即为只有恒等操作1的方向。 点群 具有中心对称性，点群 具有中心对称性和全对称性。 不是所有立方晶体都有4次对称轴，如点群23和 都没有四次对称性。 立方晶系不一定总有最高的对称性。如立方点群23就比六方点群 和四方点群 对称性低。 不要把立方点群简略符号23，m3与三方点群符号32，m3混淆。,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群,对称元素组合定律,对于晶体，对称元素往往不是孤立的，可能多于一种，涉及到对称元素的

16、组合问题，对称元素的组合不是任意的，必须符合对称元素的组合定律。 用基本数学关系式来描述。 假设两个基转角分别为和的对称轴以角度斜交，则经过两者之交点必定有另外一种对称轴存在，它的基转角设为，且与两原始对称轴的交角为和。,对称元素组合定律,各个角度之间的关系可表达为,根据三个式子可以推论，如果轴次分别为n和m的对称轴Ln 和Lm以角度斜交，则围绕Ln 必定有n个共点且对称分布的Lm； 同时，围绕Lm必定有m个共点且对称分布的Ln；且任两个相邻 的Lm和Ln之间的交角等于 。 由于对称元素均可以表达为对称轴（包括倒转轴）的形式，所 以对称元素之间的组合规律就可以用上述的三个公式来描述。由 于对称

17、轴之间的垂直与包含只是特殊的情况，如角度为0o，90o 等特殊角，故可以使得上述的表达更加简化。,对称元素组合定律,（1）如果一个2次轴L2垂直于n次轴Ln，那么必定有n个L2垂直于 Ln ，且相邻的两个L2的夹角为的基转角的一半，即,当n=2，3，4，6时，分别有,石英具有L33L2对称,对称元素组合定律,（2）如果一个对称面P垂直偶次对称轴Ln，则在其交点存在对称 中心C，即,当n=2，4，6时，分别有,石膏晶体具有L2PC对称,对称元素组合定律,（3）如果对称面P包含对称轴Ln，则必定有n个P包含Ln ，即,当n=2，3，4，6时，分别有,红锌矿晶体具有L66P对称,对称元素组合定律,（

18、4）如果一个2次轴L2垂直于倒转轴 ，或者有一个对称面P包含 ，则当n为奇数时，必有n个L2垂直于 和n个对称面包含 ； 当n为偶数时，必有n/2个L2垂直于 和n/2个对称面包含 ，也即,n为奇数的情况只有n=3，可以得,（方解石）,n为偶数时，当n=4，6时,（黄铜矿）,在晶体外形中，表现出来的对称元素只有对称心、对称面以及轴次为1，2，3，4，6的对称轴和倒转轴（映转轴），与这些对称元素相应的对称操作都是点操作。 当晶体具有一个以上的对称元素时，这些对称元素一定要通过一个公共点，即晶体的中心。将所有的对称元素组合起来共有32种类型，即晶体的32种点群。 点群的推导和证明可以用群论的原理和性质来进行，也可以用直观的方法（如对称元素组合定律）来进行。 为了推导的方便，把高次轴（n2）不多于一个的组合称为A类组合，高次轴多于一个的组合称为B类组合。,对称元素组合定律推导7种晶系32种晶体学点群,对称元素组合定律推导7种晶系32种晶体学点群,A类组合的推导 独立的宏观对称元素有如下10种： L1， L2， L3， L4， L6， C(= )， P(= ), (= L3 +C)， 和 （= L3 +P）,(1) 对称元素单独存在。此时可能的组合为10种：,（2