三角形四心的向量性质练习

1、 三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知是不共线的三点，是内一点，若则是的重心证明：如图1所示，因为，所以 以，为邻边作平行四边形，则有，所以又因为在平行四边形中，交于点，所以，所以是的边的中线故是的重心点评：解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法例1如图2所示，的重心为为坐标原点，试用表示解：设交于点，则是的中点，图2而变式：已知分别为的边的中点则证明：如图的所示， 图3 变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，则证明：，点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的

2、平行四边形法则（2）若与重合，则上式变为0 例2. 已知是平面内一点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 内心题2：已知o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足, . 则p点的轨迹一定通过abc的( )a. 外心 b. 内心 c. 重心 d. 垂心解：由已知得，设bc的中点为d，则根据平行四边形法则知点p在bc的中线ad所在的射线上，故p的轨迹过abc的重心，选c.题3：已知o是平面上的一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足, 则动点p的轨迹一定通过abc的( )a. 重心 b. 垂心 c. 外心

3、d. 内心解：由已知得，由正弦定理知，设bc的中点为d，则由平行四边形法则可知点p在bc的中线ad所在的射线上，所以动点p的轨迹一定通过abc的重心，故选a .题7：已知a、b、c是平面上不共线的三点，o为abc的外心，动点p满足，则p的轨迹一定通过abc的( )a. 内心 b. 垂心 c. 重心 d. ab边的中点解：= =,由平行四边形法则知必过ab边的中点，注意到，所以p的轨迹在ab边的中线上，但不与重心重合，故选d.题8：已知o是abc所在平面上的一点，若= 0, 则o点是abc的( )a. 外心 b. 内心 c. 重心 d. 垂心解：若= 0, 则，以、为邻边作平行四边形oac1b，

4、设oc1与ab交于点d，则d为ab的中点，有，得，即c、o、d、c1四点共线，同理ae、bf亦为abc的中线，所以o是abc的重心. 选c .题9：已知o是abc所在平面上的一点，若(其中p为平面上任意一点), 则o点是abc的( )a. 外心 b. 内心 c. 重心 d. 垂心解：由已知得，即= 0，由上题的结论知o点是abc的重心. 故选c .例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 a b c e f d g证：设= b，= a，则=+= b+a, =a, g, d共线，b, g, e共线可设=，= ,则=(b+a)=b+a,= = (b+a)=b+a, 即：b

5、 + (b+a) =b+a(-)a + (-+)b = 0 a, b不平行，即：ag = 2gd 同理可化：ag = 2gd , cg = 2gf二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知是内一点，满足，则点为abc的外心。例2 已知g、m分别为不等边abc的重心与外心，点a，b的坐标分别为a（-1，0），b（1，0），且，（1）求点c的轨迹方程；（2）若直线过点（0，1），并与曲线交于p、q两点，且满足，求直线的方程。解 （1）设c（x,y），则g（）， 其中， 由于， 故，外心m（0，），得轨迹e的方程是 题5：已知o是平面上的一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足, ,

6、则动点p的轨迹一定通过abc的( )a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 内心解：设bc的中点为d，则，则由已知得，= 0 . dpbc，p点在bc的垂直平分线上，故动点p的轨迹通过abc的外心. 选c .题12：已知o是abc所在平面上的一点，若= 0，则o点是abc的( )a. 外心 b. 内心 c. 重心 d. 垂心解：由已知得：= 0= 0. 所以o点是abc的外心. 选a .三、三角形的垂心的向量表示及应用命题三：已知是内一点，满足，则点g为垂心。（2005全国文12）证明:由. 即则所以p为的垂心. 点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心

7、定义等相关知识巧妙结合。变式：若h为abc所在平面内一点，且则点h是abc的垂心bcha图6证明: 0即0同理，故h是abc的垂心例4. 如图，ad、be、cf是abc的三条高，abcdefh求证：ad、be、cf相交于一点。证：设be、cf交于一点h，= a, = b, = h,则= h - a , = h - b , = b - a , 又点d在ah的延长线上，ad、be、cf相交于一点题4：已知o是平面上的一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足, 则动点p的轨迹一定通过abc的( )a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 内心解：由已知得，= 0，即apbc，所以动点p的

8、轨迹通过abc的垂心，选b.题10：已知o是abc所在平面上的一点，若，则o点是abc的( )a. 外心 b. 内心 c. 重心 d. 垂心解：由，则，即，得，所以. 同理可证，. o是abc的垂心. 选d.题11：已知o为abc所在平面内一点，满足=，则o点是abc的( )a. 垂心 b. 重心 c. 内心 d. 外心解：由已知得= 0= 0，. 同理，. 故选a .四、三角形的内心的向量表示及应用 命题四：o是内心的充要条件是变式1：如果记的单位向量为，则o是内心的充要条件是 变式2：如果记的单位向量为，则o是内心的充要条件也可以是。例4（2003江苏）已知o是平面上一定点，a、b、c是平

9、面上不共线的三个点，满足，则p的轨迹一定通过abc的内心 。 pecoabd图7解： 如图由已知， ，设，d、e在射线ab和ac上。 ap是平行四边行的对角线。又 ， adpe是菱形。点p在 即 的平分线上。题1：已知o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足, . 则p点的轨迹一定通过abc的a. 外心 b. 内心 c. 重心 d. 垂心解：由已知得，是方向上的单位向量，是方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点p在bac的角平分线上，故点p的轨迹过abc的内心，选b. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1、若动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）.（答案：b

10、）a. 重心 b. 内心 c. 垂心 d. 外心练习：在直角坐标系xoy中，已知点a(0,1)和点b(3, 4)，若点c在aob的平分线上，且，则=_.略解：点c在aob的平线上，则存在使=, 而，可得，.题6：三个不共线的向量满足=+) = 0，则o点是abc的( )a. 垂心 b. 重心 c. 内心 d. 外心解：表示与abc中a的外角平分线共线的向量，由= 0知oa垂直a的外角平分线，因而oa是a的平分线，同理，ob和oc分别是b和c的平分线，故选c .题13：已知o是abc所在平面上的一点，若= 0，则o点是abc的( )a. 外心 b. 内心 c. 重心 d. 垂心解：，则= 0，得

11、. 因为与分别为和方向上的单位向量，设，则平分bac. 又、共线，知ao平分bac. 同理可证bo平分abc，co平分acb，所以o点是abc的内心.题14：已知o是abc所在平面上的一点，若(其中p是abc所在平面内任意一点)，则o点是abc的( )a. 外心 b. 内心 c. 重心 d. 垂心解：由已知得=，=，由上题结论知o点是abc的内心. 故选b. 五、三角形外心与重心的向量关系及应用命题五：设abc的外心为o，则点g为abc重心的充要条件为：图8证明：如图8，设g为重心，连结ag并延长，交bc于d，则d为bc的中点。 反之，若，则由上面的证明可知：设d为bc的中点，则，从而，g在中

12、线ad上且ag=ad，即g为重心。六、三角形外心与垂心的向量关系及应用命题六：设abc的外心为o，则点h为abc的垂心的充要条件是。证明：如图2，若h为垂心，以ob、oc为邻边作平行四边形obdc，图9则 o为外心，ob=oc， 平行四边形obdc为菱形 odbc，而ahbc， ahod，存在实数，使得 。同理，存在实数，使得 比较、可得， 反之，若，则， o为外心，ob=ocahcb，同理，bhac。 h为垂心。例6、已知h是abc的垂心，且ah=bc，试求a的度数解：设abc的外接圆半径为r，点o是外心。 h是abc的垂心 ，ah=bc， 而a为abc的内角， 02a360 从而2a=90

13、或270 a的度数为45或135。a bcoh d题16：设o为abc的外心，h为abc的垂心，则.证明：在abc的外接圆o中作直径bd，连接ad、dc，则有：, adab, dcbc, 又h是垂心，则ahbc, chab, chad, ahdc, 于是ahcd是平行四边形，.练习1：abc的外接圆的圆心为o，两边上的高的交点为h，=，则实数m =_.解1：由上题结论知m = 1.解2：o为abc的外接圆的圆心，所以，又h为三角形的垂心，则，故，设. 则，又=，所以m=1.练习2：abc中，ab=1, bc =, ca = 2, abc的外接圆的圆心为o，若，求实数的值.解：，两边平方得. 分

14、别取ab、ac的中点m、n，连接om、on. 则=.又o为abc的外接圆的圆心，则= 0，即有.同理有= 0，得. 解得，.七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用命题七：abc的外心、重心、垂心分别为o、g、h，则o、g、h三点共线（o、g、h三点连线称为欧拉线），且og=gh。图10证明：如图10，由命题五、六知，连结ag并延长，交bc于d，则d为bc的中点。，o、g、h三点共线，且og=gh。在中，分别是的外心、重心、垂心。（1） 求证：；（2） 求证：三点共线；（3） 若，求的大小.解：连接bo并延长交外接圆于点d 连接ad,cd,ah,ch,显然，所以，同理，所以，即，所以因为是

15、是的重心，所以=。，则，所以，两边平方并注意到，又=，例7、已知o（0，0），b（1，0），c（b，c），是obc的三个顶点。试写出obc的重心g，外心f，垂心h的坐标，并证明g、f、h三点共线。（2002年全国）解：重心g为，设h点的坐标为 ，bc=(b-1，c)， ，故 h点的坐标为 设外心f的坐标为由|fo|=|fc|，得，所以f点的坐标为（，）。 从而可得出gh=（，），fh=（，） ，ghfh，f、g、h三点共线。 点评：向量不仅是平面解析几何入门内容，而且是解在关数形结合问题的重要工具。它一般通过概念的移植、转化，将坐标与向量结合起来，从而使一些难题在思路上获得新的突破。例8、已知

16、p是非等边abc外接圆上任意一点，问当p位于何处时，pa2+pb2+pc2取得最大值和最小值。解：如图11，设外接圆半径为r，点o是外心，则图11pa2+pb2+pc2=（由命题六知：h为垂心，）当p为oh的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6r2+2roh当p为oh的延长线与外接圆的交点时，有最小值6r22roh八、与三角形形状相关的向量问题题17：已知非零向量与满足= 0且，则abc为( )a. 三边均不相等的三角形 b. 直角三角形c. 等腰非等边三角形 d. 等边三角形解：由= 0，知角a的平分线垂直于bc，故abc为等腰三角形，即|ab| = |ac|；由，= 600 . 所以ab

17、c为等边三角形，选d .题18：已知o为abc所在平面内一点，满足，则abc一定是( )a. 等腰直角三角形 b. 直角三角形c. 等腰三角形 d. 等边三角形解：由已知得，可知以ab与ac为邻边的平行四边形是矩形，所以abac，选b .题19：已知abc，若对任意，则abc( )a. 必为锐角三角形 b. 必为钝角三角形c. 必为直角三角形 d. 答案不确定解法1：，式右边表示a、c两点之间的距离，记，则式左边表示直线bc外一点a与直线bc上动点p之间的距离，由恒成立知，a在直线bc上的射影就是c点，所以acbc，故选c .解法2：令，过点a作adbc于点d, 由，得，令f (t) =，则f

18、 (t)恒成立，只要f (t)的最小值大于或等于，而当t =时，f (t)取最小值，此时：，即，从而有| ad | | ac | , , 故选c.题20：已知a, b, c分别为abc中a, b, c的对边，g为abc的重心，且= 0, 则abc为( )a. 等腰直角三角形 b. 直角三角形c. 等腰三角形 d. 等边三角形解：g是abc的重心，= 0, 又= 0, = 0, 即= 0 ., 不共线，a c = b c = 0, 即a = b = c. abc为等边三角形. 选d.九、与三角形面积相关的向量问题命题：平面内点o是abc的重心，则有 .题21：已知点o是abc内一点，= 0, 则

19、：(1) aob与aoc的面积之比为_；(2) abc与aoc的面积之比为_；(3) abc与四边形aboc的面积之比为_.解： (1) 将ob延长至e，使oe = 2ob，将oc延长至f，使of = 3oc，则= 0, 所以o是aef的重心. ，.(2) ，=，又, .(3) =， .十、向量的基本关系(共线、垂直、夹角)命题：a、b、c三点共线，且(o为平面上任一点).题22：在abc中，已知d是ab边上一点，若，则=( )a. b. c. d. 解：由上述命题的结论可知选a .abcmone题23：如图，在abc中，点o是bc的中点，过点o的直线分别交直线ab、ac于不同的两点m、n，若，则m + n =_.解1：取特殊位置. 设m与b重合，n与c重合，则m=n=1, 所以m+n=2.解2：=，m、o、n三点共线，,m + n = 2.解3：过点b作beac, 则，.又，1 m = n 1, m + n = 2 .gabcmpq题24：如图，已知点g是