空间向量与立体几何典型例题

1、空间向量与立体几何典型例题一、选择题：1(2008全国卷理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ c ）ab cd1.解：c由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为长度均为，平面的法向量为,则与底面所成角的正弦值为.二、填空题：1(2008全国卷理)等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 1题图（1）1.答案：.设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则,1题图（2

2、）故所成角的余弦值另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点,则,故所成角的余弦值.三、解答题：1（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线ab与md所成角的大小；（）求点b到平面ocd的距离。1方法一（综合法）（1） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，所以 与所成角的大小为（）点a和点b到平面ocd的距离相等，连接op,过点a作 于点q，又 , 线段aq的长就是点a到平面ocd的距离，所以点b到平面ocd的距离为方法二(向量法)作于点p,如图,分别以ab,ap,ao所在直线为轴建立坐标系,(1)设与所成的角为, , 与所成角的

3、大小为(2) 设平面ocd的法向量为,则即 取,解得设点b到平面ocd的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, , .所以点b到平面ocd的距离为2（2008安徽理）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。（）证明：直线；（）求异面直线ab与md所成角的大小； （）求点b到平面ocd的距离。2 方法一（综合法） （1）取ob中点e，连接me，ne又 （2） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接， 所以 与所成角的大小为（3）点a和点b到平面ocd的距离相等，连接op,过点a作 于点q，又 ,线段aq的长就是点a到平面ocd的距离，所以点b到平面ocd的距离为方法二

4、(向量法)作于点p,如图,分别以ab,ap,ao所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面ocd的法向量为,则即 取,解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点b到平面ocd的交流为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点b到平面ocd的距离为3（2008北京文）如图，在三棱锥p-abc中，ac=bc=2，acb=90，ap=bp=ab，pcac.（）求证：pcab；（）求二面角b-ap-c的大小.3解法一：（）取ab中点d，连结pd，cd.ap=bp，pdab.ac=bc.cdab.pdcdd.ab平面pcd.pc平面pcd，pcab.（）ac=bc,ap=bp,apcb

5、pc.又pcac，pcbc.又acb90，即acbc，且acpc=c，abbp，beap.ec是be在平面pac内的射影，ceap.bec是二面角b-ap-c的平面角.在bce中，bce=90,bc=2,be=，sinbec=二面角b-ap-c的大小为aresin解法二：（）ac=bc,ap=bp,apcbpc.又pcac.pcbc.acbc=c,pc平面abc.ab平面abc，pcab. ()如图，以c为原点建立空间直角坐标系c-xyz.则c（0，0，0），a（0，2，0），b（2，0，0）.设p（0，0，t）,pb=ab2，t=2,p(0,0,2).取ap中点e，连结be，ce.ac=pc

6、,ab=bp,ceap,beap.bec是二面角b-ap-c的平面角.e(0,1,1),cosbec=二面角b-ap-c的大小为arccosacbdp4（2008北京理）如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离4解法一：（）取中点，连结，平面平面，acbep（），又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，acbdph二面角的大小为（）由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中， 点到平面的距离为解法二：（），又，平面平面，（）如图，以为原点建立空间直角坐标系acbpzxyhe

7、则设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为（），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离如（）建立空间直角坐标系，点的坐标为 点到平面的距离为5 (2008福建文) 如图，在四棱锥中，侧面pad底面abcd,侧棱pa=pd=,底面abcd为直角梯形，其中bcad,abcd,ad=2ab=2bc=2,o为ad中点。（1）求证：po平面abcd;（2）求异面直线pb与cd所成角的余弦值；（3）求点a到平面pcd的距离5.解：如图，a(0,-1,0),b(1,-1,0),c(1,0,0),d(0,1,0),p(0,0,1)所以所以异面直线所成的角的余弦值为：(2)设平面pcd的法向

8、量为，所以 ；令x=1,则y=z=1,所以 又则，点a到平面pcd的距离为：6(2008福建理) 如图，在四棱锥p-abcd中，则面pad底面abcd，侧棱pa=pd，底面abcd为直角梯形，其中bcad,abad,ad=2ab=2bc=2,o为ad中点.（）求证：po平面abcd；（）求异面直线pd与cd所成角的大小；（）线段ad上是否存在点q，使得它到平面pcd的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.6本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（）证明：在pad中pa=pd,o为ad

9、中点，所以poad,又侧面pad底面abcd,平面平面abcd=ad, 平面pad，所以po平面abcd.（）连结bo，在直角梯形abcd中、bcad，ad=2ab=2bc,有odbc且od=bc,所以四边形obcd是平行四边形，所以obdc.由（）知，poob,pbo为锐角，所以pbo是异面直线pb与cd所成的角.因为ad=2ab=2bc=2,在rtaob中，ab=1,ao=1,所以ob，在rtpoa中，因为ap，ao1，所以op1，在rtpbo中，tanpbo所以异面直线pb与cd所成的角是.（）假设存在点q，使得它到平面pcd的距离为.设qdx，则，由（）得cd=ob=，在rtpoc中，

10、 所以pc=cd=dp, 由vp-dqc=vq-pcd,得2，所以存在点q满足题意，此时.解法二：()同解法一.()以o为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系o-xyz,依题意，易得a(0,-1,0),b(1,-1,0),c(1,0,0),d(0,1,0),p(0,0,1), 所以所以异面直线pb与cd所成的角是arccos， ()假设存在点q，使得它到平面pcd的距离为，由()知设平面pcd的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面pcd的一个法向量为n=(1,1,1).设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点q满足题意，此时.7、

11、(2008海南、宁夏理)如图，已知点p在正方体abcda1b1c1d1的对角线bd1上，pda=60。（1）求dp与cc1所成角的大小；（2）求dp与平面aa1d1d所成角的大小。7解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由可得abcdpxyzh解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为8. (2008湖北文)如图，在直三棱柱中，平面侧面 （）求证： （）若，直线ac与平面所成的角为， 二面角8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分）

12、 ()证明：如右图，过点a在平面a1abb1内作ada1b于d，则由平面a1bc侧面a1abb1,且平面a1bc侧面a1abb1a1b，得ad平面a1bc.又bc平面a1bc所以adbc.因为三棱柱abca1b1c1是直三棱柱,则aa1底面abc,所以aa1bc.又aa1ad=a,从而bc侧面a1abb1,又ab侧面a1abb1，故abbc. ()证法1：连接cd,则由()知acd就是直线ac与平面a1bc所成的角，aba1就是二面角a1bca的颊角，即acd，aba1=j. 于是在rtadc中，sin=,在rtada1中，sinaa1d, sin=sinaa1d,由于与aa1d都是锐角，所以

13、aa1d. 又由rta1ab知，aa1djaa1bj，故j. 证法2：由()知，以点b为坐标原点，以bc、ba、bb1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设ab=c（ca，则b(0,0,0)，a(0,c,0)，c(),a1(0,c,a)，于是，（0，c,a）,=(0,c,a)设平面a1bc的一个法向量为n=(x,y,z),则由可取n（0，a，c），于是n=ac0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.sinq=cosb=,cosj=所以sinq=cosj=sin(),又0q，j，所以q+j=.9. (2008湖北理)如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，平面abc

14、侧面a1abb1.（）求证：abbc；（）若直线ac与平面a1bc所成的角为,二面角a1-bc-a的大小为的大小关系，并予以证明.9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）（）证明：如右图，过点a在平面a1abb1内作ada1b于d，则由平面a1bc侧面a1abb1,且平面a1bc侧面a1abb1=a1b,得ad平面a1bc,又bc平面a1bc，所以adbc.因为三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，则aa1底面abc，所以aa1bc.又aa1ad=a,从而bc侧面a1abb1，又ab侧面a1abb1，故abbc.（）解

15、法1：连接cd，则由（）知是直线ac与平面a1bc所成的角，是二面角a1bca的平面角，即于是在rtadc中，在rtadb中，由abac，得又所以解法2：由（）知，以点b为坐标原点，以bc、ba、bb1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设aa1=a,ac=b,ab=c,则 b(0,0,0), a(0,c,0), 于是设平面a1bc的一个法向量为n=(x,y,z)，则由得可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.所以于是由cb，得即又所以10. (2008湖南理)如图所示，四棱锥p-abcd的底面abcd是边长为1的菱形，bcd60，e是cd的中

16、点，pa底面abcd，pa2. （）证明：平面pbe平面pab;（）求平面pad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小.10解: 解法一 （）如图所示，连结bd，由abcd是菱形且bcd=60知，bcd是等边三角形.因为e是cd的中点，所以becd,又abcd,所以beab.又因为pa平面abcd，平面abcd，所以pabe.而ab=a,因此be平面pab.又平面pbe，所以平面pbe平面pab.（）延长ad、be相交于点f，连结pf.过点a作ahpb于h，由（）知平面pbe平面pab,所以ah平面pbe.在rtabf中，因为baf60，所以，af=2ab=2=ap.在等腰rtpaf中，取pf的

17、中点g，连接ag.则agpf.连结hg，由三垂线定理的逆定理得，pfhg.所以agh是平面pad和平面pbe所成二面角的平面角（锐角）.在等腰rtpaf中， 在rtpab中， 所以，在rtahg中， 故平面pad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小是解法二: 如图所示，以a为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是a（0，0，0），b（1，0，0），p（0，0，2）,（）因为，平面pab的一个法向量是，所以共线.从而be平面pab.又因为平面pbe，故平面pbe平面pab. ()易知 设是平面pbe的一个法向量，则由得所以 设是平面pad的一个法向量，则由得所以故可取 于是， 故平面p

18、ad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小是11(2008湖南文) 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，e是cd的中点，pa底面abcd，。（i）证明：平面pbe平面pab；（ii）求二面角abep和的大小。11解：解法一（i）如图所示, 连结由是菱形且知，是等边三角形. 因为e是cd的中点，所以又所以又因为pa平面abcd，平面abcd，所以而因此 平面pab.又平面pbe，所以平面pbe平面pab.（ii）由（i）知，平面pab, 平面pab, 所以 又所以是二面角的平面角在中, 故二面角的大小为解法二：如图所示,以a为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是（i）因为平面pab的

19、一个法向量是所以和共线.从而平面pab. 又因为平面pbe，所以平面pbe平面pab.（ii）易知设是平面pbe的一个法向量,则由得 所以故可取而平面abe的一个法向量是于是,故二面角的大小为12(2008江苏)记动点p是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，求的取值范围12解：由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有, 由，得，所以 显然不是平角，所以为钝角等价于 ，则等价于即 ，得因此，的取值范围是13(2008江西文、理) 如图，正三棱锥的三条侧棱、两两垂直，且长度均为2、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、或其延长线分别相交于、，已知（1）求证：

20、面；（2）求二面角的大小13解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以，则平面，所以。 又是的中点，所以，则。 因为，所以面，则，因此面。（2）作于，连。因为平面，根据三垂线定理知， 就是二面角的平面角。 作于，则，则是的中点，则。设，由得，解得，在中，则，。所以，故二面角为。解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则 所以所以 所以平面 由得，故：平面 (2)由已知设则由与共线得:存在有得同理: 设是平面的一个法向量,则 令得 又是平面的一个法量 所以二面角的大小为 abcdefpqhg14(2008辽宁文)如图，在棱长为1的正方体中，ap=bq=b（0b1），截面pqef，截面p

21、qgh（）证明：平面pqef和平面pqgh互相垂直；（）证明：截面pqef和截面pqgh面积之和是定值，并求出这个值；（）若，求与平面pqef所成角的正弦值14本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力满分12分解法一：（）证明：在正方体中，又由已知可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分（）证明：由（）知，又截面pqef和截面pqgh都是矩形，且pq=1，所以截面pqef和截面pqgh面积之和是，是定值8分abcdefpqhgn（）解：设交于点，连结，因为平面，所以为与平面所成的角因为，所以分别为，的中点可知，所以12分解法二：以d为原

22、点，射线da，dc，dd分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系dxyz由已知得，故abcdefpqhyxzg，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面pqef的法向量因为，所以是平面pqgh的法向量因为，所以，所以平面pqef和平面pqgh互相垂直4分（）证明：因为，所以，又，所以pqef为矩形，同理pqgh为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面pqef和截面pqgh面积之和为，是定值8分（）解：由（）知是平面的法向量由为中点可知，分别为，的中点所以，因此与平面所成角的正弦值等于12分abcdefpqhg15(2008辽宁理)如图，在棱长为1的正方体中，ap

23、=bq=b（0b1），截面pqef，截面pqgh（）证明：平面pqef和平面pqgh互相垂直；（）证明：截面pqef和截面pqgh面积之和是定值，并求出这个值；（）若与平面pqef所成的角为，求与平面pqgh所成角的正弦值abcdefpqhgnm15本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识， 考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分解法一：（）证明：在正方体中，又由已知可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分（）证明：由（）知，又截面pqef和截面pqgh都是矩形，且pq=1，所以截面pqef和截面pqgh面积之和是，是定值8分（iii）解：连结bc交eq于点m因为

24、，所以平面和平面pqgh互相平行，因此与平面pqgh所成角与与平面所成角相等与（）同理可证eq平面pqgh，可知em平面，因此em与的比值就是所求的正弦值设交pf于点n，连结en，由知因为平面pqef，又已知与平面pqef成角，所以，即，解得，可知e为bc中点所以em=，又，故与平面pqch所成角的正弦值为12分解法二：以d为原点，射线da，dc，dd分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系dxyz由已知得，故，abcdefpqhyxzg，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面pqef的法向量因为，所以是平面pqgh的法向量因为，所以，所以平面pqef和平面pqgh互相

25、垂直4分（）证明：因为，所以，又，所以pqef为矩形，同理pqgh为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面pqef和截面pqgh面积之和为，是定值8分（）解：由已知得与成角，又可得 ，即，解得所以，又，所以与平面pqgh所成角的正弦值为12分abcdea1b1c1d116(2008全国卷文、理) 如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小16解法一：依题设，（）连结交于点，则abcdea1b1c1d1fhg由三垂线定理知，3分在平面内，连结交于点，由于，故，与互余于是与平面内两条相交直线都垂直，所以平面6分（）作，垂足为，连结由三垂线定理知，故是二面角的平面角8分，

26、又，abcdea1b1c1d1yxz所以二面角的大小为-12分 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，-3分（）因为，故，又，所以平面6分（）设向量是平面的法向量，则，故，令，则，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小为12分17(2008全国卷文)（四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设侧面为等边三角形，求二面角的大小17解：（1）取中点，连接交于点，又面面，面，即，面，（2）在面内过点做的垂线，垂足为，面，则即为所求二面角，则，18(2008全国卷理) 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小18解：（

27、1）取中点，连接交于点，又面面，面，18题图，即，面，（2）在面内过点作的垂线，垂足为，面，则即为所求二面角的平面角，则，即二面角的大小19 (2008山东理)如图，已知四棱锥p-abcd，底面abcd为菱形，pa平面abcd，,e，f分别是bc, pc的中点.（）证明：aepd; （）若h为pd上的动点，eh与平面pad所成最大角的 正切值为，求二面角eafc的余弦值。19（）证明：由四边形abcd为菱形，abc=60，可得abc为正三角形.因为 e为bc的中点，所以aebc. 又 bcad，因此aead.因为pa平面abcd，ae平面abcd，所以paae.而 pa平面pad，ad平面pa

28、d 且paad=a，所以 ae平面pad，又pd平面pad.所以 aepd.（）解：设ab=2，h为pd上任意一点，连接ah，eh.由（）知 ae平面pad，则eha为eh与平面pad所成的角.在rteah中，ae=，所以 当ah最短时，eha最大，即 当ahpd时，eha最大.此时 taneha=因此 ah=.又ad=2，所以adh=45，所以 pa=2.解法一：因为 pa平面abcd，pa平面pac， 所以 平面pac平面abcd. 过e作eoac于o，则eo平面pac， 过o作osaf于s，连接es，则eso为二面角e-af-c的平面角， 在rtaoe中，eo=aesin30=，ao=a

29、ecos30=, 又f是pc的中点，在rtaso中，so=aosin45=, 又 在rteso中，coseso= 即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知ae，ad，ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又e、f分别为bc、pc的中点，所以e、f分别为bc、pc的中点，所以a（0，0，0），b（，-1，0），c（c，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2），e（，0，0），f（），所以 设平面aef的一法向量为则因此取因为 bdac，bdpa，paac=a，所以 bd平面afc，故 为平面afc的一法向量.又 =（-），所以 cosm, =因为 二面角e-af-c为锐角

30、，所以所求二面角的余弦值为a1ac1b1bdc20(2008陕西理)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，（）证明：平面平面；（）求二面角的大小20解法一：（）平面平面，在中，a1ac1b1bdcfe（第20题，解法一），又，即又，平面，平面，平面平面（）如图，作交于点，连接，由已知得平面是在面内的射影由三垂线定理知，为二面角的平面角过作交于点，则，在中，a1ac1b1bdczyx（第20题，解法二）在中，即二面角为解法二：（）如图，建立空间直角坐标系，则，点坐标为，又，平面，又平面，平面平面（）平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则，如图，可取，则，即二面角为a

31、1ac1b1bdc21.(2008陕西文) 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，为中点（）证明：平面平面；（）求二面角的大小21解：22(2008四川文) 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，分别为的中点（）证明：四边形是平行四边形；（）四点是否共面？为什么？（）设，证明：平面平面；22【解1】：（）由题意知，所以又，故所以四边形是平行四边形。（）四点共面。理由如下：由，是的中点知，所以由（）知，所以，故共面。又点在直线上所以四点共面。（）连结，由，及知是正方形故。由题设知两两垂直，故平面，因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，又，所以平面由（）知，所以平面。由（）

32、知平面，故平面，得平面平面【解2】：由平面平面，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系（）设，则由题设得所以于是又点不在直线上所以四边形是平行四边形。（）四点共面。理由如下：由题设知，所以又，故四点共面。（）由得，所以又，因此即又，所以平面故由平面，得平面平面【点评】：此题重点考察立体几何中直线与直线的位置关系，四点共面问题，面面垂直问题，考察了空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意逻辑性是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的

33、计算中的计算方法是解题的关键。23(2008四川理) 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，（）证明：四点共面；（）设，求二面角的大小；23【解1】：（）延长交的延长线于点，由得 延长交的延长线于同理可得 故，即与重合因此直线相交于点，即四点共面。（）设，则，取中点，则，又由已知得，平面故，与平面内两相交直线都垂直。所以平面，作，垂足为，连结由三垂线定理知为二面角的平面角。故所以二面角的大小【解2】：由平面平面，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系（）设，则故，从而由点，得故四点共面（）设，则， 在上取点，使，则从而又在上取点，使，则从而故与的夹角等于二面角的平面角，所以二面角的大小【点评】：此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考察空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；【