工程力学-92弯曲应力

1、主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305,工程力学,2,9(2). 弯曲应力, 弯曲切应力简介, 提高梁强度的措施, 弯曲正应力及正应力强度条件,3,梁的横截面上既有弯矩又有剪力剪切弯曲（横力弯曲）,梁的横截面上仅有弯矩而无剪力纯弯曲,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,4, 变形的几何关系,对称截面AA处的两侧杆件的结构与受力对称，所以变形也是对称的。于是AA截面必然保持平面。,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,5, 变形的几何关系,从对称截面AA处将杆件截开。,截开后的杆段，其结构、受力和变形仍然是对称的，所以杆段的对称面同样保持平面。,无限分割下去，

2、就可以证明所有横截面都将保持平面。,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,平面假设：纯弯曲梁的横截面变形前后保持为平面且与轴线正交。,6, 变形的几何关系,设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸、或压缩。,单向受拉、压假设:,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,7,、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。,、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。,推断：横截面上仅有正应力而无切应力。, 变形的几何关系,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,8,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的

3、纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中性层 。,中间层与横截面的交线称为中性轴。, 变形的几何关系,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋转。,9, 变形的几何关系,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,在梁上取一微段：,10,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,中性层曲率半径为,距中性轴距离为y,11, 应力与应变关系,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,在比例极限内：,中性轴,12,因此，中性轴一侧的拉应力的合力必然要和另一侧的压应力的合力相等。,对于纯弯

4、曲来讲，其横截面上只有弯矩。,也就意味着，中性轴要过横截面的形心。, 静力关系,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,13, 静力关系,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,距中性轴距离为y的点处的正应力：,14,进行计算时，M和y一般用绝对值代入计算，至于所求点的正应力的符号，由梁的变形确定。,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,距中性轴距离为y的点处的正应力：,15,单一材料等直纯弯曲梁的正应力计算小结,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,16,线应变和正应力在横截面上的分布规律。,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条

5、件,单一材料等直纯弯曲梁的正应力计算小结,17, 截面上最大正应力计算公式, 抗弯截面系数,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件, 横截面上最大正应力的计算,18, 惯性矩I与抗弯截面系数W的计算,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,19, 惯性矩I与抗弯截面系数W的计算,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,20, 惯性矩I与抗弯截面系数W的计算,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,21, 惯性矩I与抗弯截面系数W的计算,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数,22,惯性矩的平行移轴公式,

6、同理可得：, 惯性矩I与抗弯截面系数W的计算,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,23,例1：已知长l=4m的悬臂梁，在B端作用一集中力F=10kN， 求,1. C 截面上a点、b点、c点的正应力,2. C 截面上最大正应力,3. 全梁上最大正应力,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,24,解：取x截面右段梁为研究对象。,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,1. C 截面上的弯矩大小,25,C截面上a，b，c点的正应力,2. C 截面上最大正应力,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,（拉）,（压）,26,3. 全梁上最大正应力,全

7、梁上最大弯矩的大小为,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,27, 弯曲正应力强度条件,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,材料的许用弯曲正应力,拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁,28,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,工程中常见的平面弯曲是横力弯曲, 实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,截面关于中性轴对称,截面关于中性轴不对称,(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内),横力弯曲梁上的最大正应力,弯曲正应力公式,可推广应用于横力弯

8、曲和小曲率梁.,29,例2：圆截面悬臂梁l=1m，D=0.04m;均布载荷集度q=2kN/m，=160MPa。 求：1）校核梁的正应力强度； 2）改用=d/D0=0.8的空心轴，请按正应力强度设计D0。,解：取x截面左段梁为研究对象。,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,30, 弯曲正应力及正应力强度条件,9(2). 弯曲应力,31,讨论：承载能力相同情况下，比较两种设计方案：,承载能力相同的情况下，空心梁更经济。, 弯曲正应力及正应力强度条件,9(2). 弯曲应力,32,例3：试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。, 弯曲正应力及正应力强度条件,解：

9、求支座反力：,求弯矩：,取x截面左段梁为研究对象。,9(2). 弯曲应力,33,竖放,横放,可见，竖放比横放好。,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,34,例4：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度l2m。T形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,35,解：首先要列出弯矩方程，得到最大弯矩。,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,求支座反力，得到：,求弯矩：,取x1截面左段梁为研究对象。,取x2截面左段梁为研究

10、对象。,36,由受力分析知，上侧受压，下侧受拉。,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,求最大拉应力、压应力:,37,例5 yc=15.75cm, Iz=6012.5,求：按正应力校核强度,解：1、RB=30kN, RD=10kN,2、作内力图,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,38,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,危险的截面有两处，B截面和C截面。,39,B截面有,3、校核强度:,C截面有,C 截面强度不够！,9(2). 弯曲应力, 弯曲正应力及正应力强度条件,40,正应力公式仍然适用 假定切应力在横截面上的分布规律，然后据平衡条件导出计算

11、公式 不再用变形、物理和静力关系进行推导,研究方法,研究对象,矩形梁截面 工字形梁截面 圆形梁截面 其它形状, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,横力弯曲( M, FQ均不为零）一般情况，有正应力和切应力。,41,单一材料矩形截面梁的弯曲切应力,2. 关于切应力分布的假设,(1) 切应力与侧边方向平行；,(2) 切应力沿截面宽度方向均匀分布。,对hb的截面而言， 此假设为合理的。, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,42, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,横截面上的切应力,切应力分析方法:,43,矩形梁截面, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,横截面内切应力最大值发生在中性轴

12、处。,发生在上下边缘处,44,圆截面, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,横截面内切应力最大值发生在中性轴处。,发生在上下边缘处,45,圆环截面, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,横截面内切应力最大值发生在中性轴处。,发生在上下边缘处,46,工字钢截面, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,横截面内切应力最大值发生在中性轴处。,47,大跨度梁: 切应力可忽略 粗 短 梁: 按正应力强度条件设计，以切应力强度条件校对。,结论：横截面内切应力最大值发生在中性轴处。而此处正应力为零，得到切应力强度条件,max, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,需要校核剪应力的几种特殊情况：,(2)

13、铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力,(1)梁的跨度较短，M 较小，而 FQ 较大时，要校核剪应力。,(3)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,48,例1：如图，已知q=3.6kN/m，梁的跨长l=3m，梁的横截面为bh=120mm180mm的矩形，梁的材料为松木。由于该梁长期处于潮湿状态，故容许应力取得很低，容许弯曲应力s=7MPa,容许切应力t =0.9MPa。试校核此梁的强度., 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,49,解：求支座反力，作剪力图及弯矩图,此梁的最大剪力出现在梁的支座处横截面上,此梁最大弯矩发生在跨中的横截面上,

14、 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,Q,50,梁的抗弯截面系数为,则有：, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,51,又因为,所以,以上两方面强度条件均能满足,故此木梁是安全的。, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,52,例2：一简易吊车的示意图如图a所示，其中F=30kN，跨长 l=5 m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力s=170 MPa，许用切应力t=100 MPa。试校核梁的强度., 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,53,解： 1.吊车梁可简化为简支梁。 校核正应力强度。,解出支座反力，作弯矩图， 并得到Mmax,当荷载移至跨中时，即C截面处，梁的横截面上的

15、最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。如图所示。, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,54,由型钢规格表查得20a号工字钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正应力为, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,55,2. 校核切应力强度。 荷载移至紧靠支座A处时梁的剪力为最大。此时的约束力FAF，相应的剪力图如图所示。FQ,max=FA=30kN, 弯曲切应力简介,9(2). 弯曲应力,根据切应力公式，判断最大切应力是否满足强度条件！,56,合理地布置载荷和支承 合理设计截面形状 设计等强度梁 减小跨度或增加支承,机械与结构设计的原则是在安全、可靠的前提下，力求经济、美观。这就要求在满足强度、刚度条件的基础下，尽可能的节约材料、减轻自重。, 提高梁强度的措施,9(2). 弯曲应力,57,q=F/ l, 提高梁强度的措施,9(2). 弯曲应力,合理地布置载荷和支承,58, 提高梁强度的措施,9(2). 弯曲应力,合理设计截面形状,59,对于形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式。,竖放比平放更合理。, 提高梁强度的措施,9(2). 弯曲应力,60,根据材料特性选择截面形状：,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方。, 提高梁强度的措施,9(2). 弯曲应力,若抗拉能力弱，而梁的危险截面处