2019年数学一考试大纲

1、2019年數學一考試大綱考試科目：高等數學、線性代數、概率論與數理統計考試形式和試卷結構一、試卷滿分及考試時間試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘二、答題方式答題方式為閉卷、筆試三、試卷內容結構高等數學 約56%線性代數 約22%概率論與數理統計 約22%四、試卷題型結構單選題 8小題，每小題4分，共32分填空題 6小題，每小題4分，共24分解答題（包括證明題） 9小題，共94分高等數學一、函數、極限、連續考試內容函數概念及表示法函數有界性、單調性、周期性和奇偶性複合函數、反函數、分段函數和隱函數基本初等函數性質及其圖形初等函數函數關系建立數列極限與函數極限定義及其性質函數左極限和右極限無

2、窮小量和無窮大量概念及其關系無窮小量性質及無窮小量比較極限四則運算極限存在兩個准則：單調有界准則和夾逼准則兩個重要極限： 函數連續概念函數間斷點類型初等函數連續性閉區間上連續函數性質考試要求1理解函數概念，掌握函數表示法，會建立應用問題函數關系2了解函數有界性、單調性、周期性和奇偶性3理解複合函數及分段函數概念，了解反函數及隱函數概念4掌握基本初等函數性質及其圖形，了解初等函數概念5理解極限概念，理解函數左極限與右極限概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間關系 6掌握極限性質及四則運算法則7掌握極限存在兩個准則，並會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限方法8理解無窮小量、無窮大量概念，

3、掌握無窮小量比較方法，會用等價無窮小量求極限9理解函數連續性概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點類型10了解連續函數性質和初等函數連續性，理解閉區間上連續函數性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），並會應用這些性質二、一元函數微分學考試內容導數和微分概念導數幾何意義和物理意義函數可導性與連續性之間關系平面曲線切線和法線導數和微分四則運算 基本初等函數導數複合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定函數微分法高階導數 一階微分形式不變性微分中值定理洛必達法則函數單調性判別 函數極值函數圖形凹凸性、拐點及漸近線函數圖形描繪函數最大值與最小值弧微分曲率概念曲率圓與曲率半徑考試要求 1理解導

4、數和微分概念，理解導數與微分關系，理解導數幾何意義，會求平面曲線切線方程和法線方程，了解導數物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數可導性與連續性之間關系 2掌握導數四則運算法則和複合函數求導法則，掌握基本初等函數導數公式了解微分四則運算法則和一階微分形式不變性，會求函數微分 3了解高階導數概念，會求簡單函數高階導數 4會求分段函數導數，會求隱函數和由參數方程所確定函數以及反函數導數 5理解並會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解並會用柯西中值定理 6掌握用洛必達法則求未定式極限方法 7理解函數極值概念，掌握用導數判斷函數單調性和求函數極值方法，掌握函數最大值和最小值求法及其應用 8

5、會用導數判斷函數圖形凹凸性（注：在區間內，設函數具有二階導數當時，圖形是凹；當時，圖形是凸），會求函數圖形拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數圖形 9了解曲率、曲率圓與曲率半徑概念，會計算曲率和曲率半徑三、一元函數積分學考試內容原函數和不定積分概念不定積分基本性質基本積分公式定積分概念和基本性質定積分中值定理積分上限函數及其導數牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定積分和定積分換元積分法與分部積分法有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數積分反常（廣義）積分定積分應用考試要求 1理解原函數概念，理解不定積分和定積分概念 2掌握不定積分基本公式，掌握不定積分和定積分性質及定積分

6、中值定理，掌握換元積分法與分部積分法 3會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數積分4理解積分上限函數，會求它導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式 5了解反常積分概念，會計算反常積分6掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形面積、平面曲線弧長、旋轉體體積及側面積、平行截面面積為已知立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函數平均值四、向量代數和空間解析幾何考試內容向量概念向量線性運算向量數量積和向量積 向量混合積兩向量垂直、平行條件兩向量夾角向量坐標表達式及其運算單位向量方向數與方向餘弦曲面方程和空間曲線方程概念平面方程 直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線夾角以及平行、點到平面和

7、點到直線距離球面柱面旋轉曲面常用二次曲面方程及其圖形空間曲線參數方程和一般方程空間曲線在坐標面上投影曲線方程 考試要求1理解空間直角坐標系，理解向量概念及其表示2掌握向量運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行條件3理解單位向量、方向數與方向餘弦、向量坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算方法4掌握平面方程和直線方程及其求法5會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間夾角，並會利用平面、直線相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題6會求點到直線以及點到平面距離7了解曲面方程和空間曲線方程概念8了解常用二次曲面方程及其圖形，會求柱面和旋轉曲面方程9了解空間曲線參數方程

8、和一般方程了解空間曲線在坐標平面上投影，並會求該投影曲線方程五、多元函數微分學考試內容多元函數概念,二元函數幾何意義,二元函數極限與連續概念有界閉區域上多元連續函數性質多元函數偏導數和全微分,全微分存在必要條件和充分條件,多元複合函數、隱函數求導法 ,二階偏導數,方向導數和梯度,空間曲線切線和法平面曲面切平面和法線,二元函數二階泰勒公式,多元函數極值和條件極值,多元函數最大值、最小值及其簡單應用.考試要求1理解多元函數概念，理解二元函數幾何意義2了解二元函數極限與連續概念以及有界閉區域上連續函數性質3理解多元函數偏導數和全微分概念，會求全微分，了解全微分存在必要條件和充分條件，了解全微分形式不

9、變性4理解方向導數與梯度概念，並掌握其計算方法5掌握多元複合函數一階、二階偏導數求法6了解隱函數存在定理，會求多元隱函數偏導數7了解空間曲線切線和法平面及曲面切平面和法線概念，會求它們方程8了解二元函數二階泰勒公式六、多元函數積分學考試內容二重積分與三重積分概念、性質、計算和應用兩類曲線積分概念、性質及計算兩類曲線積分關系格林（Green）公式平面曲線積分與路徑無關條件二元函數全微分原函數兩類曲面積分概念、性質及計算 兩類曲面積分關系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度概念及計算 曲線積分和曲面積分應用考試要求1理解二重積分、三重積分概念，了解重積分性質，了解二重積分中

10、值定理2掌握二重積分計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）3理解兩類曲線積分概念，了解兩類曲線積分性質及兩類曲線積分關系4掌握計算兩類曲線積分方法5掌握格林公式並會運用平面曲線積分與路徑無關條件，會求二元函數全微分原函數6了解兩類曲面積分概念、性質及兩類曲面積分關系，掌握計算兩類曲面積分方法，掌握用高斯公式計算曲面積分方法，會用斯托克斯公式計算曲線積分7了解散度與旋度概念，並會計算8會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、形心、轉動慣量、引力、功及流量等）七、無窮級數考試內容 常數項級數收斂與發散

11、概念,收斂級數和概念,級數基本性質與收斂必要條件幾何級數與級數及其收斂性,正項級數收斂性判別法,交錯級數與萊布尼茨定理任意項級數絕對收斂與條件收斂函數項級數收斂域與和函數概念,冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域,冪級數和函數,冪級數在其收斂區間內基本性質 簡單冪級數和函數求法,初等函數冪級數展開式 ,函數傅裏葉系數與傅裏葉級數狄利克雷（Dirichlet）定理函數在上傅裏葉級數,函數在上正弦級數和餘弦級數.考試要求1理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數和概念，掌握級數基本性質及收斂必要條件2掌握幾何級數與級數收斂與發散條件3掌握正項級數收斂性比較判別法和比值判別法，會用根值判別法

12、4掌握交錯級數萊布尼茨判別法5了解任意項級數絕對收斂與條件收斂概念以及絕對收斂與收斂關系6了解函數項級數收斂域及和函數概念7理解冪級數收斂半徑概念，並掌握冪級數收斂半徑、收斂區間及收斂域求法8了解冪級數在其收斂區間內基本性質（和函數連續性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區間內和函數，並會由此求出某些數項級數和9掌握，及麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開為冪級數10了解傅裏葉級數概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在上函數展開為傅裏葉級數，會將定義在上函數展開為正弦級數與餘弦級數，會寫出傅裏葉級數和函數表達式八、常微分方程考試內容常微分方程基本概念變量可

13、分離微分方程齊次微分方程一階線性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用簡單變量代換求解某些微分方程可降階高階微分方程線性微分方程解性質及解結構定理二階常系數齊次線性微分方程高於二階某些常系數齊次線性微分方程簡單二階常系數非齊次線性微分方程 歐拉（Euler）方程微分方程簡單應用考試要求1了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念2掌握變量可分離微分方程及一階線性微分方程解法3會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單變量代換解某些微分方程4會用降階法解下列形式微分方程：和5理解線性微分方程解性質及解結構6掌握二階常系數齊次線性微分方程7會解自由項為多項式、指數函

14、數、正弦函數、餘弦函數以及它們和與積二階常系數非齊次線性微分方程8會解歐拉方程線性代數一、行列式考試內容行列式概念和基本性質行列式按行（列）展開定理考試要求1了解行列式概念，掌握行列式性質2會應用行列式性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式二、矩陣考試內容 矩陣概念矩陣線性運算矩陣乘法方陣冪方陣乘積行列式矩陣轉置逆矩陣概念和性質矩陣可逆充分必要條件伴隨矩陣矩陣初等變換初等矩陣矩陣秩矩陣等價分塊矩陣及其運算考試要求1理解矩陣概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們性質2掌握矩陣線性運算、乘法、轉置以及它們運算規律，了解方陣冪與方陣乘積行列式性質3理解逆矩陣

15、概念，掌握逆矩陣性質以及矩陣可逆充分必要條件，理解伴隨矩陣概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣4理解矩陣初等變換概念，了解初等矩陣性質和矩陣等價概念，理解矩陣秩概念，掌握用初等變換求矩陣秩和逆矩陣方法5了解分塊矩陣及其運算三、向量考試內容向量概念,向量線性組合與線性表示,向量組線性相關與線性無關,向量組極大線性無關組,等價向量組,向量組秩,向量組秩與矩陣秩之間關系,向量空間及其相關概念, 維向量空間基變換和坐標變換,過渡矩陣,向量內積,線性無關向量組正交規範化方法,規範正交基,正交矩陣及其性質.考試要求1理解維向量、向量線性組合與線性表示概念 2理解向量組線性相關、線性無關概念，掌握向量組線性相關、線性

16、無關有關性質及判別法 3理解向量組極大線性無關組和向量組秩概念，會求向量組極大線性無關組及秩4理解向量組等價概念，理解矩陣秩與其行向量組秩之間關系5了解維向量空間、子空間、基底、維數、坐標等概念6了解基變換和坐標變換公式，會求過渡矩陣7了解內積概念，掌握線性無關向量組正交規範化施密特（Schmidt）方法8了解規範正交基、正交矩陣概念以及它們性質四、線性方程組考試內容線性方程組克拉默（Cramer）法則 齊次線性方程組有非零解充分必要條件 非齊次線性方程組有解充分必要條件 線性方程組解性質和解結構 齊次線性方程組基礎解系和通解 解空間 非齊次線性方程組通解考試要求l會用克拉默法則2理解齊次線性

17、方程組有非零解充分必要條件及非齊次線性方程組有解充分必要條件3理解齊次線性方程組基礎解系、通解及解空間概念，掌握齊次線性方程組基礎解系和通解求法4理解非齊次線性方程組解結構及通解概念五、矩陣特征值和特征向量考試內容矩陣特征值和特征向量概念、性質 相似變換、相似矩陣概念及性質 矩陣可相似對角化充分必要條件及相似對角矩陣 實對稱矩陣特征值、特征向量及其相似對角矩陣.考試要求1理解矩陣特征值和特征向量概念及性質，會求矩陣特征值和特征向量2理解相似矩陣概念、性質及矩陣可相似對角化充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣方法3掌握實對稱矩陣特征值和特征向量性質六、二次型考試內容二次型及其矩陣表示,合同變

18、換與合同矩陣,二次型秩,慣性定理,二次型標准形和規範形,用正交變換和配方法化二次型為標准形,二次型及其矩陣正定性.考試要求1掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩概念，了解合同變換與合同矩陣概念，了解二次型標准形、規範形概念以及慣性定理2掌握用正交變換化二次型為標准形方法，會用配方法化二次型為標准形3理解正定二次型、正定矩陣概念，並掌握其判別法.概率論與數理統計一、隨機事件和概率考試內容隨機事件與樣本空間 事件關系與運算 完備事件組 概率概念 概率基本性質 古典型概率 幾何型概率 條件概率 概率基本公式 事件獨立性 獨立重複試驗考試要求1了解樣本空間（基本事件空間）概念，理解隨機事件概念，掌握事

19、件關系及運算2理解概率、條件概率概念，掌握概率基本性質，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Bayes）公式二、隨機變量及其分布考試內容隨機變量 隨機變量分布函數概念及其性質 離散型隨機變量概率分布 連續型隨機變量概率密度 常見隨機變量分布 隨機變量函數分布考試要求1理解隨機變量概念，理解分布函數概念及性質，會計算與隨機變量相聯系事件概率2理解離散型隨機變量及其概率分布概念，掌握0-1分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應用3理解連續型隨機變量及其概率密度概念，掌握均勻分布、正態分布 、指數分布及其應用，其中

20、參數為指數分布概率密度為4會求隨機變量函數分布三、多維隨機變量及其分布考試內容 多維隨機變量及其分布二維離散型隨機變量概率分布、邊緣分布和條件分布二維連續型隨機變量概率密度、邊緣概率密度和條件密度 隨機變量獨立性和不相關性常用二維隨機變量分布兩個及兩個以上隨機變量簡單函數分布考試要求1理解多維隨機變量概念，理解多維隨機變量分布概念和性質，理解二維離散型隨機變量概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續型隨機變量概率密度、邊緣密度和條件密度，會求與二維隨機變量相關事件概率 2理解隨機變量獨立性及不相關性概念，掌握隨機變量相互獨立條件3掌握二維均勻分布，了解二維正態分布概率密度，理解其中參數概率意義 4會求兩個隨機變量簡單函數分布，會求多個相互獨立隨機變量簡單函數分布四、隨機變量數字特征考試內容隨機變量數學期望（均值）、方差、標准差及其性質隨機變量函數數學期望矩、協方差、相關系數及其性質.考試要求1理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標准差、矩、協方差、相關系數）概念，會運用數字特征基本性質，並掌握常用分布數字特征2會求隨機變量函數數學期望五、大數定律和中心極限定理考試內容切比雪夫（Chebyshev）不等式