函数的单调性教案

1、函数的单调性教案 函数的单调性教学设计 江苏省苏州第十中学 吴锷 【教材分析】 函数单调性是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。 【教学目标】 知识与技能： 1通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。 2学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。 过程与方法： 1通过本节课的教学，渗透数形

2、结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。 2通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。 情感与态度： 1通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。 2通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。 【重点难点】 重点：函数单调性概念的理解及应用。 难点：函数单调性的判定及证明。 关键：增函数与减函数的概念的理解。 【教法分析】 为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了： 1通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。 2在形成概念的过程中，紧扣概念中的

3、关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。 3在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。 【学法分析】 在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。 【教学过程设计】 （一）问题情境 1海宁潮，又名钱江潮，自古称之为“天下奇观”。“八月十八潮，壮

4、 观天下无”。海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观，当江潮从东面来时， 似一条银线，“则玉城雪岭际天而来，大声如雷霆，震撼激射，吞天沃日， 势极雄豪”。潮起潮落，牵动了无数人的心。 如何用函数形式来表示，起和落？ 2教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。 如何用学过的函数图象来描绘这些成语？ 设计意图：创设海宁潮潮起潮落，成语 图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们 对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。 （二）温故知新 1问题1：观

5、察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。 观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。 2问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？ 例如：初中研究y?x2时，我们知道，当x0时，函数值y随x的增大而增大。 回忆初中对函数单调性的解释： 图象呈逐渐上升趋势?数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势?数值y随x的增大而减小。 函数这种性质称为函数的单调性。 设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的

6、认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。 （三）建构概念 问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？ 对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)。 单调增函数的定义： 问题4：如何定义单调减函数呢？ 可以通过类比的方法由学生给出。 设计意图：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问

7、题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。 （四）理解概念 1顾名思义，对“单调”两字加深理解 汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。 2呼应引入，解决问题情境中的问题 如：y?2x?1的单调增区间是(?,?)；y? 3单调性是函数的“局部”性质 如：函数y? 上减函数？ 引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x1?1,x2?1在(0,?)上是减函数。 x11在(0,?)和(?,0)上都是减函数，能否说y?在定义域(?,0)?(0,?)上xx1）。 2 设计意图

8、：学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨 _否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。 （五）运用概念 通过两例，教师要向学生说明： 1判断函数单调性的主要方法：观察法：画出函数图象来观察；定义法：严格按照定义进行验证；分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。 2概括出证明函数单调性的一般步骤：取值作差变形定号。 练习：作出函数y?|x?1|?1、y?|x2?1|的图象，写

9、出他们的单调区间。 设计意图：单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。 （六）回顾总结 本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。 【教学反思】 1给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，

10、通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。 2给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。 3有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。 4通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作

11、探究的学习氛围的形成。 5让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。 6教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。通过对“函数单调性”教学设计，我对“为学习设计教学”有了更深的理解。如果把教学看作是教师带领学生一起去远足，那么学情分析的目的是要分析学生的认知基础，确定一个合情合理的教学起点；目标导向这是要教师分析预期达到的教学效果，即远足所期望到达的目的地，这是

12、教学的根本和核心任务，是教学设计的关键；知识定位则好比是教师要预先分析通往目的地的道路状况，从而决定前进的方法和策略；问题设计则好比是设计行程，恰当安排可以指引师生高效地向着目的地前行。本节课就是通过这样的设计思想来安排教学设计的。 函数的单调性 一、教材分析： 本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质。在函数性质中具有举足轻重的地位。本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。 二、教学目标： (一)知识目标： 1、理解函数单调性的概念，会根据

13、函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 (二)能力目标： 1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力； 2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 (三)情感目标 1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯； 2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。 三、教学重难点： 重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。

14、 难点：函数单调性的判断与证明。 四、课型：新授课 五、教学方法、手段： 方法：启发引导与自主探究讨论相结合。 手段：多媒体辅助课堂教学。 六、教学设计思想： 我从生活中的实例导入，层层设疑，引导学生观察图像，数形结合，为了进一步研究单调性，接着给出了学生熟悉的函数 y?2x，y?2x，y?x2图像，以这些基本图形为素材，逐步由形到数引导学生发现图像上升或下降时函数值的变化规律，再推广到一般函数，从而得出增减函数定义。学生归纳出判断的方法及步骤并进行简单的应用。 应用上：运用课本例2对应练习及思考题目利用讲练结合启发联想形式，例题讲解以启发引导为主，练习时放手让学生独立完成，体现自主特点。思考

15、题让 1 学生能够举一反三，体会由特殊到一般的数学思想。 为了让学生掌握定义及判断方法培养严密的数学语言表达能力，我让学生自己总结，利于理解本节知识体系。 2 3 4 5 函数的单调性教学设计 (新课程人教版必修1) 课题： 1.3.1函数的单调性 教学目标： （一）知识与技能目标 1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义 2、会根据函数的图像判断函数的单调性 3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数 （二）过程目标 1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力 2、通过利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理 能力的培养 （三）德育目标（情感、态度和价值

16、观） 1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，分析归纳，严谨论 证的良好习惯 2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参 与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学 的自信心 教学重点 形成增（减）函数的形式化定义 教学难点 形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述； 用定义证明函数的单调性。 教具准备：三角板，彩色粉笔，ppt ，几何画板 2 3 教学基本流程 教学设计 一、 引入课题 观察图象，指出区别： 图象的上升和下降反映了函数的一个重要性质-单调性（板书课题） 二、推进新课 （1）画出下列函数的图象

17、，观察其变化规律：（学生动手） 请作出函数f(x) = x和f(x) = x2的图象，并观察自变量变化时，函数值的变化规律 （学生先自己观察，然后通过多媒体-几何画板形象观察） 1f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 _? 2 在区间 _ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ 2f(x) = x2 1在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ 4 2 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ （2）引出增（减）函数的概念 如何利用数学符号语言描述“y随x的增大而增大”和“y随x的增 大而减小”？ （学生思考、交流探讨，指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识过渡到数学符号表述） （3）给出增（减）