2.10 函数模型及其应用

1、按Esc键退出,返回目录,2.10 函数模型及其应用,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,1.几类函数模型及其增长差异,知识梳理,按Esc键退出,返回目录,(1)几类函数模型,按Esc键退出,返回目录,(2)三种增长型函数之间增长速度的比较,指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0),在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn, 但由于ax的增长 xn的增长,因而总存在一个x0,当xx0时有 .,答案：快于 axxn,按Esc键退出,返回目录,速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+)上

2、,总会存在一个x0,使 xx0时有 .,答案：慢于 logaxxnlogax,由可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长,对数函数y=logax(a1)与幂函数y=xn(n0),对数函数y=logax(a1)的增长速度,不论a与n值的大小如何总会 y =xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有 .,按Esc键退出,返回目录,2.解函数应用问题的步骤(四步八字),(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模 型;,(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利 用数学知识,建立相应的数学模型;,(3)求模:求解数学模型,

3、得出数学结论;,(4)还原:将数学问题还原为实际问题.,按Esc键退出,返回目录,以上过程用框图表示如下:,按Esc键退出,返回目录,基础自测,1.下列函数中,随x的增大速度最快的是( ).,A.y= ex B.y=100ln x,C.y=x100 D.y=1002x,2.2004年8月30日到银行存入a元,若年利率为x,且按复利计算,到2012 年8月30日可取回( ).,A.a(1+x)8元 B.a(1+x)9元,C.a(1+x8)元 D.a+(1+x)8元,答案：A,答案：A,按Esc键退出,返回目录,3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:,现准备用下列四个函数中的

4、一个近似地表示这些数据的规律,其中最 接近的一个是( ).,A.y=2x-2 B.y= (x2-1),C.y=log3x D.y=2x-2,答案：B,按Esc键退出,返回目录,4.有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地 方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形,(如图所示),则围成的矩形最大面积为 (围墙厚度不计).,答案：2 500 m2,按Esc键退出,返回目录,思维拓展,直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么?你作为老板,希 望公司的利润和员工奖金按何种模型增长?,提示:直线上升:匀速增长,其增长量固定不变;指数增长:先慢后快,其 增长量成

5、倍增加,常用“指数爆炸”来形容;对数增长:先快后慢,其增 长速度缓慢.公司的利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金,选择对数模型增长.,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,一、一次函数与分段函数模型,【例1-1】 已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度 从A地前往B地,到达B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地, 把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(时)的函数,则下列正确的 是( ).,按Esc键退出,返回目录,C.x=,D.x=,解析:依题意,函数为分段函数.求出每一段上的解析式即可.,答案： D,B.x=,A.x=60t+50t(0

6、t6.5),按Esc键退出,返回目录,【例1-2】 根据市场调查,某商品在最近40天内的价格P与时间t的关 系用图(1)中的一条折线表示,销售量Q与时间t的关系用图(2)中的线 段表示(tN*).,(1)分别写出图(1)表示的价格与时间的函数关系P=f(t),图(2)表示的销 售量与时间的函数关系Q=g(t);,(2)这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间.,按Esc键退出,返回目录,解:(1)P=f(t),=,Q=g(t)=- + ,t1,40,tN+.,按Esc键退出,返回目录,tN+,t=10或11时,Smax=176.,当20t40时,S=(-t+41) = t2-

7、28t+ 为减少的;,当t=20时,Smax=161. 而161176,当t=10或11时,Smax=176.,(2)当1t0)的函数,实际是正比例函数与反比例函数的 “和”函数,根据其图象特点,通常称其为“对勾函数”,这种函数模 型在现实生活中也有着广泛的应用.常常利用“基本不等式”求解, 有时也利用函数单调性求解.,请做针对训练1,按Esc键退出,返回目录,三、指数函数模型,【例3】 某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%, 试解答以下问题:,(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;,(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);,(3)

8、计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)?,(1.012101.127,1.012151.195,1.012161.213),按Esc键退出,返回目录,解:(1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%).,2年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2.,3年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3.,x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x.,所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系是 y=100(1+1.2%)x.,按Esc键退出,返回目录,(2)10年后人口总数为100(1+1.2%)10112.7(万).,所以10年后该城市人口总数约为112.7万.,(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x120, 于是1.012x ,xlog1.012 =log1.0121.215.315(年).,约15年后人口达到120万人.,按Esc键退出,返回目录,方法提炼1.指数函数模型,常与增长率相结合进 行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞