捷联惯性导航系统的解算方法PPT课件.pptx

1、,惯性导航系统原理,3 捷联式惯导系统 程向红 2010.03.19,1,2010-03-19,2,3 捷联式惯导系统, 3.1 捷联式惯导算法概述 3.2 姿态矩阵的计算 3.3 姿态矩阵计算机执行算法,2,2010-03-19,3,3.1 捷联式惯导算法概述,捷 联 式 惯 导 算 法, b,ib,f b,ib,P, R, H , L,VE ,VN,捷联式惯导航系统是一个信息处理系统，就是将载体上安装的惯性 仪表所测量的载体运动信息，经过计算处理成所需要的导航信息。,b,姿态矩 阵 计算,加速度计组,导 航 计算机,VE,初始条件,b,SF,VN,n,Cb,n,SF,b,in,t,H P

2、R,3,捷联式惯性导航系统=信息处理系统,根据捷联式惯导的应用和功能要求不同，计算的内容和要 求，有很大的差别。常有 SINSStrapdown Inertial Navigation Systems SVRUStrapdown Vertical Reference Uint SAHRSStrapdown Attitude and Heading Reference Systems IMUInertial measurement Unit,捷 联 式 惯 导 算 法,b,ib fib,b,P, R, H,E N, L,V ,V,2010-03-19,4,接联式惯导的算法的基本内容 （1）系统的

3、启动和自检测 （2）系统初始化 （3）惯性仪表的误差补偿 （4）姿态矩阵的计算 （5）导航计算 （6）制导和控制信息的提取,2010-03-19,5,（1）系统的启动和自检测,系统启动后，各个部分的工作是否正常，要 通过自检测程序加以检测，其中包括电源、惯 性仪表、计算机以及计算机软件。 通过自检测，发现有不正常，则发出告警信息(或 故障码)。系统的自检测是保证系统进入导航状态 后能正常工作、提高系统可靠性的措施。,2010-03-19,6,（2）系统初始化,为何要初始化？ 给定载体（舰船、飞行器、车辆等）的初始位置 （经度和纬度）和初始速度等初始信息。,导航平台的初始对准,惯性仪表的校准 C

4、alibration,平台式,姿态矩阵的初始值,用物理的方法来实现,标度系数 加速度计,捷联式,陀螺仪,进行测定,漂移 偏置,2010-03-19,7,（3）惯性仪表的误差补偿,对捷联式惯导系统来说，由于惯性仪表直接安装 在载体上，因此，载体的线运动和角运动都引起 较大的误差。 为了保证系统的精度，必须对惯性仪表的误差进行 补偿，最好的补偿方法是计算机补偿。 在计算机中通过专用的软件来实现误差补偿。,2010-03-19,8,（4）姿态矩阵的计算,姿态矩阵的计算是捷联式惯导算法中最重要的一 部分，也是捷联式系统所特有的。 不管捷联式惯导应用和功能要求如何，姿态矩阵 的计算却是不可少的。姿态矩阵

5、算法是本章重点 讨论的内容。,2010-03-19,9,（5）导航计算,导航计算就是把加速度计的输出信息变换到导航坐 标系，然后，计算载体速度、位置等导航信息。,2010-03-19,10,（6）制导和控制信息的提取,制导和控制信息的提取，载体的姿态既可用来 显示也是控制系统最基本的控制信息。 此外，载体的角速度和线速度信息也都是控制 载体所需要的信息。 这些信息可以从姿态矩阵的元素和陀螺加速度 计的输出中提取出来。,2010-03-19,11,捷联式惯导系统算法流程图,启动 自 检 测 初 始 化 姿态阵计算,迭 代 次 数,控 制 信 息 提 取 返回9,2010-03-19,12,YES

6、 导 航 计算,NO,2010-03-19,13,3.2 姿态矩阵的计算,捷联式惯导中，载体地理位置就是地理坐标系相对 地球坐标系的方位。而载体的姿态和航向则是载体 坐标系相对于地理坐标系的方位关系。确定两个坐 标系的方位关系问题，是力学中的刚体定点转到理 论。在刚体定点转动理论中，描述动坐标系相对参 考坐标系方位关系的方法有多种。,四参数法 1843年发明的，首先在数学中引入四元数，以 后用在刚体定位问题。凯里.克莱茵（Cayley- Klein）参数法，是在1897年提出的。 九参数法 基于方向余弦的概念，也称 方向余弦法。,三参数法,欧拉角法 ，是欧拉在1776年提出的。 四元数法。威廉

7、.哈密顿(William Hamilton)在,等效转动矢量法,13,3.2 姿态矩阵的计算, 3.2.1 欧拉角法 3.2.2 方向余弦法 3.2.3 四元数法 3.2.4 等效转动矢量法,2010-03-19,14,3.2.1 欧拉角法,Xb,ENU作为参考坐标系，则航向 角H，纵摇角（俯仰角）P和横 摇角（横滚角、倾斜角）R。就 是一组欧拉角。 欧拉角没有严格的定义，根 据需要，可以选用不同的欧拉 角组。第一次转动，可以绕三 个轴中的任一个转动，故有3种 可能，第二次有2种可能，第三 次也有2种可能。总共有12种可 能。,E,Xb,O,U,N,H.,Zb,Yb,Xb, Y,Yb,Zb,b

8、,Zb,P.,R.,H,P,R,一个动坐标系相对参考坐标系的方位，完全可以由动坐 标系依次绕3个不同的轴转动的3个转角来确定。 如把OXbYbZb作为动坐标系，,2010-03-19,15,2,010-03-19 16,用欧拉角表示的姿态矩阵,0 0 1U , ,0N ,0 E , Y sin H, cos H, , b , Xb ,sin H cos H,Z, v- _ CH, b,0 sin P cos P Z ,0 0 cos P sin P Yb , ,b , X , v- _, 0, ,1, Z ,b , X , Yb,b,CP,b,cos R Z ,Yb , ,b ,0 sin R

9、 X 0 1, v- _,sin R 0, Yb , ,cos R, b , Z, X,0,b,CR,b,cos P cos R ,cos P sin R ,sin R cos H sin P cos R sin H, ,cos R cos H sin P sin R sin H,cos R sin H sin P sin R cos H cos P cos H sin R sin H sin P cos R cos H,cos P sin H,sin P,b n,C,E,X ,b,O,U Zb,b N,H.,Y ,Xb,X ,b,Y Yb,b,Z ,b,b,Z,P.,R.,H,P,R,HPR

10、,16,欧拉角微分方程,表示载体坐标,系相对地理坐标系的角 速度矢量在载体坐标系 轴向的分量构成的列矩 阵。,E,Xb,O,U Zb,b N,H.,Y ,Xb,X ,b,Y Yb,b,Z ,b,b,Z,P.,R.,H,P,R,b,nb, 0 , 0 R. , 0 , 0 , ,P. ,R , 0 C,H. , 0 ,R P , C C,nby ,nbz , b, b,b,nbx,HPR,2010-03-19,17,欧拉角微分方程,cos P cos R H. , R. , ,0 sin R cos P P. 0 1 0,sin R,nby ,nbz ,cos R,nbx , b, b,sin

11、P,b,nby ,nbz , b,cos P cos R , ,sin R, R. ,cos R,0 sin R cos P 0 1 sin P 0,H. , , , P. ,1,b,b nbx,cos R sin Pnby , nbz , b,sin R cos P b, R. cos P sin P sin R,1 ,cos P cos R 0 cos P 0,sin R,H. , , , P. ,b,nbx,cos R,b,Cn,求解微分方程,3个欧拉角,航向角 (H),姿态角(P,R),2010-03-19,18,2010-03-19,19,欧拉角法应用中的问题,求解方程可以直接得到航

12、向和姿态信息，欧 拉角法得到的姿态阵永远是正交阵，用这个矩 阵将比力fbfn信息的坐标变换时，变换后的信 息中不存在非正交误差。因此，用欧拉角法得 到的姿态矩阵无需进行正交化处理。 欧拉角微分方程中包含三角函数的运算， 给实时计算带来困难，当P=90。时，方程式 出现“奇点”，使计算溢出。,cos P cos R 0 cos P 0,sin R cos P , R 1 sin P sin R,cos R sin P ,cos P ,sin R,cos R,b nbx,b,nby , b, nbz , P. ,H. , , , ,.,返回3.2,垂,直,发,射,困,难,！,19,3.2.2 方向

13、余弦法,方向余弦表示的姿态矩阵 方向余弦法用矢量的方向余弦来表示姿态矩阵的方法。 用in, jn, kn表示沿地理坐标系轴向的单位矢量。 ib, jb, kb沿载体坐标系轴向的单位矢量。ib在地理坐 标系内的方位完全可以由ib的三个方向余弦来确定，其 表达式为 ib (ib in )in (ib jn ) jn (ib kn )kn cos(ib in ) jb ( jb in )in ( jb jn ) jn ( jb kn )kn kb (kb in )in (kb jn ) jn (kb kn )kn,2010-03-19,20,方向余弦法,kb kn kn ,n ,j j j k j

14、,ib kn in ,n ,kb in, j j i, ib in,kb jn,ib jn,kb ,b , ib ,b,b n,b n,kb ,b ,b j , ib ,kn , ,n j n, in ,b Cbn,n,kb kn ,b n ,j j j k ,ib kn ,kb in, j i, ib in,kb jn,ib jn,b n,b n,Cb,n,写成矩阵形式为：,2010-03-19,21,矢量的坐标变换,旋转矢量的坐标变换,固定矢量的坐标变换,固定矢量的坐标变换是一个在空间大小和方向都不 变的矢量在两个不同方位的坐标系轴向分量之间的变 换关系，也即同一个矢量在两个不同的坐标系轴

15、向投 影之间的变换关系。,是指一个矢量大小不变，但在方向上转动了一个位 置，这个矢量转动前和转动后在同一个坐标系轴向 分量之间的变换关系。,2010-03-19,22,固定矢量的坐标变换,Z k r bT b,r X bib Yb jb,b b,b:载体坐标系 n:地理坐标系,一个矢量r，写成载体坐标系轴向分量形式：,Z k r nT n,r X nin Yn jn,n n,同一个矢量r，如果写成地理坐标系轴向分量形式：,r bT b r nT n, Zb ,b , b j , Xb ,r b Y,kb ,b , ib , Zn ,n , X n , Y,r n,n jn kn , , in

16、,b Cb n,n,bT bT b nT,n,r b r C n r n,rbT Cb r nT,n,由于r是同一个矢量，故,由于正交阵，故,n b,b T b 1,n,(Cn ) (C ), C,两边求转置,nT T,b T bT T,(Cn ) (r ), (r ), Cn r b,b,r n, Cb r n,n,r b,2010-03-19,23,旋转矢量的坐标变换,由于动坐标系随同矢量转动，故rbT=rnT 互逆,r转动前的矢量,r 转动后的矢量 假定有一个动坐标系和矢量固连，在矢量转动 前，取动坐标系b和参考坐标系n重合，则： r=rnTn,b Cb n r r nT Cb n,n

17、n,r =rbTb,如果用r n表示转动后的矢量在参考坐标系轴向的 分量构成的矩阵，则,r rnT n,rnT r nT Cb,n, C n r n,b,rn, Cb r n,n,r b,由于坐标系不动而是矢量转动，它 相应于矢量固定时坐标系方向转动,nT b,n, r C n,2010-03-19,24,2010-03-19,25,方向余弦矩阵微分方程,由矢量相对导数和绝对导数的关系式, r,dr dr dt dt,nb,n b,假定地理坐标系为参考坐标系，作为参考 坐标系认为它在空间是不动的，即, 0,n,dt,dr, nb r,dr dt,b, b r bk r nb b nb b,b,

18、r., nbx , , ,nb nbz, 0, nbz nby 0, , 0,nby nbx,bk,b,nb,载体坐标系相对地理坐标系的转动角速度在b系轴 向分量的反对称矩阵（Skew symmetric matrix）,25,2010-03-19,26,方向余弦矩阵微分方程,另外，从固定矢量的坐标变换关系式有, C. br n Cbr. n n n,r. b, Cb r n,n,r b,两边求导, 0 r.b r.b,r. n, C. br n C. bCnrb,n n b,考虑,b n, Cn Cb,bk,nb,.,b,两边同右乘 Cn,bk b, nb Cn,b n,C,., nb rb

19、 nb rb,b bk,n bk, Cb nb,n,C.b,bk, nb, ( bk )T nb,bk 1,(nb ),返回3.2,26,方向余弦矩阵微分方程的几种表示形式,bk b, nb Cn,b n n b,C,.,n bk,b nb, C ,C,.,式中的角速度都是用载体坐标系内的分量 表示的，如果角速度在地理坐标系轴向的 分量表示时，则可用角速度反对称矩阵的 相似变换来得到。,b nk n,n nb b,bk nb, C C,n bk b,b nb n,nk nb, C C,左式可以用展开的方式推导,b nk,n nb,b n, C ,C,.,nk n,n b nb b, C,C,.

20、,在捷联惯导系统中，由于陀螺是固联于载体上的， 所以直接测量的角速度是载体坐标系轴向的分量。 那么计算时哪个公式最方便？,常用的姿态矩阵微分方程的4种形式。,2010-03-19,27,方向余弦矩阵微分方程,陀螺仪测量的是载体相对于惯性空间的角速度 b,n n bk b b nb, C ,C,.,ib,而式中需要的则是,bk nb,两者的关系为：,bk in,bk ib,bk nb, , ,b nk n,n ib b,bk ib,C C, ,bk ),n ( bk ib,in,b,n b, C ,C, ,.,nk n in b,n bk b ib,C, C , ,包括载体的 姿态和航向 的变换

21、角速 度，数值较 大（如飞机 可达400。/s）,则是地球角速 度和载体的位 移运动相对地 心形成的角速 度，这个角速 度比较小，一 般为每小时几 十度。,在实时计算上式时，第一 项需要用较高的速度计算 ，用迭代算法时，迭代频 率要高，而第二项则可用 较低迭代频率计算。可以 看作是对第一项的修正。,2010-03-19,28,2010-03-19,29,3.2.2.4 矩阵微分方程的解 下面是解方程的推导过程。,C (t) C(0) C (t) dt,n bk,b nb,b,0,C (t) C(0) C(0) C (t) dt dt,t,n bk bk,nb nb,t,b,n,b, ,0 0,

22、C (t) dt dt, C(0) C(0) dt ,t t t,bk,nb,bk,nb,n,b,bk,nb, ,0 0,0,把等式右边的表达式逐次代入积分号内, , , dt dt ,C (t) C(0) C(0) dt C(0),t t t,bk,nb,bk,nb,bk,nb,n,b,t t,bk,nb,bk,nb,t,bk,nb,n,b,C (t) dt dt dt,0 0 0,0 0,0, dt dt,C (t) C(0)I dt ,t t t,bk,nb,bk,nb,bk,nb,n,b, ,0 0,0, ,C (t) dt dt dt .,t t t,bk,nb,bk,nb,bk,n

23、b,n,b,0 0 0,第2次代入得,这样不断的进行代入，便得到,bk 2,0,1 2,0,0 0,0 0,( dt), dt dt dtd dt , , ,t,nb,t,bk,nb,t t,bk,nb,t t,bk,nb,bk,nb,bk 3,0,1 6,0 0 0,( dt),C (t) dt dt dt , ,t,nb,t t t,bk,nb,bk,nb,bk,nb,n,b,C. n Cn bk b b nb 变系数的齐次微分方程,t,n,可用毕卡(Peano-Baker)逼近法求解，积分上式则有,第1次代入得,C (t) C(0)I dt dt dt3 .,0,6,1,bk 2,0 0

24、,2,1,t,bk,nb,t,nb,t,bk,b nb,故 n,Cb (t) C(0)e,t,bk,nb, dt,n,0,29,2010-03-19,30,矩阵微分方程的解,Cb (t) C(0)e,t,bk,nb, dt,n,0,C (t t) C(t)e,tn1,tn,bk,nb dt,n,b,bk,nb dt nb,tn1,t n,bk,bk,C n (t t) C(t)enb,b, , b b, , 0, b b, ,0,0 b,nby nbx,b nbx,nbz,nby,nbz,bk,nb,bk 2,1 2 nb 3,e K I K K ( ),nb,bk,bk,nb,I单位阵;K1

25、, K2, K3系数。,t=tn+1- tn,下面来求三个系数。由矩阵的特征方程,如果知道了K1, K2, K3三个系数，则矩阵指数函数就可以表示成 一个矩阵二次方程。 bk,nb,来求它的特征值。, b b,det(I bk ) b b, b b,nby nbx,nbx,nb nbz,nbz nby, , , 2 0,2,2,3 b,b,nbz,b,nby,nbx, , ,2 0,2,2,2, ,b,nbz,b,nby,b,nbx,3 2 0,0 1, =0 ,2,3,=士j,0,令,将矩阵的特征值代入方程,=0， K1=1, K I K bk K ( bk )2 1 2 nb 3 nb,e

26、nb,bk,30,用201四0-03参-19数法。,31,矩阵微分方程的解,=j0 =-j0,bk 2,nb 3 nb,2 0,1,e K I K K ( ),bk, bk,nb, j0,e e,0,K2 ,bk )2, 2,0 0, sin 0 bk 1 cos 0 (,nb,nb,e I, bk,nb,=0， K1=1 2,e K1 K 2 j0 K3 ( j0 ) e,j,2, K1 K2 j0 K3 ( j0 ), j 0,2, 2K1 2K3 (0 ) 2K2 0, j 0,j 0,e e,( )2,0, 1 cos 0,3,K,j0,sin 0,Cn (t t) C(t)I sin

27、 0 bk 1 cos 0 ( bk )2 , 2,0,0,nb,b nb,矩阵微分方程的精确解,这个精确解的前提条件是,n bk b b nb,. n,C C ,+,bk,nb dt nb,tn1,t n,bk,这个式子只有在t=tn+1- tn内角速度矢量nb方向不变的条件下才有意义，由于转动 的不可交换性，当nb方向随时间变化时，角速度的积分是无意义的。 用方向余弦法求解姿态矩阵避免了欧拉角法方程退化的现象，可以全姿态工作，但 是，由于方向余弦矩阵具有九个元素，所有，解算矩阵微分方程时，实际上是结算 九个联立微分方程，一般说来，计算工作量比较大，为了减小计算工作量，可以采,31,3.2.

28、3 四元数法,四元数理论是数学中的一个古老的分支，1943年由威廉. 哈密顿(William Hamilton)首先提出，目点是研究空间 几何，一种类似平面问题中使用复数那样的方法。但是 ，这个理论建立以后，长期没有得到实际应用，直到空 间技术出现以后，特别是捷联式制导技术出现以后，这 一古老的数学分支，又重新受到人们的重视，得到了实 际的应用。,四元数的基本概念,四元数是由1个实数单位1和3个虚数单位i,j,k组成的含 有4个元的数，其形式为 Q (q0 , q1 , q2 , q3 ) q0 q1i q2 j q3k q0 q 标量 矢量,2010-03-19,32,3.2.3 四元数法

29、3.2.3.1 四元数的基本概念 3.2.3.2 四元数理论 3.2.3.3 矢量坐标变换的四元数描述 3.2.3.4 四元数和方向余弦矩阵的关系 3.2.3.5 四元数微分方程,2010-03-19,33,Z Re 实轴,Im 虚轴,O, z cos j z sin ,Z z1 jz2 z e j,j 1,u uxi u y j uz k,u 1,Z sin k,i u Z sin ju,ux Z sin ,Z Z cos ,q3,z,q2,y,q1,q0, v- _, v- _, v- _,_, v-,2010-03-19,34,四元数的基本概念, Z cos ux sin i uy si

30、n j uz sin k ,(Quaternions) Q Z,Z cos q0,Z ux sin q1,Z uy sin q2,Z uz sin q3, Q cos u sin ,Q q0 q1i q2 j q3 k Q eu,由于它具有和复数类似的形式，可看作是复数的 推广，因此，也有“超复数”之称。,四元数的3种表示形式,2010-03-19,35,坐标系的等效转动,E,Xb,O,U Zb,N,H.,Yb,Xb,Xb, Y,Yb,Zb,b,Zb,P.,R.,H,P,R,Xb,X r,u,Yb,Yr,b,Z,Zr,2010-03-19,36,四元数的基本概念,如果用u表示欧拉轴向的单位矢量

31、，则动坐标系的方 位，完全可由u和 两个参数来确定。用u和 两个参 数，可以构造一个四元数， 1,如果把u写成分量的形式则： Q cos u sin i u sin j u sin k 2 x 2 y 2 z 2 q0 q1i q2 j q3k, 2,q0 cos, 2,q1 ux sin, 2,q2 u y sin, 12,q3 uz sin,Q cos u sin ,2 2,四元数是张量为1的四元数，即,Q (q 2 q 2 q 2 q 2 ) 2 1 0 1 2 3,这样的四元数称作“规范化”的四元数，而用来描 述刚体定点转动的四元数就称作变换四元数。,u e2,2010-03-19,3

32、7,3.2.3.2 四元数理论,四元数相等 如果两个四元数对应的元素相等，则两个四元数相等。 四元数相加 0 1i 2 j 3 k m0 m1i m2 j m3k, 0 m0 (1 m1 )i (2 m2 ) j (3 m3 )k 对应元素相加,则,四元数相加，服从一般加法的交换律和结合律，即, ( ) ( ),（交换律） （结合律）,2010-03-19,38,四元数理论,四元数与标量相乘 a a0 a1i a2 j a3k,式中a标量,各个元素分别乘以标量,(ab) (ba) a a (a b) a b a( ) a a,（分配律）,（交换律）,（结合律）,2010-03-19,39,四元

33、数理论,四元数与四元数相乘 0 1i 2 j 3k m0 m1i m2 j m3 k 。 (0 1i 2 j 3 k ) 。 (m0 m1i m2 j m3 k ) 0 m0 1m1 2 m2 3m3 0 (m1i m2 j m3k),乘积的矢量形式,2010-03-19,40,2010-03-19, 3 41,四元数理论, 。 0m0 1m1 2m2 3m3 i(0m1 1m0 2m3 3m2 ) j(0m2 2m0 3m1 1m3 ) k(0m3 3m0 1m2 2m1) 乘积的四元数形式,n1 0m1 1m0 2m3 3m2 n2 0m2 2m0 3m1 1m3 n3 0m3 3m0 1

34、m2 2m1,n0 0m0 1m1 2m2 3m3 ,n n n T,Q(n) n,3,2,1,0, T,Q() ,3,2,1,0,m m m T,Q(m) m,1 2 3,0,0 0 1 2 3,0, 1 ,1,0,1 ,2,2,3,0,1,3,2,2, 3 3,2 1,0 3 ,n , m ,n , m ,n , m ,n , m , , , ,Q(n) M ()Q(m),n0 ,m0,m1 m2 m3 0 ,n1 m1,m0 m3 m2 1 m3 m0 m2 m1,n2 m2,m1 2 m0,n3 m3, , , , ,-矩阵四元数,Q(n) M (m)Q(),矩阵的“核”,41,201

35、0-03-19,42,四元数理论,M()和M*(m)除元素不同外，其核互为转置。 这种四元数乘积的矩阵形式，也可推广到三个 以上的四元数乘积。如：,Q( 。 。 ) M()Q( 。 ) M ()M (P)Q(m) M (P)Q( 。 ) M (P)M()Q(m),M()M (P) M (P)M (),说明M*和M具有可交换性。而一般的矩阵相乘，则是不可交换的. Q(。 。 ) M ()Q(。 ) M ()M (m)Q(P) M(。 )Q(P),M ( 。 ) M ()M (m),Q( 。 。 ) M (P)Q( 。 ) M (P)M (m)Q() M ( 。 )Q(),M (。 ) M (P)

36、M (m),顺序相乘,逆序相乘,类似正交阵的乘积的转置或方阵乘积的求逆，也是逆序,42,四元数理论 。 。 ,( 。 ) 。 。 ( 。 ) 。 ( ) 。 。 四元数的共轭 如果一个四元数为八=+ 则定义其共轭四元数为*=,结合律 分配律,推理1 (八+M)*= 八*+M* 四元数之和的共轭等于共轭之和 推理2 (八M)*= M*八*两个四元数之积的共轭等于共轭 四元数等于两个四元数共轭之积取相反的顺序。 四元数的范数,四元数的范数定义为,2 2 2 2,3,2,1,0, ,2010-03-19,43,四元数理论,=八八* =八*八 八=1的四元数称为规范化的四元数。 八M =八 M=M 八

37、,四元数的逆,则八-1八=八八-1, ,1,2 2,0 1 2 3,2,2, ,2010-03-19,44,3.2.3.3 矢量坐标变换的四元数描述,一个矢量r在参考坐标系（这里用地理坐标系作参 考系）轴向的分量形式为 r=xnin+yn jn+ znkn 式中xn, yn, zn为r在地理坐标系轴向的分量。 in, jn, kn为地理坐标系轴向的单位矢量。 用xn, yn, zn把r写成四元数形式即： Rn=0+xni+yn j+ znk =0+r Rn就叫做矢量r在地理坐标系上的四元数影像。 i, j, k是四元数的虚数单位，而r则是四元数的矢量 部分。 显然，如果认为i, j, k和in

38、, jn, kn重合，则四元 数的矢量部分就是三维空间的矢量r本身。,2010-03-19,45,旋转矢量的坐标变换,定义假设矢量r绕通过定点“O”的某一轴转动了一个 角度，则和矢量固联的动坐标系和参考坐标系之间的 变换四元数为：,2 2,Q cos usin,式中u为转轴方向的单位矢量。这个四元数的范数为,Q q2 q2 q2 q2 1 0 1 2 3,转动前的矢量用r表示，转动后的矢量用r表示,则r和r的关系可由四元数来描述，即,称作“规范化”的四元数.,r Q。 r 。Q*,Q* cos usin 四元数的共轭四元数 2 2,黄式两边同时左乘Q*右乘Q得 因为,Q*。r。Q Q*。Q 。

39、 r 。 Q*。Q Q*。Q Q 。 Q* 1, 2 2 (cos usin ) 。 (cos usin ) cos sin 1,2 2,2 2,2,2, ,r Q* 。 r。Q,2010-03-19,46,2010-03-19,47,证明,A O 当矢量r绕OO旋转时，矢端A在空间的轨迹是一个圆，这个 圆平面和转轴垂直，圆心为O在旋转轴上。在圆上取一点B， 使AOB=90。，则按矢量关系有下列关系式：,O,r,r,A,B,u,A,O,O,B,OO,u,O u,r,A,OO (r u)u,OO OA r,因为 ab=|a|b|cos,OA =r OO= r(ru)u OB= uOA= u( r

40、(ru)u),= ur (ru)uu= ur,uu=0,OB= ur,47,2010-03-19,48,证明, A,B,OAcos A,O,OBsin,O,O,r,r,A,B,u,A,如果Q=q0+q，R=r0+r,则利用式可以写成矢量形式为：,QR= q0 r0+ q0r+qr0qr+qr 利用上式将QrQ*展开,v-_ v-_ q0 q,Q cos usin,2 2,r=R=r0+r r0=0,q0 OA = r(ru)u OB= ur,q, sin (ur) cos r (ur)sin v-2 _ 2 v- _2,八= 0 m0+0 m+ m0 m+ m OA = OA cos+ OBsin = cos ( r(ru)u)+ ur sin r=OO+OA =(ru)u+cosr cos (ru)u+sin (ur),=(1 cos)(ru)u +cos r+sin (ur),Q。r cos r usin r (ur)sin,2 2 2, ,48,2010-03-19,49,推导,q 0 q0 q 0 q* qq0 (cos r (u r)sin ) (usin ) (cos r (u r)sin ) (usin ) 2 v- 2 _2 2 v- 2 _2 qq* qq*, si