数学建模一等奖——二孩问题

1、 2016 年年第第十三十三届届五一五一数学建模联赛数学建模联赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们授权五一数学建模联赛组委会

2、，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包 括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。 我们参赛选择的题号为（从 A/B/C 中选择一项填写） ： C 我们的报名参赛队号为： 2039 参赛组别（研究生或本科或专科） ： 研究生 所属学校（请填写完整的全名） 江苏大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 吴雪刚 2. 刘昌宁 3. 孙登辉 日期： 2016 年 5 月 2 日 获奖证书邮寄地址： 苏省镇江市学府路 301 号江苏大学汽车学院 邮政编码： 212013 收件人姓名： 吴雪刚 电话：2016 年年第第十三十三届届五一五一数学建模联赛数

3、学建模联赛 编编 号号 专专 用用 页页 竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 评阅记录 评 阅 人 评 分 备 注 裁剪线 裁剪线 裁剪线 竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 参赛队伍的参赛号码： 2039 2016 年年第第十三十三届届五一五一数学建模联赛数学建模联赛 题 目 “二孩政策”问题 摘摘 要要 本文以某地区人口结构为研究对象，选取了评价人口结构合理性、科学性的具有代 表性的指标，建立人口结构可持续发展评价模型与人口结构预测模型，研究该地区未来 若干年在计划生育、 “二胎政策”及全面开放生育政策下人口结构的变化趋势，预测评 价人口结构合理性。 针对问题（1） ，

4、考虑到人口结构划分标准的多样性，查阅我国当前人口结构情况， 选取了年龄结构、性别比例、城乡结构、人口密度、自然增长率五个量作为评价人口结 构可持续发展的指标。 针对问题（2） ，运用层次分析法（AHP）确定各评价指标的权重，经过归一化和一 致性检验建立综合评价模型。根据综合评价值 i Y将人口结构可持续发展体系分为优 （8.5） 、良(7.5-8.5)、中(6.5-7.5)、差(6.5)四个等级。查找并统计江苏省、辽宁 省等国内十个地区以上五个指标，利用评价模型计算各地区的综合评价值并给出其人口 结构可持续发展的合理性、科学性评价，根据 A 地区所给数据计算并评价其人口结构可 持续发展等级。

5、针对问题（3） ，基于马尔萨斯人口预测模型预测 A 地区人口性别比；人口迁移变化 是个较复杂的动态问题，利用人工神经网络在时间序列预测中的应用预测 A 地区的非农 业与农业人口比未来的发展趋势；在此基础上，利用模糊 Leslie 离散矩阵模型，预测 A 地区未来人口年龄结构变化趋势。开放二胎后，做出相应模型假设，利用目标规划求出 此时对应的最优出生率为 17.68。 针对问题（4） ，根据问题三中求得的开放二胎的最优生育率，在二孩政策下，取生 育率为 2.32，根据模糊 Leslie 离散矩阵模型预测 A 地区按年龄划分的人口结构发展。 针对问题（5） ，假设全面放开生育政策（不限制生育数量）

6、 ，在国民经济运行稳定 的基础上预测 A 地区未来 20 年人口结构的变化趋势。 先根据 80 年代生育率 a,通过模型 分析各年龄层人口数量与经济发展之间的关系。通过对预测的人口结构中相关数据的分 析。 确定为维持国民经济运行稳定时的修正生育率,并预测在修正生育率下的人口结构变 化。 关键词：层次分析法（AHP） ；马尔萨斯模型；神经网络；Leslie 模型；最优化 1 1 问题重述 人口结构反映了一定地区、一定时点人口总体内部各种不同质的规定性的数量比例 关系，主要有性别结构和年龄结构。人口结构可以影响人口再生产模式，从而对人类可 持续发展前景产生影响。人口结构是多种多样的，改善人口结构，

7、尤其是改善人口年龄 结构、性别结构、城乡结构和地域结构等方面对实现可持续发展将会产生比较明显而重 要的影响。多年来，我国实施的严、紧计划生育政策对控制人口增长起到关键作用。在 优生优育政策的指引下，我国人口质量显著提高，对于国家的资金积累、优化资源配置 和提高人均资源水平、 实现社会稳定、 改善人民的劳动就业情况都有重要的意义。 但是， 这也带来了不利影响，例如生育率偏低、男女比例失衡、人口老龄化情况严重等问题。 2016 年，我国在全国范围内放开二孩政策，这一决策对于社会人口结构的合理化，家庭 结构合理化都有着积极意义。早在 20 年前，我国某些地区已经开始试点二孩政策。例 如：1985 年

8、以来，山西翼城一直是二孩政策的试点地区之一，那里既没有出现人口增长 过快的问题，婴儿性别比也处于国际正常水平。 为了对开放二孩政策的影响做预测分析，我们建立了数学模型解决以下问题： （1）建立人口结构可持续发展指标体系，相关指标应具有科学性、代表性、全面 性。 （2）建立人口结构可持续发展的评价模型。选取 10 个国内具有代表性的省（市、 县） ， 对这些地区的人口结构进行评价分级。 并结合你的模型给出当前 A 地区评价等级。 （3）假设 A 地区不实行二孩政策，预测该地区未来 20 年的人口结构变化趋势；假 设 A 地区实行二孩政策，给出二孩政策下最优出生率，使得该地区未来 20 年的人口结

9、 构更加合理。 （4）二孩政策下，预测 A 地区未来 10-20 年按年龄划分的人口结构。 （5）假如全面放开生育政策（不限制生育数量） ，在国民经济运行稳定的基础上预 测 A 地区未来 20 年人口结构的变化趋势。 2 问题分析 问题（1）的分析： 建立人口结构可持续发展指标体系，相关指标应具有科学性、代表性、全面性。要 确定人口结构可持续发展指标体系，首先需要确定人口结构可持续发展指标都有哪些。 根据参考文献，人口结构包括主要包括自然结构、社会结构和地域结构，而这三个方面 又可以细划出很多小的分支， 与可持续发展有关的方面可以总结为年龄结构、 性别结构、 城乡结构、人口密度和自然增长率五个

10、方面。分别对这五个方面进行分析，即可建立一 个合理而又全面的人口结构可持续发展指标体系。 问题（2）的分析： 建立人口结构可持续发展的评价模型。选取 10 个国内具有代表性的省（市、县） ， 对这些地区的人口结构进行评价分级。并结合你的模型给出当前 A 地区评价等级。该问 题就是要求我们建立一个评价模型。利用问题（1）的分析结果，我们可以建立一个层 次分析模型，然后代入数据对人口结构进行评价分级。 问题（3）的分析： 假设 A 地区不实行二孩政策，预测该地区未来 20 年的人口结构变化趋势。即在 A 地区所给数据的基础上预测未来的人口结构。 假设 A 地区实行二孩政策， 给出二孩政策 下最优出

11、生率，使得该地区未来 20 年的人口结构更加合理。结合问题（2）中所给的评 2 价模型，考量不同出生率对人口结构的影响，寻找最优化解的问题。 问题（4）的分析： 二孩政策下，预测 A 地区未来 10-20 年按年龄划分的人口结构。即在问题（3）求 最优出生率的基础上确定生育率 a 的值，然后利用问题（3）中的 Leslie 模型进行改进 修正，在生育率 a 的条件下预测出未来 20 年按年龄划分的人口结构，并根据人口学相 关知识，分析在二孩政策下相关人口学度量值的变化。 问题（5）的分析： 假设全面放开生育政策（不限制生育数量） ，在国民经济运行稳定的基础上预测 A 地区未来 20 年人口结构

12、的变化趋势。先根据 80 年代生育率 a 通过模型分析各年龄层人 口数量与经济发展之间的关系。通过对预测的人口结构中相关数据的分析。确定为维持 国民经济运行稳定时的修正生育率,并预测在修正生育率下的人口结构变化。 3 名词解释与符号说明 xy r.皮卡尔逊相关系数 i x.第i个年龄段的人口比例 x.各年龄段的人口比例均值 i y.理想情况第 i 个年龄段的人口比例 y.理想情况各年龄段的人口比例均值 i Y.表示第 i 个地区的综合评价得分 i A.表示第 i 个地区年龄结构指标得分 i s.第 i 个地区的男女比例 i B.表示第 i 个地区性别比例指标得分 iC.表示第i个地区城乡结构指

13、标得分 iD.表示第i个地区人口密度指标得分 i gr.第 i 个地区人口自然增长率 i E.表示第i个地区自然增长率指标得分 w.各影响分级程度指标的权重向量 max .判断矩阵的最大特征值 CI.一致化检验指标 RI.平均随机一致性指标 ij x.等于 1 表示选择这条路线， 等于 0 表示不选择 X.A地区人口性别比 0 X.1994年A地区人口性别比 R.A 地区人口性别比增长率 i s.第i个年龄组的存活率 i b.第i个年龄组的生育率 i z.第 i 年人口数量 i U.第i个年龄组的死亡率 Mk.第 k 年各年龄段生育率向量 ck.第k年各年龄段女性比重向量 3 4 问题假设 1

14、. 由于人口迁徙对 A 地区人口数量的影响是微小的，不妨对于人口迁徙人口不予 考虑。这对于人口基数很大的地区是合理的。 2. 假设在预测期间不会发生对人口有巨大影响的特殊事件(如大规模战争、严重的 瘟疫、大范围自然灾害等)。 3. 二孩政策只影响出生率。 4. 假设本模型使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 5. 模型均是建立在 A 地区人口政策长期稳定的前提下的。 5 模型的建立与求解 5.1 问题（1） ：人口结构可持续发展指标体系 人口结构，又称为人口构成，是指将人口以不同的标准划分而得到的一种结果。其 反映一定地区、时间、地点人口总体内部各种不同的规定性的比例关系。它根据人口本 身

15、所固有的自然的、社会的、地域的特征，将人口划分为各个组成部分所占的比重。人 口结构的具体划分情况如下图所示： 性别结构 年龄结构 阶级结构、民族结构、文化结构、职业结构、 语言结构、宗教结构、婚姻结构、部门结构、 家庭结构. . 自然地理结构（形成自然增长率地域差异的 重要因素）、行政区域结构 图 1 人口结构划分图 图 1 详细列出了人口结构的组成成分，但并不是都与可持续发展有关，可以列入可 持续发展指标体系的包括年龄结构、性别结构、城乡结构、人口密度和自然增长率五个 方面。 年龄结构。从经济发展方面考虑，1564 岁成年组的人口所占的比例越高越好， 但从可持续发展的角度来看，最有利于可持续

16、发展的年龄结构是稳定型。也就是说，年 龄结构与稳定型的年龄结构越相近越好。在此我们可以用皮卡尔逊相关系数来表示。但 皮卡尔逊相关系数的范围是 -11， 其中 -1 表示负相关， 对此我们需要对模型进行改进， 改进后的皮卡尔逊相关系数表示为： 22 11 ()() (1)/2(1)/2 () )() ) ixy nn ii ii xxyy Ar xxyy （1） 性别比例。 为了提高生育效率， 使社会和谐稳定地发展， 男女比例越接近 1 越好。 为了在人口结构可持续发展问题中合理表示性别比例，我们构造了以下函数： 人 口 结 构 自然结构 社会结构 地域结构 4 1 1 max( ) 1 i i

17、 i s B s （2） 城乡结构。合理的城镇化可以改善环境，促进经济发展，在现有的情况下，城镇 化水平越高对人口结构可持续发展越好，因此对这一指标我们可以简单的表示为城市人 口所占的比重 i C。 人口密度。 人口密度对人口结构可持续发展有很大的影响， 但由于地域环境差异， 人口密度很难有一个合理的标准，所以对于此标准我们需要进行以下处理：0 i D 。 自然增长率。对于中国目前人口老龄化严重的情况，虽然人口问题已经是我国不 可忽视的问题，但一味地盲目地降低人口数量是不合理的，所以在控制好人口数量的基 础上改善人口结构才是我国实现人口结构可持续发展的不二之选，所以，自然增长率应 越接近 0

18、越好，对这一指标我们可以简单地表示为： 1 ii Egr （3） 5.2 问题（2） ：建立可持续发展的评价模型 5.2.1 模型的建立 （1）根据人口结构可持续发展的指标分析和综合评价规则，对评价体系进行分层。 人口结构可持续发展综合评价指标体系构架如下： 目标层 准则层 方案层 图 2 人口结构可持续发展综合评价指标体系构架图 （2）运用层次分析法（AHP）确定评价指标权重 考虑到人口结构可持续发展综合评价不仅仅是由某几种成分决定的，并且每一种成 分对分级的影响也不一样。为了确定各指标对景点综合评价影响的权值，本文采用层次 分析法和综合评价法进行各个地区的综合评价。 Saaty 比较尺度的

19、取值范围 ij a可以是 1, 2, , 9 及其 1，1/2, , 1/9，这是因 为人们在进行定性成对比较时常有 5 种明显的等级（根据心理学的研究结果，对更细的 等级分类则难以辨别） ，见下表 1： 综合评价 性 别 比例 人 口 密度 自 然 增 长 率 年 龄 结构 城 乡 结构 A 地区 B 地区 n 地区 5 表 1 尺度的含义 / ij xy 同等重要 略为重要 明显重要 尤为重要 异常重要 等级之间 1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8 对于层次分析法中的判断矩阵，根据不同评价指标在人口结构可持续发展综合评价 问题中重要程度的不同，确定各个指标之间的相对重要程度，可以得到

20、如下表 2 所示判 断矩阵： 表 2 判断矩阵表 人口密度 自然增长率 城乡结构 性别比例 年龄结构 人口密度 1 1/3 1/3 1/7 1/9 自然增长率 3 1 1 3/7 3/9 城乡结构 3 1 1 3/7 3/9 性别比例 7 7/3 7/3 1 7/9 年龄结构 9 3 3 9/7 1 得到判断矩阵后，求得其最大特征向量，将该特征向量归一化处理后即可得到各影 响分级程度指标的权向量： w= (0.0875, 0.2534, 0.2534, 0.4625, 0.8063) 归一化处理后得到所求特征向量： w= (0.0470, 0.1360, 0.1360, 0.2482, 0.4

21、328) 各影响分级程度指标的权重汇总表如下： 表 3 权重汇总表 人口密度 自然增长率 城乡结构 性别比例 年龄结构 0.0470 0.1360 0.1360 0.2482 0.4328 一致性检验 max ()/(1)CInn （4） 1 ii Egr （5） 代入n=5， max =5.0097，RI=0.58， 得CR=0.00428.5） 、良(7.5-8.5)、中 ij a 6 (6.5-7.5)、差(0.5 bb=bb-0.001; end end z=round(z); 5 4. 不同生育率 a 下的人口年龄结构 附表 1 人口年龄结构（a=1.3） 0-19 20-64 65

22、 以上 抚养率 老少比 劳动力/老人 2014 737362 2243681 333616 0.4773 0.4524 6.7253 2015 717170 2231393 444754 0.5207 0.6202 5.0171 2016 701349 2190169 542535 0.5679 0.7736 4.0369 2017 648382 2133653 644745 0.6061 0.9944 3.3093 2018 581525 2023457 775607 0.6707 1.3337 2.6089 2019 528062 1893947 882752 0.7449 1.6717

23、2.1455 2020 486416 1806298 908246 0.7721 1.8672 1.9888 2021 461052 1694760 913358 0.8110 1.9810 1.8555 2022 438375 1529743 944141 0.9038 2.1537 1.6202 2023 408068 1386916 943935 0.9748 2.3132 1.4693 2024 373303 1312340 874315 0.9507 2.3421 1.5010 2025 341011 1248649 794260 0.9092 2.3291 1.5721 2026

24、315217 1163074 737499 0.9051 2.3397 1.5771 2027 295519 1067052 695374 0.9286 2.3531 1.5345 2028 277753 979491 653453 0.9507 2.3526 1.4989 2029 258696 902208 613506 0.9667 2.3715 1.4706 2030 238519 843199 567173 0.9555 2.3779 1.4867 2031 219404 791766 520581 0.9346 2.3727 1.5209 2032 203028 737961 47

25、9842 0.9253 2.3634 1.5379 2033 189314 681947 445917 0.9315 2.3554 1.5293 2034 176912 628246 416973 0.9453 2.3570 1.5067 6 附表 2 人口年龄结构（a=1.8） 0-19 20-64 65 以上 抚养率 老少比 劳动力/老人 737362 2243681 333616 0.4773 0.4524 6.7253 783482 2231393 444754 0.5504 0.5677 5.0171 827811 2190169 542535 0.6257 0.6554 4.036

26、9 825972 2133653 644745 0.6893 0.7806 3.3093 805308 2023457 775607 0.7813 0.9631 2.6089 733081 1959518 882752 0.8246 1.2042 2.2198 693602 1931600 908246 0.8293 1.3095 2.1267 697078 1870752 913358 0.8609 1.3103 2.0482 711646 1751342 944141 0.9454 1.3267 1.8550 712838 1654494 943935 1.0014 1.3242 1.75

27、28 689628 1640464 874315 0.9534 1.2678 1.8763 652892 1654261 794260 0.8748 1.2165 2.0828 626964 1648585 737499 0.8277 1.1763 2.2354 619716 1625783 695374 0.8089 1.1221 2.3380 621013 1546902 710422 0.8607 1.1440 2.1774 616363 1485282 717818 0.8983 1.1646 2.0692 599694 1457692 704260 0.8945 1.1744 2.0

28、698 576929 1449168 677621 0.8657 1.1745 2.1386 558527 1438681 647508 0.8383 1.1593 2.2219 548920 1408753 629278 0.8363 1.1464 2.2387 544025 1361926 626089 0.8592 1.1508 2.1753 7 附表 3 人口年龄结构（a=2.1） 0-19 20-64 65 以上 抚养率 老少比 劳动力/老人 737362 2243681 333616 0.4773 0.4524 6.7253 823145 2231393 444754 0.5682

29、 0.5403 5.0171 903450 2190169 542535 0.6602 0.6005 4.0369 932193 2133653 644745 0.7391 0.6916 3.3093 939157 2023457 775607 0.8474 0.8259 2.6089 856190 1998737 882752 0.8700 1.0310 2.2642 822837 2006546 908246 0.8627 1.1038 2.2093 853817 1976016 913358 0.8943 1.0697 2.1635 902873 1883885 944141 0.980

30、4 1.0457 1.9953 934383 1815014 943935 1.0349 1.0102 1.9228 925004 1841980 874315 0.9768 0.9452 2.1068 889651 1912276 794260 0.8806 0.8928 2.4076 871601 1966497 737499 0.8183 0.8461 2.6664 886083 1999330 695374 0.7910 0.7848 2.8752 916497 1937184 744497 0.8574 0.8123 2.6020 936271 1898894 780210 0.90

31、39 0.8333 2.4338 932365 1909780 786255 0.8999 0.8433 2.4290 915361 1952471 771551 0.8640 0.8429 2.5306 906380 1995918 748207 0.8290 0.8255 2.6676 915126 2006049 743483 0.8268 0.8124 2.6982 933536 1983452 764140 0.8559 0.8185 2.5957 8 附表 4 人口年龄结构（a=2.3） 0-19 20-64 65 以上 抚养率 老少比 劳动力/老人 737362 2243681

32、333616 0.4773 0.4524 6.7253 823145 2231393 444754 0.5682 0.5403 5.0171 903450 2190169 542535 0.6602 0.6005 4.0369 932193 2133653 644745 0.7391 0.6916 3.3093 939157 2023457 775607 0.8474 0.8259 2.6089 856190 1998737 882752 0.8700 1.0310 2.2940 822837 2006546 908246 0.8627 1.1038 2.2645 853817 1976016

33、 913358 0.8943 1.0697 2.2406 902873 1883885 944141 0.9804 1.0457 2.0893 934383 1815014 943935 1.0349 1.0102 2.0369 925004 1841980 874315 0.9768 0.9452 2.2636 889651 1912276 794260 0.8806 0.8928 2.6332 871601 1966497 737499 0.8183 0.8461 2.9706 886083 1999330 695374 0.7910 0.7848 3.2585 916497 1937184 744497 0.8574 0.8123 2.8930 936271 1898894 780210 0.9039 0.8333 2.6806 932365 1909780 786255 0.8999 0.8433 2.6741 915361 1952471 771551 0.8640 0.84