高等数学(上)定义定理归纳(同济六版)

1、高等数学（上）定义、定理及一些重要结论归纳 （按照同济第六版上册第一章到第六章，不含第七章微分方程，定理证明从略） 第一章第一章函数与极限函数与极限 （1 1 1 1） （数列极限的定义） （数列极限的定义） lim,() n nn nnn n xa NnNxaax xaxaxa n 设函数在 的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）.如果对于 不论它有多大或使得当或时，总有成立 则称函数为当或是的无穷大 （20202020） （无穷大与无穷小之间的关系） （无穷大与无穷小之间的关系） 1 ,( ),;( ) ( ) 1 ( )0,. ( ) f xf x f x f x f x 在自

2、变量的同一变化过程中 如果为无穷大 则为无穷小 反之，如果为 无穷小，且则为无穷大 以下为一些极限运算法则的相关定理以下为一些极限运算法则的相关定理 （21212121）.有限个无穷小的和也是无穷小 （22222222）.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 （23232323）.常数与无穷小的乘积是无穷小 （24242424）.有限个无穷小的乘积也是无穷小 （25252525） （函数极限运算法则） （函数极限运算法则） lim( ),lim ( ), (1)lim( )( )lim( )lim ( ); (2)lim ( )( )lim( ) lim ( ); lim( ) ( ) (3)0,l

3、im. ( )lim ( ) xx xxx xxx x x x f xAg xB f xg xf xg xAB f xg xf xg xA B f x f xA B g xg xB = = = = 如果那么 若有则 （26262626） （数列极限运算法则） （数列极限运算法则） n .lim,lim, 1 lim(); (2)lim; (3)0(),0,lim. nn nn nn nn n n n n n xyAB xyAB xyA B xA ynNB yB + = = = = 设有数列和如果那么 （） 当且时 （27272727） lim( ),lim( )lim( ). xxx f xc

4、cf xcf x =如果存在 而 为常数 则 （28282828） lim( ),lim( )lim( ). n n xxx f xnNf xf x + = 如果存在,而则 （29292929） ( )( ),lim ( ),lim( ),. xx xxxaxbab =如果而那么 （30303030） （复合函数的极限运算法则） （复合函数的极限运算法则） 00 00 0 00000 ( )( )( ) ( ) lim( ),lim( ),0,(,),( ), lim ( )lim( ). xxuu xxuu yf g xug xyf uf g xx g xuf uAxU xg xu f g

5、xf uA = = = 设函数是由函数与函数复合而成,在点 的某一去心 邻域内有定义，若且当时 有则 （31313131） （数列极限的夹逼准则） （数列极限的夹逼准则极限存在准则极限存在准则I I I I） 00 1, 2 lim,lim, lim. nnn nnn nn nn nn n xyz nNnnyxz yaza xxa = = 如果数列、及满足下列条件： （）当时，有 （ ） 那么数列的极限存在，且 （32323232） （函数极限的夹逼准则） （函数极限的夹逼准则极限存在准则极限存在准则I I I I ） 0 0 ()() ()() 1(, )()( )( )( ) (2) li

6、m( ), lim, lim( )lim( ). xxx xx xx xx xU x rxMg xf xh x g xAA f xf xA = = 如果（）当或时， 那么存在，且 （33333333） （数列极限存在准则） （数列极限存在准则极限存在准则极限存在准则 II II II II） .单调有界数列必有极限 （34343434） （函数极限存在准则） （函数极限存在准则极限存在准则极限存在准则 II II II II ） 000 00 ( )( )(). (,) f xxf xxf x xxxxxx + + 设函数在点 的某个左邻域内单调且有界，则在 的左极限必定存在 类似 （3535

7、3535） （柯西极限存在准则） （柯西极限存在准则） 00, . n nm xNNNmN nN xx + = 已知 和 是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 (1)如果就说 是比 高阶的无穷小，记作 = ( ); (2)如果就说 是比 低阶的无穷小. (3)如果就说 与 是同阶无穷小 如果就说 是关于 的 阶无穷小 如果就说 与 是等价无穷小,记作. （37373737） ( ). =+与 是等价无穷小的充分必要条件是 （38383838） （等价无穷小替换定理） （等价无穷小替换定理） ,limlimlim. xxx =设且存在，则 （39393939） （函数连续性的定义） （函数连

8、续性的定义 1 1 1 1） 000 00 0 ( )limlim()()0, ( ). xx yf xxyf xxf x yf xx = =+= = 设函数在点 的某一邻域内有定义，如果 那么就称函数在点 连续 （40404040） （函数连续性的定义） （函数连续性的定义 2 2 2 2） 0 00 0 ( )lim( )(),( ) . xx yf xxf xf xf x x =设函数在点 的某一邻域内有定义,如果那么就称函数在 点 连续 （41414141） （连续函数的和、差、积、商的连续性） （连续函数的和、差、积、商的连续性） 00 0 ( )( ),()0) . f f xg

9、xxfgf gg x g x 设函数和在点 连续 则它们的和(差)、积及商当时 都在 点 连续 （42424242） （反函数的连续性） （反函数的连续性） 1 ( )( ) ( ),(). x yx yf xIxfy Iy yf x xI = = 如果函数在区间 上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数 也在对应的区间上单调增加 或单调减少 且连续 （43434343） （复合函数的连续性） （复合函数的连续性 1 1 1 1） 0 00 00 00 ( )( )( ),().lim( ), ( ),lim( )lim( )(). f g xx xxuu yf g xug xyf uU

10、 xDg xu yf uuuf g xf uf u = = 设函数由函数与函数复合而成若 而函数在连续 则 （44444444） （复合函数的连续性） （复合函数的连续性 2 2 2 2） 00 0 00000 00 ( )( )( ),().( ) ,(),( ),( ) ,lim( )lim( )()() . f g xxuu yf g xug xyf uU xDug x xxg xuyf uuuyf g xxx f g xf uf uf g x = = = 设函数是由函数与函数复合而成若函数 在连续 且而函数在连续 则复合函数在也 连续 即 （45454545） （初等函数的连续性） （

11、初等函数的连续性） . . 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 （46464646） （有界性与最大值最小值定理） （有界性与最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值和最小值. （47474747） （零点定理） （零点定理） ()( ),( )( )0, ( )0. f xa bf af ba b f 设函数在区间 上有定义如果对于使得对于和当 时 就有那么就称函数在区间 上是一致连续的 （51515151） （一致连续性定理） （一致连续性定理） ( ) , ,.f xa b如果函数在闭区间上连续 那么它在该区

12、间上一致连续 第二章第二章导数与微分导数与微分 （1 1 1 1） （导数的定义） （导数的定义） 0 000 00 0 000 00 0 00 ( )( ),()();lim ( ),( ),(), ()() ()limlimlim x xxxx yf xxxxxxx y yf xxf x x yf xxyf xxfx f xxf xfy fx xx =+ =+ = + = 设函数在点 的某个邻域内有定义,当自变量 在 处取得增量点仍在 该邻域内时 相应的函数取得增量如果存在，则称函数 在点 处可导 并称这个极限为函数在点 处的导数 记为即 00 0 0 0 ( )() , ( ) . x

13、xx x x x xf xdy y xxdx df x dx = = 也可记作或 （2 2 2 2） （函数可导的充分必要条件） （函数可导的充分必要条件） 000 000 ( )()() ()()(). f xxfxfx fxfxfx + + = 函数在点 处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等，即 （3 3 3 3） （可导与连续的关系） （可导与连续的关系） ( ),.yf xx=如果函数在点 处可导 则函数在该点必连续 （4 4 4 4） （函数的和、差、积、商的求导法则） （函数的和、差、积、商的求导法则） 2 ( )( ) , (1)( )( )( )( ) (2) (

14、) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) (3)( ( )0). ( )( ) uu xvv xx x u xv xu xv x u x v xu x v xu x v x u xu x v xu x v x v x v xvx = = =+ = 如果函数及都在点 具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的 点外)都在点 具有导数 且 （5 5 5 5） （反函数的求导法则） （反函数的求导法则） 1 1 ( )( )0,( ) 11 ( ),( ). ( ) y xy xf yIfyyfx dy Ix xf yyIfx dx fydx dy = = 如

15、果函数在区间 内单调、可导且则它的反函数在区间 内也可导 且或 （6 6 6 6） （复合函数的求导法则） （复合函数的求导法则） ( ),( )( ),( ), ( )( ). ug xxyf uug xyf g xx dydydy du f ug x dxdxdu dx = = 如果在点 可导 而在点可导 则复合函数在点 可导 且其导数为或 （7 7 7 7） （微分的定义） （微分的定义） 0000 0 0 ( ),()() (),( ) ( ),. yf xxxxyf xxf x yA xxAxyf xx A xyf xxxdydyA x =+ =+ = += = 设函数在某区间内有定

16、义及在这区间内 如果增量 可表示为其中 是不依赖于的常数 那么称函数在点 是可微 的,而叫做函数在点 相应于自变量增量的微分 记作即 （8 8 8 8） （可微与可导的关系） （可微与可导的关系） 000 0 ( )( ),( ), (),( ). f xxf xxf xx dyfx dxdyfx dx= 函数在点 可微的充分必要条件是函数在点 可导 且当在点 可微时 其 微分一定是即函数微分的表达式 （9 9 9 9） （函数和、差、积、商的微分法则） （函数和、差、积、商的微分法则） () () 2 ( )( ) , (1) (2) (3)(0). uu xvv xx x d uvdudv

17、 d uvvduudv uvduudv dv vv = = =+ = 如果函数及都在点 可微,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的 点外)都在点 可微 且 （10101010） （复合函数的微分法则） （复合函数的微分法则） ( )( )( ) ( )( ),( ). xu yf uug xxf g x dyy dxf u g x dxdyf u dudyy du = = 设函数及都在点 处可导,则复合函数的微分为 也可以写成或 第三章第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 （1 1 1 1） （费马引理） （费马引理） 0000 000 ( )(),(), ( )()( )

18、(),()0. f xxU xxxU x f xf xf xf xfx = 设函数在点 的某邻域内有定义 并在 处可导 如果对 有或那么 （2 2 2 2） （罗尔定理） （罗尔定理） () () ( ) , (2),; (3),( )( ). ,()( )0. f x a b a b f af b a babf = = 如果函数满足： (1)在闭区间上连续; 在开区间上可导 在区间端点处的函数值相等 即 那么在内至少有一点，使得 （3 3 3 3） （拉格朗日中值定理） （拉格朗日中值定理） () () ( ) (1),; (2),; ,(),( )( )( )(). f x a b a b

19、 a babf bf afba 且或者且，即极限为 未定式或 在某去心邻域或时可导 且 存在或为 则 0 () ( )( ) lim. ( )( ) xx x xfx g xg x = （7 7 7 7） （泰勒中值定理） （泰勒中值定理泰勒公式）泰勒公式） ()() ()() 0 ( ) 2 00 00000 (1) 1 0 (1) 0 ( ),(1), ()() ( )()()()()()( ), 2! ( ) ( )()(). (1)! ,( ),( ) n n n n n n n n f xxa bna b fxfx f xf xfxxxxxxxR x n f R xxxab n xa

20、 bfxMR xxx + + + + =+ = + 设函数在 处连续 且在 的某去心邻域内可导 若时而时则在 处取得极大值 若时而时则在 处取得极小值 若时的符号保持不变 则在 处没有极值 （15151515） （判定极值的第二充分条件） （判定极值的第二充分条件） 000 00 00 ( )()0,()0, (1)()0,( ); (2)()0,( ) f xxfxfx fxf xx fxf xx = 设函数在 处具有二阶导数且那么 当时 函数在 处取得极大值 当时 函数在 处取得极小值. （16161616） （区间内单一极值时最值的判定） （区间内单一极值时最值的判定） 00 00 00

21、 ( )(,), ( ) (),()( ); (2)()()( ). f xxx f x f xf xf x f xf xf x 函数在一个区间 有限或无限 开或闭内可导且只有一个驻点并且这个驻点 是 函数的极值点,那么 (1)当是极大值时就是在该区间上的最大值 当是极小值时,就是在该区间上的最小值 第四章第四章 第六章第六章一元函数积分学一元函数积分学 （1 1 1 1） （原函数的定义） （原函数的定义） ,( )( ),( )( ) ( )( ),( )( )( ). IF xf xxIF xf x dF xf x dxF xf xf x dxI = = 如果在区间 上 可导函数的导函数

22、为即对都有或 那么函数就称为或在区间 上的原函数 （2 2 2 2） （原函数存在定理） （原函数存在定理） ( ),( ), ( )( ). f xIIF xxI F xf x = 如果函数在区间 上连续 那么在区间 上存在可导函数使对都有 即连续函数一定有原函数 （3 3 3 3） （原函数之间的关系） （原函数之间的关系） ( )( ). ( )( )( ),( )( )(), ( ),( ). f xIf x F xxf xxF xC C f xF xCC = + + 如果在区间 上有一个原函数,那么就有无限多个原函数 假设和均为的原函数 则为某个常数 且的全体原函数所组成的集合 就是

23、函数族 （4 4 4 4） （不定积分的定义） （不定积分的定义） ,( )( )( ) ,( ).,( ),( ) ,. If xf xf x dxI f x dxf xf x dx x 在区间 上 函数的带有任意常数项的原函数称为或在区间 上的 不定积分 记作其中记号 称为积分号称为被积函数称为 被积表达式称为积分变量 （5 5 5 5） （不定积分的性质） （不定积分的性质 1 1 1 1） ( )( ), ( )( )( )( ). f xg x f xg xdxf x dxg x dx= 设函数及的原函数存在 则 （6 6 6 6） （不定积分的性质） （不定积分的性质 2 2 2

24、2） ( ), ( )( ). f xk kf x dxkf x dx= 设函数的原函数存在为非零常数,则 （7 7 7 7） （不定积分的凑微分法） （不定积分的凑微分法第一类换元法）第一类换元法） ( ) ( ),( ), ( )( )( ) ux f uux fxx dxf u du = = = 设具有原函数可导 则有换元公式 （8 8 8 8） （不定积分的代入法） （不定积分的代入法第二类换元法）第二类换元法） 1 1 ( ) ( ),( )0. ( )( ), ( )( )( ),( )( ) . tx xtxfxx f x dxftt dtxxt = = = 设是单调的、可导的函

25、数 并且又设具有原函数 则有换元公式其中是的 反函数 （9 9 9 9） （不定积分的分部积分法） （不定积分的分部积分法） ( )( ),.uu xvv xudvuvvdu= 设函数及具有连续导数 那么 （10101010） （定积分的定义） （定积分的定义） 012 101121 1121 1 1 ( ), , ,max, ( )0, nnnn iiiniii n iiiii i f xa ba baxxx xxba bnx xx xxx xxxxxxxxa b fxxx = = = = 设函数在有界闭区间上有定义，在中任意插入若干个分点 把区间分成 个小区间各个小区间的 长度依次为记,令

26、若无论区间怎 么分划,在时总存在与选取无关的确定的 0 1 ( ) ,( ),(), ( )lim( ),( ),( ), , n b ii a i If x a bIf xa b f x dxIfxf xf x dx xaba b = = 极限 ,则称函数 在上是可积的,这个极限 称为函数在区间上的定积分 简称积分 记作其中叫做被积函数叫做被积表达式 叫做积分变量 叫做积分下限 叫做积分上限叫做积分区间. （11111111） （函数可积的条件） （函数可积的条件1 1 1 1） ( ),( ),.f xa bf xa b设在区间上连续 则在上可积 （12121212） （函数可积的条件）

27、（函数可积的条件2 2 2 2） ( ),( ),.f xa bf xa b设在区间上有界 且只有有限个间断点 则在上可积 （13131313） （定积分的性质） （定积分的性质 1 1 1 1） ( )( )( )( ) bbb aaa f xg xdxf x dxg x dx= （14141414） （定积分的性质） （定积分的性质 2 2 2 2） ( )( )() bb aa kf x dxkf x dx k= 是常数 （15151515） （定积分的性质） （定积分的性质 3 3 3 3） ,( )( )( ) bcb aac acbf x dxf x dxf x dx=+ 设则 （

28、16161616） （定积分的性质） （定积分的性质 4 4 4 4） ,( )1,1. bb aa a bf xdxdxba= 如果在区间上则 （17171717） （定积分的性质） （定积分的性质 5 5 5 5） ,( )0( )0),( )0( )0). bb aa a bf xf xf x dxf x dxab 如果在区间上或则或 () （18181818） （定积分性质） （定积分性质 5 5 5 5 的推论的推论 1 1 1 1） ,( )( ),( )( )(). bb aa a bf xg xf x dxg x dxab 如果在区间上则 （19191919） （定积分性质）

29、（定积分性质 5 5 5 5 的推论的推论 2 2 2 2） ( )( ) bb aa f x dxf x dxab (). （20202020） （定积分的性质） （定积分的性质 6 6 6 6） ( ), ()( )() b a Mmf xa b m baf x dxM baab += + (1)设函数在区间上连续 取如果极限存在 则称此极限为函数 在无穷区间上的反常积分 记作即 这时也称反常积分收敛 如果上述极限不存在 则函数在无穷区间 上的反常积分没有意义 习惯上称为反常积分 ( ( ,( ) . (2)( ),lim( ), ( ),( ),( )lim( ). ( );,( ).

30、( aa b tt bbb tt bb dxf x dx f xbtbf x dx f xbf x dxf x dxf x dx f x dxf x dx + = (1)设函数在上连续 点 为的瑕点.取如果极限存在 则称此 极限为函数在上的反常积分 仍然记作即这时 也称反常积分收敛如果上述极限不存在 则称反常积分发散 设函数在上连续 点 为的瑕点.取 ,lim( ), ( )lim( ).( ). (3)( ),(),( ).( ) ( )( )( )( )lim( )l t a tb btb aaa tb c a bbcbt caaca tc tbf x dx f x dxf x dxf x dx f xa bc acbcf xf x dx f x dxf x dxf x dxf x dxf x dx = =+=+ 如果极限存在 则定义 否则,就称反常积分发散 设函数在上除点外连续 点 为的瑕点如果两个反常积分 与都收敛，则定义im( ). ( ).