高等数学同济第七版上册课后习题答案

1、习题 1-1 1.求下列函数的自然定义域： 2 (1)32; 1 (3)1; (5)sin; (7)arcsin(3); (9)ln(1); yx yx x yx yx yx 2 2 1 1 (2); 1 1 (4); 4 (6)tan(1); 1 (8)3arctan; (10). x e y x y x yx yx x ye 解： 2 (1)320 3 xx ，即定义域为 2 , 3 2 (2)101,xx 即定义域为(, 1)( 1,1)(1,) (3)0 x 且 2 100 xx且1x 即定义域为1,00,1 2 (4)402xx即定义域为( 2,2) (5)0,x 即定义域为0, (

2、6)1(), 2 xkkZ 即定义域为 1 ()1, 2 x xRxkkZ 且 微信公众号 高校课后习题 (7)3124,xx 即定义域为2,4 (8)30 x且0 x ，即定义域为(,0)0,3 (9)101xx 即定义域为( 1,) (10)0,x 即定义域为(,0)(0,) 2.下列各题中，函数( )f x和( )g x是否相同？为什么？ 2 2 433 3 22 (1) ( )lg, ( )2lg (2) ( ), ( ) (3) ( )(), ( )1 (4) ( )1, ( )sectan f xxg xx f xx g xx f xxxg xx x f xg xxx 解： （1）

3、不同，因为定义域不同 （2）不同，因为对应法则不同， 2 ,0 ( ) ,0 x x g xx x x （3）相同，因为定义域，对应法则均相同 （4）不同，因为定义域不同 3.设 sin, 3 ( ) 0, 3 xx x x 求(), (), (), ( 2), 644 并指出函数( )yx的图形 微信公众号 高校课后习题 解： 12 ()sin, ()sin, 662442 2 ()sin(), ( 2)0, 442 ( )yx的图形如图1 1所示 4.试证下列函数在指定区间内的单调性： (1); 1 (2)ln ,(0,) x y x yxx 证明： 1 (1)( )1,(,1) 11 x

4、 yf x xx 设 12 1xx，因为 21 21 12 ()( )0 (1)(1) xx f xf x xx 所以 21 ()(),f xf x即( )f x在(,1)内单调增加 (2)( )ln ,(0,)yf xxx 设 12 0 xx，因为 微信公众号 高校课后习题 2 2121 1 ()( )ln0 x f xf xxx x 所以 21 ()()f xf x即( )f x在(0,)内单调增加 5.设( )f x为定义在(, )l l内的奇函数，若( )f x在(0, ) l内单调增 加，证明( )f x在(,0)l内也单调增加 证明： 设 12 0lxx ，则 21 0 xxl 由

5、( )f x是奇函数，得 2121 ()()()()f xf xf xfx 因为( )f x在(0, ) l内单调增加，所以 12 ()()0fxfx 即( )f x在(,0)l内也单调增加 6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(, )l l上的。证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数 （2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶 函数与奇函数的乘积是奇函数 证明： (1)设 12 ( ),( )f xfx均为偶数，则 1122 ()( ),()( )fxf xfxfx 令 12 ( )( )( )F xf xfx 于是 1212 ()()()( )( )

6、( )Fxfxfxf xfxF x 故( )F x为偶函数 设 12 ( ),( )g x gx均为奇函数， 微信公众号 高校课后习题 则 1122 ()( ),()( )gxg x gxgx 令 12 ( )( )( )G xg xgx 于是 1212 ()()()( )( )( )Gxgxgxg xgxG x 故( )G x为奇函数 (2)设 12 ( ),( )f xfx均为偶数， 则 1122 ()( ),()( )fxf xfxfx 令 12 ( )( )( )F xf xfx 于是 1212 ()()()( )( )( )Fxfxfxf x fxF x 故( )F x为偶函数 设

7、12 ( ),( )g x gx均为奇函数，则 1122 ()( ),()( )gxg x gxgx 令 12 ( )( )( )G xg xgx 于是 121212 ()()()( )( )() ()( )Gxgxgxg xgxg x g xG x 故( )G x为偶函数 设( )f x为偶函数，( )g x为奇函数， 则()( ), ()( )fxf x gxg x 令( )( )( )H xf xg x 于是 ()()() ( )( )( )( )( ) Hxfxgx f xg xf xg xH x 故( )H x为奇函数 7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇

8、函数？ 微信公众号 高校课后习题 22 2 2 (1)(1); 1 (3); 1 (5)sincos1; yxx x y x yxx 23 (2)3; (4)(1)(1); (6) 2 xx yxx yx xx aa y 解： （1）因为 2222 ()()1 ()(1)( )fxxxxxf x 所以( )f x为偶函数 （2）因为 2323 ()3()()3fxxxxx ()( ),fxf x且()( )fxf x 所以( )f x既非偶函数又非奇函数 （3）因为 22 22 1()1 ()( ) 1()1 xx fxf x xx 所以( )f x为偶函数 （4）因为()(1)(1)( )f

9、xx xxf x 所以( )f x奇函数 （5）因为()sin()cos()1sincos1,fxxxxx ()( )fxf x且()( )fxf x 所以( )f x既非偶函数又非奇函数 （6） 因为()( ) 2 xx aa fxf x 所以( )f x为偶函数 微信公众号 高校课后习题 8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期 2 (1)cos(2); (3)1sin; (5)sin yx yx yx (2)cos4 ; (4)cos ; yx yxx 解： （1）是周期函数，周期2l （2）是周期函数，周期 2 l （3）是周期函数，周期2l （4）不是周期函数 （5）是

10、周期函数，周期l 9.求下列函数的反函数 3 (1)1; (3)(0); (5)1ln(2); yx axb yadbc cxd yx 1 (2); 1 (4)2sin3 (); 66 2 (6) 21 x x x y x yxx y 解： （1）由 3 1yx解得 3 1xy，既反函数为 3 1yx （2）由 1 1 x y x 解得 1 1 y x y ，既反函数为 1 1 x y x （3）由 axb y cxd 解得 dyb x cya ，既反函数为 dxb y cxa 微信公众号 高校课后习题 （4）由2sin3 () 66 yxx 解得 1 arcsin 32 y x ， 既反函数

11、为 1 arcsin 32 x y （5）由1ln(2)yx 解得log 1 y x y ， 既反函数为log 1 x y x （6）由 2 21 x x y 解得 2 log 1 y x y ， 既反函数为 2 log 1 x y x 10.设函数( )f x在数集X上有定义，试证：函数( )f x在X上有界 的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界 解： 设( )f x在X上有界，既存在0M ，使得 ( ),f xM xX 故( ),Mf xM xX 既( )f xX上有上界M，下界M 反之，设( )f x在X上有上界 1 K，下界 2 K，即 21 ( ),Kf xK xX 取 12 m

12、ax,MKK，则有 ( ),f xM xX 即( )f x在X上有界 微信公众号 高校课后习题 11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别 对应于给定自变量值 1 x和 2 x的函数值 2 12 12 2 12 2 12 2 12 (1),sin ,; 63 (2)sin ,2 ,; 84 (3),1,1,2; (4),0,1; (5),1,1 u x yu ux xx yu ux xx yu uxxx ye uxxx yu uexx 解： 2 2 12 12 2 12 12 222 12 13 (1)sin, 44 2 (2)sin2 ,1 2 (3)1,2,5 (4),

13、1, (5), x x yx yy yx yy yxyy yeyye yeyeye 12.设的定义域0,1D ，求下列各函数的定义域： 2 (1) (); (3) ()(0); f x f xa a (2) (sin ) (4) ()()(0) fx f xaf xa a 解： 微信公众号 高校课后习题 2 (1)011,1 (2)0sin12,(21), (3)01,1 xx xxnnnZ xaxaa 01 (4) 01 xa xa 当 1 0 2 a时，,1xaa； 当 1 2 a 时定义域为 13.设 1,1 ( )0,1, ( ) 1,1 x x f xxg xe x 求( )f g

14、x和( )g f x，并作出这两个函数的图形 解： 1,0 ( )()0,0 1,0 x x f g xf ex x ( ) 1 ,1 ( )1,1 ,1 f x e x g f xex ex ( )f g x 与( )g f x的图形依次如图1 2，图1 3所示 微信公众号 高校课后习题 14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40 （图 1-4）.当过水 断面ABCD的面积为定值 0 S时，求湿周()L LABBCCD 与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域 解： sin40 h ABCD 又 0 1 (2cot40) 2 Sh BCBCh 得 0 cot40 S BCh h 所以 0 2

15、cos40 sin40 S Lh h 而0h 且 0 cot400 S h h ， 微信公众号 高校课后习题 因此湿周函数的定义域为 0 (0,tan40 )S 15.设xOy平面上有正方形( , ) 01,01Dx yxy及直 线:(0)l xyt t若( )S t表示正方形D位于直线左下方部分的 面积，试求( )S t与t之间的函数关系 解： 当01t 时， 2 1 ( ) 2 S tt 当12t 时， 22 11 ( )1(2)21 22 S tttt 当2t 时，( )S t1 故 2 2 1 ,01 2 1 21,12 2 1,2 tt ttt t 16.求联系华氏温度（用F表示）和

16、摄氏温度（用C表示）的转换公 式，并求 （1）90 F 的等价摄氏温度和5 C 的等价华氏温度； （2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一 样的？如果存在，那么该温度值是多少？ 解： 设,FmCb其中,m b均为常数 因为32F 相当于 0 ,212CF 相当于100C ， 微信公众号 高校课后习题 所以 21232 32,1.8 100 bm 故1.832FC或 5 (32) 9 CF 5 (1)90 ,(32)32.2 9 5 ,1.8 ( 5)3223 FCF CF (2)设温度值t符合题意，则有 1.82,40ttt 即华氏40 恰好也是摄氏40 17.已知Rt A

17、BC?中，直角边ACBC，的长度分别为20 15，动 点P从C出发，沿三角形边界按CBA方向移动；动点Q从 C出发，沿三角边界按CAB方向移动，移动到两动点相遇 时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍.设动点P移动 的距离为x，CPQ?的面积为y，试求y与x之间的函数关系. 解： 因为20,15,ACBC所以, 22 201525AB 由202 152025可知，点,P Q在斜边AB上相遇 令2152025xx得20 x ， 即当20 x 时， 点,P Q相遇， 因此所求函数的定义域为(0,20) （1）当010 x时，点P在CB上，点Q在CA上（图 1-5） 由,2CPx CQx，得

18、 2 yx （2）当1015x时点P在CB上点Q在AB上（图 1-6） 微信公众号 高校课后习题 ,220CPx AQx 设点Q到BC的距离为h，则 452 , 202525 BQhx 得 4 (452 ) 5 hx，故 2 124 (452 )18 255 yxhxxxx （3）当1520 x时点,P Q都在AB上（图 1-7） 15,220,603BPxAQxPQx 设点C到AB的距离为 h ，则 15 20 12 25 h 得 1 18360 2 yPQ hx 综上可得 2 2 ,010 4 18 ,1015 5 18360,1520 xx xxx xx 微信公众号 高校课后习题 18.

19、利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推 测 2020 年的世界人口 解： 由表中第 3 列，猜想 2008 年后世界人口的年增长率是 0 0 1.1，于是 在 2008 年后的第t年，世界人口将是 ( )6708.2 (1.011)tp t （百万） 2020 年对应12t ，于是 12 (12)6708.2 (1.011)7649.3p（百万）亿 即推测 2020 年的世界人口约为 76 亿 微信公众号 高校课后习题 习题 1-2 1.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观 察 n x的变化趋势，写出它们的极限： 2 1 (1); 2 1 (3) 2;

20、(5)( 1); 1 (7); n n n n n n 1 (2) ( 1); 1 (4); 1 21 (6); 3 1 (8)( 1)1 n n n n n n n n n 解: (1)收敛， 2 lim0 n n (2)收敛， 1 lim( 1)0 n n n (3)收敛， 2 1 lim(2)2 n n (4)收敛， 1 lim1 1 n n n (5) ( 1)nn 发散 (6)收敛， 21 lim0 3 n n (7) 1 n n 发散 微信公众号 高校课后习题 （8) 1 ( 1)1 n n n 发散 2.(1)数列的有界性是数列收敛的什么条件？ (2)无界数列是否一定收敛？ (3

21、)有界数列是否一定收敛？ 解： (1)必要条件 (2)一定发散 (3)未必一定发散，如数列 ( 1)n有界，但它是发散的 3.下列关于数列的极限是的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是 对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例。 （1）对于任意给定的0，存在N N N，当nN时，不等式 n xa成立 （2）对于任意给定的0，存在N N N，当nN时，有无穷多 项 n x，使不等式 n xa成立 （3）对于任意给定的0，存在N N N，当nN时， 不等式 n xa成立，其中 c 为某个常数 （4）对于任意给定的mN N，存在N N N，当nN时， 不等式 1 n xa m 成立 解： （1）

22、 错误， 如对数列 1 ( 1),1 n a n ， 对任给的0()设 1， 微信公众号 高校课后习题 存在 1 N ， 当nN时， 11 ( 1)1 n nn 但 1 ( 1)n n 的极限不存在 （2）错误，如对数列 ,21, ,1 1 1,2 , n n nk xkNa nk n ，对任给的 0()设 1，存在 1 N ，当nN且n为偶数时时， 1 n xa n 成立，但 n x的极限不存在 （3）正确，对任给的0，取 1 0 c ，按假设，存在N N N， 当nN时，不等式 1 n xac c 成立 （4）正确，对任给的0，取mN N，使 1 m ，按假设， 存在N N N，当nN时，

23、不等式 1 n xa m 成立 4.设数列 n x的一般项 1 cos 22 n n x ，问lim n n x ？求出，使 当nN时， n x与其极限之差的绝对值小于正数当0.001时， 求出数N 解：lim0 n n x 证明如下 因为 11 0cos, 2 n n x nn 微信公众号 高校课后习题 要使0 n x，只要 1 n ，即 1 n ，所以0 （不妨设1） ，取 1 N ，则当nN时，就有0 n x 当0.001时，取 1 1000N ，即若0.001，只要 1000n ，就有00.001 n x 5.根据数列极限的定义证明： 22 (1)lim0; (3)lim1; n n

24、na n 0 0 313 (2)lim; 212 (4)lim0.99991 n n n n n 个 证明： （1）因为要使 22 11 0 nn ，只要 1 n ，所以0 （不妨设1） 取 1 N ， 则当nN时， 就有 2 1 0 n ， 即 2 1 lim0 n n （2） 因为 31311 2122(21)4 n nnn ， 要使 313 212 n n ， 微信公众号 高校课后习题 只要 1 4n ，即 1 4 n ，所以0 （不妨设 1 4 ） ，取 1 4 N ，则当nN时，就有 313 212 n n ， 即 313 lim 212 n n n （3） 当0a 时， 所给数列为

25、常数列， 显然有此结论， 以下设0a ， 因为 222222 2 22 1 2 () nananaa nnn nnan 要使 22 1 na n 只要 2 2 2 a n ， 即 2 a n ， 所以0 （不妨设 2 1 2 a） ，取 2 a N ，则当nN时，就有 22 1 na n ，即 22 lim1 n na n （4）因为 1 0.9999 1 10 n 个 要使0.9999 1 n 个 ， 只要 1 10n 即 1 lgn ，所以0 （不妨设1） ，取 1 lgN ， 即 当nN时 ， 就 有0.9999 1 n 个 ， 即 lim0.99991 n n 个 微信公众号 高校课后

26、习题 6.若lim n n ua ，证明lim n n ua ，并举例说明：如果数列 n x 有极限，但数列 n x未必有极限 证： 因为lim n n ua ， 所以0 ，N， 当nN时， 有 n ua， 从而有 nn uaua 故lim n n ua 但由lim n n ua ， 并不能推得lim n n ua ， 例如， 考虑数列 ( 1)n， 虽然lim ( 1)1 n n ，但 ( 1)n没有极限 7.设数列 n x有界，又lim0 n n y ，证明：lim0 nn n x y 证 ： 因 数 列 n x有 界 ， 故0M， 使 得 对 一 切n有 ,0nM ，由于lim0 n n

27、 y ，故对 1 0,N M 当nN时，就有 1n y M cone 从而有 0 nnnn x yxyM M 所以 lim0 nn n x y 8.对于数列 n x，若 212 (),() kk xa kxa k ， 证明：() n xa n 证： 微信公众号 高校课后习题 因为 2 () k xa k ，所以 1 0, k 当 1 kk时， 有 21k xa ；又因为 2 () k xa k ，所以对上述0， 当 2 kk时，有 2k xa 记 12 max,Kk k， 取2NK， 则当nN时， 若21nk， 则 121 1 2 nk kKkxaxa 若2nk，则 22nk kKkxaxa

28、从而只要nN，就有 n xa，即lim n n xa 微信公众号 高校课后习题 习题 1-3 1.对图 1-8 所示的函数( )f x，求下列极限，如极限不存在，说明理 由 2 1 0 (1) lim( ) (2)lim( ) (3)lim( ) x x x f x f x f x 解： 2 1 (1) lim( )0 (2)lim( )1 x x f x f x 0 (3)lim( ) x f x 不存在，因为(0 )(0 )ff 2.如图 1-9 所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ 0 (1)lim( ) x f x 不存在 0 0 1 (2)lim( )0 (3)lim( )

29、1 (4)lim( )0 x x x f x f x f x 微信公众号 高校课后习题 1 (5)lim( ) x f x 不存在 (6)对每个 0 ( 1,1)x ， 0 lim( ) xx f x 存在 解： （1）错， 0 lim( ) x f x 存在与否，与(0)f的值无关， 事实上， 0 lim( )0 x f x （2）对，因为(0 )(0 )0ff （3）错， 0 lim( ) x f x 的值与(0)f的值无关 （4）错，(1 )0f ，但(1 )1f ，故 1 lim( ) x f x 不存在 （5）对，因为(1 )(1 )ff （6）对 3.对图 1-10 所示的函数，下

30、列陈述中哪些是对的，哪些是错的 1 (1) lim( )1 x f x 1 (2) lim( ) x f x 不存在 0 0 1 (3)lim( )0 (4)lim( )1 (5)lim( )1 x x x f x f x f x 微信公众号 高校课后习题 1 (6)lim( )0 x f x 2 2 (7)lim( )0 (8)lim( )0 x x f x f x 解： （1）对 （2）对，因为当1x ，( )f x无定义 （3）对，因为(0 )(0 )0ff （4）错， 0 lim( ) x f x 的值与(0)f的值无关 （5）对 （6）对 （7）对 （8）错 4.求( ), ( )

31、xx f xx xx ，当0 x 时的左右极限，并说明它们 在0 x 时的极限是否存在 解： 0000 lim( )lim1,lim( )lim1 xxxx xx f xf x xx 因为 00 lim( )1lim( ), xx f xf x 所以 0 lim( )1 x f x 000000 lim( )limlim1,lim( )limlim1 xxxxxx xxxx xx xxxx 因为 00 lim( )lim( ) xx xx 所以 0 lim ( ) x x 不存在 微信公众号 高校课后习题 5.根据函数极限的定义证明： 3 2 2 (1)lim(31)8; 4 (3) lim4

32、; 2 x x x x x 2 2 1 2 (2)lim(52)12; 14 (4) lim2 21 x x x x x 解： （1）因为 (31)83933 ,xxx 要使(31)8x， 只要3 3 x ， 所以0 ， 取 3 ， 则当03x时， 就有(31)8x， 即 3 lim(31)8 x x （2）因为 (52)1251052 ,xxx 要使(52)12x 只要2 5 x ， 所以0 ， 取 5 ， 则当02x时， 就有(52)12x 即 2 lim(52)12 x x （3）因为2,2,xx 2 4 ( 4)2( 4)2( 2) , 2 x xxx x 要使 2 4 ( 4), 2

33、 x x 只要( 2)x ，所以0 ，取， 微信公众号 高校课后习题 则当0( 2)x 时， 就有 2 4 ( 4), 2 x x 即 2 2 4 lim4 2 x x x （4）因为 11 , 22 xx 2 141 21222() 212 x xx x 要使 2 14 2, 21 x x 只要 1 () 22 x ，所以0 ，取 2 ， 则当 1 0() 2 x 时， 就有 2 14 2, 21 x x 即 2 1 2 14 lim2 21 x x x 6.根据函数定义证明： 3 3 11sin (1)lim;(2) lim0 22 xx xx xx 微信公众号 高校课后习题 证： （1）

34、因为 3 33 111 22 2 x x x ，要使 3 3 11 22 x x ， 只要 3 1 2 x ，即 3 1 2 x ，所以0 ，取 3 1 2 X ，则 当xX时，就有 3 3 11 22 x x ，即 3 3 11 lim 22 x x x （2） 因为 sin1 0 x xx ， 要使 sin 0 x x ，只要 1 x ，即 2 1 x ，所以0 ， 取 2 1 X ， 则当xX时， 就有 sin 0 x x ， 即 sin lim0 x x x 7.当2x 时， 2 4yx问等于多少，使当2x时， 40.001y ？ 解： 由于2,20 xx，不妨设21x，即13x 要使

35、 2 422520.001xxxx，只要 0.001 20.0002 5 x 微信公众号 高校课后习题 取0.0002，则当02x时，就有 2 40.001x 8.当x 时， 2 2 1 1 3 x y x 问X等于多少， 使当xX时，10.01y ？ 解： 因为 2 222 144 1 33 x xxx ，要使 2 2 1 10.01 3 x x ， 只要 2 4 0.01 x ，即20 x ，取20X ， 则当xX时，就有10.01y 9.证明函数( )f xx当0 x 时极限为零 证: 因为00 xxx，所以0 ，取， 则当00 x时，就有0 x，即 0 lim0 x 10.证明：若x

36、及x 时，函数( )f x的极限都存在且都 等于A，则lim( ) x f xA 证： 因为lim( ) x f xA ，所以 1 0,0X ，当 1 xX时， 就有( )f xA 又因为lim( ) x f xA ， 所以对上面的 2 0,0X， 当 2 xX 时，就有( )f xA，取 12 max,XXX，则xX当， 即xX或xX 时，就有( )f xA即lim( ) x f xA 微信公众号 高校课后习题 11.根据函数极限的定义证明:函数( )f x当 0 xx时极限存在的充 分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等 证： 必要性，若 0 lim( ) xx f xA ，则0,0 当

37、 0 0 xx 时，就有( )f xA 特别,当 0 0 xx时， 有( )f xA， 即 0 lim( ) xx f xA ； 当 0 0 xx时，有( )f xA，即 0 lim( ) xx f xA 充分性，若 00 lim( )lim( ) xxxx f xAf x ，则 1 0,0 ， 当 01 0 xx时，就有( )f xA；又 2 0 当 0 0 xx时，就有( )f xA即 0 lim( ) xx f xA 12.试给出x 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明 解： 局部有界性定理，如果lim( ) x f xA ，那么存在常数0M 和 0X ，使得当xX时，有( )f x

38、M 证明如下：因为lim( ) x f xA ，所以对10,0X ， 当xX时，就有( )1f xA，从而 ( )( )1f xf xAAA 取1MA，即有当xX时，( )f xM 微信公众号 高校课后习题 习题 1-4 1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。 解： 不一定， 例如( )2xx与( )3xx， 都是当0 x 时的无穷小， 但 ( )2 ( )3 x x 却不是当0 x 时的无穷小 2.根据定义证明： 2 9 (1) 3 x y x 为当3x 时的无穷小 1 (2)sinyx x 为当0 x 时的无穷小 证： （1） 因为 2 9 3 3 x x x ，所以0 ，取， 则

39、当03x时，就有 2 9 3 x x 即 2 9 3 x x 为当3x 时的无穷小 （2） 因为 1 sinxx x ，所以0 ，取，则当0 x时， 微信公众号 高校课后习题 就有 1 sinx x 即 1 sinx x 为当0 x 时的无穷小 3.根据定义证明：函数 12x y x 为当0 x 时的无穷大，问x应 满足什么条件，能使 4 10y ？ 证： 因为 1211 22 x xxx ，要使 12x M x ， 只要 1 2M x ， 即 1 2 x M ， 所以0M， 取 1 2M ， 则当00 x时，就有 12x M x 即1 2x x 为当0 x 时的无穷大 令 4 10M ，取

40、4 1 102 当 4 1 00 102 x 时， 就能使 4 12 10 x x 4.求下列极限并说明理由 2 0 211 (1)lim;(2)lim 1 xx xx xx 微信公众号 高校课后习题 解： 211 (1)limlim(2)2 xx x xx 理由：由定理 2， 1 x 为当x 时的无穷小； 再由定理 1 1 lim(2)2 x x ， 2 00 1 (2)limlim(1)1 1 xx x x x 理由：由定理 1， 0 lim(1)1 x x 5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表： 微信公众号 高校课后习题 6.函数cosyx在(,) 内是否有界？这个函数是否 为x 时的

41、无穷小？为什么？ 解：因为0M，总有 0 (,)xM，使 0 cos1x ， 从而 000 cosyxxxM， 所以cosyx在(,) 内无界 又因为0,0MX，总有 0 (,)xX，使 0 cos0 x ， 从而 00 cos0yxxM，所以( )cosyf xxx， 不是当x 时的无穷大 微信公众号 高校课后习题 7.证明：函数 11 siny xx 在区间0,1内无界，但这函数不是 0 x 时的无穷大 证： 先证函数 11 siny xx 在区间0,1内无界 因为0M在0,1中总可找到点 0 x，使 0 ()f xM，例如， 可取 0 1 () 2 2 xkN k ，则 0 ()2 2

42、f xk ，当k充分大 时，可使 0 ()f xM，所以 11 siny xx 在0,1内无界 再证函数不是0 x 时的无穷大 因为0,0M总可找到点 0 x， 使 0 0 x， 但 0 ()f xM， 例如，可取 0 1 () 2 xkN k ，当k充分大时， 0 0 x 但 0 ()2sin20f xkkM， 所以 11 siny xx 不是0 x 时的无穷大 8.求函数 2 4 ( ) 2 f x x 的图形渐近线 解： 因为lim( )0 x f x ，所以0y 是函数图形的水平渐近线 因为 22 lim( ), lim( ) xx f xf x ，所以2x 微信公众号 高校课后习题

43、及2x 都是函数图形的铅直渐近线 微信公众号 高校课后习题 习题 1-5 1.计算下列极限； 2 2 2 2 1 22 0 2 2 2 2 4 5 (1)lim; 3 21 (3)lim; 1 () (5)lim; 1 (7)lim; 21 68 (9)lim; 54 x x h x x x x xx x xhx h x xx xx xx 2 2 3 32 2 0 2 2 42 2 3 (2) lim; 1 42 (4)lim; 32 11 (6)lim(2); (8)lim; 31 11 (10)lim(1)(2); x x x x x x x xxx xx xx xx xx xx 111

44、(11)lim(1); 242n n 2 123(1) (12)lim; n n n 3 3 1 (1)(2)(3) (13)lim; 5 13 (14)lim() 11 n x nnn n xx 解： 2 2 3 2 2 3 lim(3) 5 (1)lim0 3lim(1) x x x x x xx 2 2 3 30 (2) lim0 14 x x x 微信公众号 高校课后习题 2 2 11 211 (3)limlim0 11 xx xxx xx 2 32 0 2 0 0 lim(421) 421 (4)lim 32lim(32)2 x x x xx xxx xxx 22 0 () (5)l

45、imlim(2)2 hh xhx xhx h 22 1111 (6)lim(2)lim2limlim2 xxxx xxxx 2 2 2 2 1 lim(1) 11 (7)lim 11 212 lim(2) x x x x x xx xx 2 23 42 24 11 lim() (8)lim0 31 31 lim(1) x x x xx xx xx xx 2 2 44 68(4)(2)2 (9)limlim 54(4)(1)3 xx xxxx xxxx 2 11 (10)lim(1)(2)1 22 x xx 1111 (11)lim(1)lim2(1)2 24221 nn nn 2 123(1)111 (12)limlim(1) 22 nn n nn 微信公众号 高校课后习题 3 32 11 (1)(2)(3)11231 (13)limlim(1)(1)(1) 555 13(1)(2) (14)lim()lim1 11(1)(1) nn xx nnn nnnn xx xxxxx 2.计算下列极限: 32 2 2 2 3 2 (1)lim; (2) (2)lim; 21 (3)lim(21) x x x xx x x x xx 解： （1）因为， 2 32 2 (2) lim0 2 x