2015高考总复习数学(文)课件：7.1正弦定理和余弦定理

1、第七章 解三角形,第1讲,正弦定理和余弦定理,1正弦定理,_2R，其中 R 是三角形外 接圆的半径正弦定理可以变形为以下几种形式，以解决不同 的三角形问题 (1)abc_； (2)a_，b_，c_； (3)sinA_，sinB_，sinC_.,sinAsinBsinC,a 2R,b 2R,c 2R,2RsinA,2RsinB,2RsinC,2余弦定理,a2_； b2_； c2_.,a2b22abcosC,2bc,2ac,余弦定理可以变形为：cosA_，cosB _，cosC_.,2ab,b2c22bccosA,a2c22accosB,a2b2c2,b2c2a2,a2c2b2,3三角形的面积,4

2、正弦定理和余弦定理的应用 (1)在解三角形时，余弦定理可解决两类问题： 已知两 边及夹角或两边及一边对角，求其他边或角；已知三边，求 其他边或角 (2)正弦定理可解决两类问题：已知两角及任一边，求其 他边或角；已知两边及一边对角，求其他边或角，其结果可 能是一解、两解、无解，应注意区分在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下表：,B,2若ABC 的内角 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足(a2,b)2c24，且 C60，则 ab 的值为(,),A,A.,4 3,B8,C1,D.,2 3,3在ABC 中，若 sinAsinB，则ABC 一定是(,),A,A等腰三角形 C等腰直角三

3、角形,B直角三角形 D等腰或直角三角形,4在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若,(a2c2b2)tanB ac，则角 B(,),D,5在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则 A,的大小是_ .,考点1 正弦定理,例 1：(2012 年大纲)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos(AC)cosB1，a2c，求 C 的大小,解：由 ABCB(AC)， 由正弦定理及 a2c，得 sinA2sinC，,所以 cos(AC)cosBcos(AC)cos(AC) cos(AC)cos(AC),cosAcosCsinAsinCc

4、osAcosCsinAsinC2sinAsinC. 由 cos(AC)cosB1 与 sinA2sinC，,因为C为三角形的内角且a2cc，故0C ，,所以sinC ，故C .,可得 2sinAsinC14sin2C1.,【方法与技巧】该试题从整体来看保持了往年的解题风格， 依然是通过边角的转换，结合了三角形内角和定理的知识，以 及正弦定理和余弦定理，求三角形中的角的问题.试题整体上比 较稳定，思路也比较容易得出，先将三角函数关系式化简后， 得到角A，C 的关系，然后结合a2c，得到两角的二元一次方 程组，则容易得到角 C 的值.,【互动探究】,B,2(2013 年山东)ABC 的内角 A，B

5、，C 的对边分别是 a，,b，c，若 B2A，a1，b ，则 c(,),B,A,B2,C.,D1,考点2 余弦定理 例 2：(1)在ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，,b，c，若 a2b22c2，则 cosC 的最小值为(,),答案：C, ，化简，得 8c7b40，,(2)(2012 年北京)在ABC 中，若 a2，bc7，cosB,解析：在ABC 中，利用余弦定理 cosB ,a2c2b2 2ac,4(cb)(cb) 4c,47(cb) 4c,与 bc7 联立，解得 b4. 答案：4,，则b_.,【方法与技巧】(1)本题考查余弦定理的应用，利用题目所 给的条件列出方程组求解.

6、(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时 还要注意整体思想、方程思想在解题中的应用.,【互动探究】 3(2013 年上海)已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分,别是 a，b，c.若 a2abb2c20，则角 C 的大小是_.,考点3,正弦定理与余弦定理的综合应用,例 3：(2013 年陕西)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分,别为 a，b，c.若 bcosCccosBasinA，则ABC 的形状为(,),A直角三角形 C钝角三角形,B锐角三角形 D不确定,sinA1，A .ABC为直角三角形故选A.,方法二，bcosCccosBsinBcosCsinCcosBsin(BC),sinAs

7、inAsinA，,答案：A,【方法与技巧】已知条件中既有边，又有角，解决问题的 一般思路是两种：利用余弦定理将所有的角转换成边后求解 (如方法一)；利用正弦定理将所有的边转换成角后求解(如方 法二).,【互动探究】,a，b，c，且 cosA ，cosB ，b3，则 c_.,5(2012 年重庆)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为,易错、易混、易漏,对三角形中的角所受到哪些限制不清楚,例题：在ABC 中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(A,B)，试判断ABC 的形状,解：(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，,b2sin(AB)sin(AB)a2sin(A

8、B)sin(AB)， 2sinAcosBb22cosAsinBa2， 即 a2cosAsinBb2sinAcosB.,方法一，由正弦定理，知：a2RsinA，b2RsinB，,sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB. 又 sinAsinB0，sinAcosAsinBcosB， sin2Asin2B. 在ABC 中，02A2，02B2， ABC 为等腰三角形或直角三角形 方法二，由正弦定理、余弦定理，得,a2b,b2c2a2 2bc,b2a,a2c2b2 2ac,，,2A2B或2A2B，AB或AB .,ABC 为等腰三角形或直角三角形,【失误与防范】(1)判断三角形的形状可以根据边的关系判 断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同的方 式切入：根据余弦定理，进行角化边；根据正弦定理，进 行边化角.,a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， (a2b2)(a2b2c2)0， a2b20或a2b2c20. 即ab或a2b2c2.,(2)本题也可分析式子的结构特征，式子具有明显的对称,性，可判断图形为等腰或直角三角形.,(3)易错分析：方法一中，由 sin2Asin2B 直接得到 A B，其实学生忽略了 2A 与 2B 互补的