三角形(一)学案

1、三角形（一）学案一、 教学目标1、 了解三角形的有关概念，会画三角形的角平分线、中线和高。2、 会对三角形进行分类。3、 掌握三角形的三边关系。4、 掌握三角形内、外角和定理。二、 知识点回顾三角形三边关系，三角形的内角和定理，三角形的三条重要线段（角平分线、中线和高线）的概念，三、 例题选讲例1、 ABC两边长分别为2和5，第三边长为偶数，求其周长。 分析：先根据三角形三边关系求出第三边的范围。 解：根据三角形的三边关系得到第三边X的范围是3X7,因为X为偶数,所以X=4或6,周长为11或13.例2、ABC中A=80度，BE、CD是三角形的内角平分线，BE、CD相交于O点，则BOC是多少度？

2、若BD、CE是三角形的外角平分线呢？又若BD是内角平分线CE是外角平分线呢？ 图1 图2 图3分析：根据三角形的内角和定理和角平分线的定义可以求出BOC，在图2、3的基础上构造出图1的基本图形，可由邻补角的角平分线互相垂直求出BOC的度数。解：BE、CD分别平分ABC、ACB，4=3，1=2。BOC=180-（4+2）=180-1/2（ABC+ACB）=180-1/2（180-A）=90+1/2A图2中，作ABC、ACB 的角平分线交于N 点，则NBO=NCO=90，BNC+BOC=180，BOC=180-（90+1/2A）=90-1/2A。图3中，作ACB的角平分线交BE于M，则MCD=90

3、，BMC=90+1/2A=MCO+MOC=90+MOC，BOC=1/2A。例3如图，把ABC纸片沿DE折叠，试猜想A与1+2的数量关系，并说明理由。分析：因为是折叠，所以延长BD、CE交于F，所以DAE=DFE，1=DAF+DFA2=EAF+EFA，1+2=DAE+DFE。所以1+2=2DAE。 四、课外练习（一） 选择题1、已知一个等腰三角形的底边长为5，腰长为x，则x的取值范围是（ ）A 0x2.5 B x2.5 C x2.5 D 0x10 2、已知三角形ABC，先将A的度数增加一倍，B的度数增加两倍，刚好使C是直角，则A的度数可能是（） 75度 60度 45度 30度、一扇窗户打开后要用

4、窗钩将其固定，这里所用的几何原理是（） 三角形的稳定性 两点之间线段最短 两点确定一条直线 垂线段最短、下列每组数分别表示三根小木棍的长度，将他们首尾相接后能摆成三角形的是（） ， 5，7，12 6，6，13 6，8，10、为三角形的内心，130度，则的度数是（） 65 75 80 100、是三角形ABC高的交点，BHC=110度，A的度数是（ ） A 110 B 70 C 20 D不能确定7、三角形的两边长为3和6，第三边长是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长为（ ） A 11 B 13 C 11或13 D 11和138、一个三角形的两个内角分别是55度和65度，这个三角形的外角

5、不可能是（）A 115度 B 120度 C 125度 D 130度9、如图，AD是三角形ABC的中线，ADC=60度，BC=4，把三角形ADC沿直线AD折叠后，点C落在E处，则BE为（ ）A 1 B 2 C D （二） 填空题81、三角形的两边长分别为和，则第三边上中线的范围是 。2、三角形的三边长分别为a,a-1,a+1,a的取值范围是 3、如图，1+2+3+4= 4、如图在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的有9个，则在第n个图形中，互不重叠的共有 个。5、如图，将一副直角三角形板重叠在一起，使直角顶点重合于O点，则AOB+DOC= 6

6、、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且EDBC，则CE的长是 7、如图，ABC中，ADBC于D，BEAC于F，AD与BE相交与F，若BF=AC，那么ABC的大小是 8、已知等边ABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P，如图，则APE的度数是 （三） 解答题6-81、将一张矩形纸片沿EF对折，若EFG=50度，求1、2的度数。2、一个三角形的两边分别为13cm和19cm，求其最短边的范围。3、已知在三角形ABC中，AB=AC，AB的中垂线与直线AC相交所成的角为50度，求底角B的度数。4、等腰三角形ABC中，

7、一腰AC上的中线BD把三角形的周长分为12cm,15cm两部分，求此三角形各边的长。 5、求证：三角形一边的两个端点到这边的中线所在的直线的距离相等。 6、如图，在RtABC中，AB=AC，BAC=90,O为BC的中点。 1写出点O到ABC的三个顶点A，B，C的距离的关系；不要求证明2如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动一保持AN=BM，请判断OMN的形状，并证明你的结论。7、ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2,若ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论。8、AD是三角

8、形ABC的中线，E为AC上一点，连接BE交AD于F且AE=EF，求证：BF=AC三角形（二）一、 教学目标 1、掌握等腰三角形的有关概念2、等腰三角形的性质和识别。 3、掌握直角三角形的性质和判定方法。 4、能综合运用三角形的知识解决问题。二、知识点回顾 等腰三角形的三线合一定理，等角对等边，等边对等角，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半。三、例题选讲例1、ABC中，M是BC的中点，AN平分BAC，ANBN，AB=10，AC=16，求NM的长。 分析：延长BN交AC于H则可构造等腰三角形的三线合一。解：延长BN交AC于H，因为

9、BNA=ANH，BAN=NAH，所以ABN=AHN，所以AB=AH，N是BH的中点，因为M是BC的中点，所以NN=（16-10）/2=3例2、C=90，AM=CM，MPAB于P，Q求证BP2=AP2+BC2分析：从结论看，应该寻找直角三角形运用勾股定理。证明：连接BM，得直角三角形BMP、BCM、AMP，所以BP2=BM2-MP2=BC2+CM2-MP2=BC2+AM2-MP2= AP2+BC2例3、 ABCD为正方形，E为AB中点，F为AD上一点，AF=14AD求证EFCE分析：方法一要证FEC为直角，可证FEA+CEB=90，即通过AE：BC=AF：BE=1/2且A=B证三角形AFE与三角

10、形BEC相似。 方法二：可连接FC设正方形的边长为2，用勾股定理表示出EF、EC、FC，再应用勾股定理的逆定理得出FEC=90。请你选择一种方法加以证明。四、课外练习（一）选择题1、已知等腰三角形两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）A 12或9 B 12 C 9 D 72、有5个三角形分别满足下列条件之一边长为5，12，13；三边长为m2-n2,2mn,m2+n2mn0;三边之比为345；三内角之比为123;三边之比为12 其一直角三角形有 A2个 B3个 C4个 D5个3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底部A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A

11、，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B至，那么BB A等于1米 B大于1米 C小于1米 D不能确定4、三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为 A 6 B 4.5 C 2.4 D85、如图，ABC中，AB=AC，BAC=90。直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；SEF=AP当EPF在ABC内绕顶点P旋转时点E不于A，B重合，上述结论一始终成立的有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个6、 如图，在等腰RtABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边ABD，使点C、D

12、AB的同侧；再以CD为一边作等边CDE，使点C、E在AD的异侧。若AE=1，则CD的长为 A B C D 7、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有 A4个 B5个 C7个 D8个8、如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 A B C D 图1 图2 图3 图49、ABC是直径为10的圆内接等腰三角形，如果此等腰三角形的底边BC=8，则该ABC的面积为 A 82 B 12 2 C 12 2或322 D 82或322（二）填空题1、等腰三角形一底角为30，底边上的高为3，则这个等腰三角形的周长是 2、如

13、图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞了 米3、已知如图，在ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则ABC的周长等于 4、在ABC中，AB=AC，且BC=8，BD是腰AC的中线，分ABC的周长为两部分，已知它们的差为2，则等腰三角形的腰长为 5、 如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a3+b3= 6、若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为4

14、5，则这个等腰三角形的底角为 6、 如图，在ABC中，已知B和C的平分线相交于点F，过F作DFBC，交AB于D，交AC于E，若BD+CE=9，则线段DE的长为 8、已知a、b、c是ABC的三边长，那么方程cx2+（a+b）x+0.25c=0的根的情况为 （三）解答题1、 已知如图三角形ABC，AB=AC，AD=AE，BAD=n度，求证：EDC=n度2、已知等腰三角形ABC的周长为50，AD是地边上的高，ABD的周长为40，求AD的长。3、如图，设在一个宽度AB=a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于平整一堵墙上Q时，Q离地面的高度为c，梯子与地面的角是45，将梯子

15、的顶端放于另一堵墙上R时，离开地面的高度为d，且此时梯子与地面成75，则d=a，为什么？4、已知，ABC中，AB=AC，BD=CE，求证：DG=GE5、如图，已知：等腰三角形ABC的底边长8，腰长5，一动点P在底边上从B向C以0.25/s的速度运动，当P运动到PA与腰垂直的位置时，求P运动的时间。6、 已知：如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，D为AB上一点，求证：（1）ACEBCD；（2）AD2+AE2=DE27、 如图，在ABC中，BAC=90，延长BA到D，使AD=0.5AB，点E、F分别为BC、AC的中点，（1）求证：DF=BE；（2）过A作AGBC，交DF于

16、G，求证：AG=DG四边形（二）一、教学目标：1、 掌握特殊的平行四边形-矩形、菱形、正方形的概念。2、 掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质和识别方法。3、掌握矩形、菱形、正方形的中心对称性和轴对称性，并能利用这些性质解决问题。二、知识点回顾有一个角为直角的平行四边形是矩形，矩形的对角线相等；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角；正方形具有矩形、菱形的一切性质。三、例题选讲例1、如图，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上两点，且BE=DF，（1）若边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也

17、是菱形吗，为什么？（3）若四边形AECF是矩形，判断四边形ABCD也是矩形。分析：对平行四边形、矩形、菱形的判断可以分别从边角对角线上考虑，这一题显然从对角线较方便些。解：（1）连接AC交BD于O，因为AECF是平行四边形，所以AO=OC，EO=FO，又因为BE=DF所以BO=OD，所以四边形ABCD是平行四边形。 （2）因为AECF是菱形，所以ACBD，由（1）得ABCD是平行四边形，所以ABCD是菱形。 （3）四边形ABCD不是矩形。因为AC等于EF就不能等于BD。例2、 ABC，O是AC上的一点，过O作MNBC，交BCA的平分线于E，交BCA的外角平分线于F，求证：（1）OE=OF，（2

18、）当O运动到何处时，四边形AECF是矩形（3）ABC需添加什么条件，四边形AECF是正方形？分析：因为CE、CF分别为BCA的内外角平分线，所以ECF=90，要使他是矩形，只需保证它是平行四边形，由（1）得OE=OF，故只需AO=OC,zai在（2）的基础上AECF要为正方形，只需使其对角线互相垂直。故需添加ACBC。解：（1）CE为BCA的内角平分线，BCE=ECA，又MNBC BCE=FEC，FEC=BCE ，OE=OC，同理OC=OF，所以OE=OF（2）当O运动为AC的中点时，四边形AECF是矩形。CE、CF分别为BCA的内外角平分线，AO=OC，EO=OF，ECF=90，AECF为矩

19、形。（3）当ACBC，O为AC的中点时，AECF是正方形。四、课外练习（一）选择题1、下列条件中不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）A ACBD，AC与BD互相平分 B AB=BC=CD=DA C AB=BC，AD=CD且ACBD， DAB=CD，AD=BC，ACBD2、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A 对角线相等 B 对角线互相垂直平分 C 对角线平分一组对角D四条边相等3、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若BAF=30度，则AEF=（） A 30 B 60 C 45 D 754、下列命题中真命题是（ ） A 有两边相等的平行四边形是菱形 B 有一个角是直角的四边形是矩形C 四

20、个角相等的菱形是正方形 D 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形7、 如图，E是边长为1的正方形ABCD对角线上一点，且BE=BA，P是AE上任一点，PQBA于点Q，PRBE于R，则PQ+PR=（ ）A 2 B C D 不能确定 6、小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得三角形ABC，则AC边上的高为（ ）A B C D7、菱形ABCD中，E是AB的中点，作EFBC，交AC于F，如果EF=4，那么CD的长为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 8、正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于O点，则AO：DO=（ ） A B C D （二）填空题1、菱形A

21、BCD的对角线的长为2和5，P是对角线BD上的任一点，且PE平行于BC交CD于E，PF平行于CD交AD于F，连接EF交PD于G，则阴影部分的面积为 3、 矩形纸片中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使B与D重合，折痕为EF，则DE= 4、 如图，在三角形ABC中，AC=BC=2，ABC=90度，D为BC的中点，E为AB边上的一动点，则EC+ED的最小值为 5、直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长为 5、 将矩形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若三角形AFD的周长为9，三角形ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长

22、为 6、若将四根木条钉成的矩形变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于 7、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，从（1）AB=CD；（2）ABCD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）ACBD；（6）AC平分BAD这六个条件中，选取3个推出ABCD是菱形。如（1）（2）（5）,请在写出符合要求的两个。 8、 已知，正方形的边长为2，PBC是等边三角形，则CDP的面积是 ，BPD的面积是 （三）解答题1、如图，菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AE垂直于BC，AF垂直于CD，CG平行于AE，CG交AF于点H，交AD于点G

23、 （1）求菱形ABCD的面积；（2）求角CHA的度数。2、已知，在三角形ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过M分别作AB、AC的平行线，交AC于P，交AB于Q，（1）求四边形AQMP的周长；（2）M位于什么位置时，四边形AQMP是菱形？说明你的理由。3、在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米，动点P以2厘米/秒的速度从A出发，沿AC向C移动，同时动点Q以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB向B移动，设P、Q两点移动t秒后，四边形的面积为S平方米（1）求面积S和时间t的关系式（2）在P、Q两点的移动过程中，四边形ABQP与三角形CPQ的面积是否能相等？若能，求出此时P的位置；

24、若不能，请说明理由。ECDOBAECDOBAECDOBA4、如图，在正方形ABCD的对角线上截取CE=CD，作EFAC于F，求证：AE=EF=FD5、ABC中，BD、CE是高，G、F分别为BC、DE的中点，求证：FGDE6、矩形ABCD，AB=6，BC=8，将矩形沿EF折叠，使C与A重合，求折痕EF的长7、菱形ABCD中，BD2=2AC2,BEAC,AE=AC,求EAC的度数。8、如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE、BD相交于F，求证：CFDE四边形（三）一、教学目标：1、 了解梯形的有关概念，等腰梯形、直角梯形的概念。2、 掌握等腰梯形的性质和判断方法。3、 掌握梯形中常用辅助线。

25、二、知识点回顾等腰梯形的对角线相等，等腰梯形同一底上的两个角相等，对角线相等的梯形是等腰梯形，同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。三、例题选讲例1、四、课外练习（一）选择题1、梯形ABCD中，AD平行于BC，AC、BD交于O，若三角形OAB的面积是梯形面积的6/25，则三角形AOD与三角形BOC的周长比为A1：2 B 2：3 C 3：4 D 4：5 2、梯形ABCD中，AD平行于BC，E为AB的中点，若三角形DEC的面积为S则四边形ABCD的面积为A 2.5S B 2S C D 3、4、5、6、7、8、（二）填空题1、已知梯形的上下底分别为6和8，腰长为7，另一腰长为a，则a的范围是 ，若这一

26、腰长为奇数，则此梯形为 梯形。 2、直角梯形的中位线为a，垂直于底的腰为b，则图中阴影部分的面积为 3、一个梯形的面积为22平方厘米，高为2厘米，则该梯形的中位线长为 4、已知在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线互相垂直，且AC=8cm，BD=8cm，则梯形的高为 5、6、7、8、（三）解答题1、2、3、4、5、6、7、8、四边形（四）一、教学目标：1、 了解三角形中位线、梯形中位线的概念。2、 掌握三角形中位线定理、梯形中位线定理3、 掌握三角形三边中点所构成的三角形和四边形四边中点所构成的四边形的性质。二、知识点回顾 三角形中位线、梯形中位线的概念，三角形中位线定理，梯形中位线定理。三

27、、例题选讲例1、 已知如图，在ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是BC边上的高，求证：DHF=DEF分析：这一题中中点的应用为三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。DE=1/2AC=HF，DH=1/2AB=EF。证明：连接DF，因为AHBC，D、E、F为各边的中点，所以DE=1/2AC=HF，DH=1/2AB=EF，所以，HDFEFH，所以DHF=DEF。例2、 平行四边形的对角线交于O点，点E、F、P分别是OB、OC、AD的中点，若AC=2AB，求证：EP=EF. 分析：本题中，AC=2AB就可以得到等腰三角形，又因为有中点，故可以利用等腰三角形的三线合一得到直角

28、三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。证明：连接AE， 因为平行四边形ABCD，AC=2AB，所以AO=OC=AB，因为E是OB的中点，所以AEBD，又因为P为AD的中点，故EP=1/2AD=1/2BC=EF。例3、四边形ABCD中，AC=BD，M、N分别为AD、BC的中点，MN交AC、BD于P、Q，求证：PF=FQ分析：本题中的两个中点不能直接运用中位线定理，所以要再寻个中点配成中位线，因为题中已知AC=BD，故可以取DC的中点。证明：取DC的中点H，连接MH、NH，因为M、N是AD、CB的中点，所以MHAC，MH=1/2AC，NHBD，NH=1/2BD，所以MH=NH，所以H

29、MN=HNM=CPQ=DQP，所以PF=FQ。四、课外练习（一）选择题1、ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，AHBC于H，若DE=5，EF=6，DF=4，则HF的长为（ ） A 5 B 6 C 4 D 32、顺次连接梯形各边中点所成的图形是（ ） A 梯形 B 平行四边形 C 菱形 D 正方形3、若顺次连接一四边形各边中点所组成的图形为正方形，则原四边形为（ ） A 矩形 B 菱形 C 对角线互相垂直相等的四边形 D 等腰梯形4、等腰梯形的两底角为30，腰长为8cm，高和上底相等，那么梯形的中位线长（ ） A 8cm B 10cm C cm D 5、顺次连接对角线互相垂直的梯形的各边中点，所得的四边形是（ ） A 矩形B 菱形 C 正方形 D 等腰梯形6、如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，且AN=4，则CN的长为（ ） A 5 B 6 C 7 D 87、等腰梯形的中位线长为b,对角线平分腰与上底的夹角，下底比周长小a ,则上底的长为（ ） A a-2b B b-2a C 2b+a D 4b-a8、如