四川省宜宾市第三中学2020高一数学教学论文 抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用（通用）

1、四川省宜宾市第三中学2020高一教学论文 抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用内容摘要：抽屉原理是国际国内高中数学竞赛中的重要内容，本文目的是探讨抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用。首先介绍了抽屉原理及其一些相关推论，从而对原理实质有了一定了解，再在此基础上研究了抽屉原理常用的八种构造方法：利用几何图形做抽屉、利用区间构造抽屉、利用整数分组做抽屉、用状态制作抽屉、利用染色体造抽屉、以集合作抽屉、以元素对作抽屉、按同余类造抽屉，并结合高中数学竞赛中的具体例子进行了详细分析。本文展现了抽屉原理在高中数

2、学竞赛中的作用，对高中数学的教学等具有重要意义。关键词：抽屉原理 构造方法 应用 数学竞赛目录1 引言22 抽屉原理简介22.1 抽屉原理22.2 抽屉原理的性质22.3 抽屉原理的几种形式23 抽屉原理相关推论23.1 平均值原理23.2 面积重叠原理24 构造抽屉的方法24.1 利用区间构造抽屉24.2 利用几何图形作抽屉24.3 利用整数分组作抽屉24.4 用状态制作抽屉24.5 利用染色体构造抽屉24.6 以集合作抽屉24.7 以元素对作抽屉24.8 按同余类构造抽屉25 抽屉原理的应用25.1 解决问题的步骤25.2 应用举例26 结论2参考文献：2抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造

3、及其应用1 引言“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷(Dirichlet)运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也有称“鸽笼原理”的。简地说就是：把3个苹果放入两个抽屉中，必有一个抽中至少有两个苹果；把3个苹果放入4个抽屉中，必有个抽屉中没有苹果。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。中学生在应用抽屉原理解决问题时，往往不能进行系统总结，从而对问题的实质看不穿。“抽屉原理”是一个重要而又基本的组合原理，是非常规解题的的重要类型，例如文献1-3主要叙述了抽屉原理的一些基本形式及其性质。文献4的衡阳技师学院的赵晶老师着重研讨了

4、运用抽屉原理时构造抽屉的技巧，并归纳抽屉原理的适用范围和运用时的注意事项。而文献5中广东三水广播电视大学的钟颖老师从所给出的通俗表述形式出发，细分下去，得出了鸽笼原理更全面、更广泛的通俗表述形式。文献6-9从实际例子出发，介绍了抽屉原理在实际生活中的应用。文献10-12则从抽屉原理的一些细节问题上出发进行了深入讨论。文献14是从高观点下中学数学的角度分析了抽屉原理。最后文献13-15介绍了抽屉原理在应用时的一些方法。2 抽屉原理简介2.1 抽屉原理一般组合数学的教材关于鸽笼原理的简单形式为：设是有限集，且，则必有正整数()，使得。其通俗表述为：如果只鸽子飞进个笼子， 则必有一个笼子，该笼子里至

5、少有2只鸽子。关于鸽笼原理的一般形式为：设是()元集，且，则必有正整数()，使得。其通俗表述为：如果()只鸽子飞进个笼子，则必有一个笼子，该笼子至少有只鸽子。2.2 抽屉原理的性质通俗表述形式并没有指出这个笼子的性质，要强调这个笼子的互不相干性。假定问题为：7个皮球放进6个抽屉里，则必有一个抽屉，该抽屉至少有2个皮球。这种表述形式合理的前提条件为这6个抽屉互不相干。试分析一下，如果这个6抽屉有一大套一小的情形出现，则此结论就有问题了。另外，在应用鸽笼原理的通俗形式解决实际问题时，要注意放入对象的完整性(即不可分割性)。若假设问题为7对鞋放进6个互不相干的抽屉里，则必有1个抽屉，该抽屉里至少有2

6、对鞋的结论并不正确。原因是一对鞋并不是一个不可分割的整体，而是可分离的对象。所以可以出现有2个抽屉放入一对半鞋，其余个4抽屉放入一对鞋的情形。除了要指出放进对象与被放进对象性质之外，还存在至多与至少问题。由前知：7只白鸽飞进3个互不相干的笼子里，至少有一个笼子里至少有3只白鸽，这个结论是很显然的。如假定问题：7为只白鸽飞进3个互不相干的笼子里，至少有一个最大笼里至少有几只白鸽？至少有一个最小笼里至多有几只？分析其结果为：7只白鸽飞进3个互不相干的笼子里，至少有一个最大笼里至少有只，至少有一只最小笼里至多有只。推广到只白鸽到个笼子的情形：只白鸽飞进个互不相干的笼子里，至少有一个最大笼里至少有只白

7、鸽，至少有一个最小笼里至多有只白鸽。当然，鸽笼原理本身就有一定的局限性，它对于一些更加复杂的有关存在性的组合问题，显得无能为力。但有了这些关于鸽笼原理相对的通俗表述形式之后，就更清楚了应用此原理的相对条件。2.3 抽屉原理的几种形式其中是指不小于的最小整数。其中是指不大于的最大整数。1）第一抽屉原理(少的抽屉原理)：设有个元素分属于个集合(其两两的交集可以非空)，且(均为正整数)，则必有一个集合中至少有个元素。2）第二抽屉原理(多的抽屉原理)：设有个元素分属于个两两不相交的集合，且(均为正整数)，则必有一个集合中至多有个元素。3）无限的抽屉原理：设有无穷多个元素分属于个集合，则必有一个集合中含

8、有无穷多个元素。3 抽屉原理相关推论3.1 平均值原理设，且，则中有一个不大与，亦有一个不小于；有一个不大与，亦有一个不小于。3.2 面积重叠原理个平面图形的面积分别为，见他们以任意方式放入一个面积为的平面图形内。1）若，则存在，使图形与有公共内点。2）若，则内存在一点，不属于图形中的任意一个。4 构造抽屉的方法4.1 利用区间构造抽屉在遇到证明不等式的问题时，一般先利用区间构造抽屉，再利用任意区间里两数之差小于区间端点之差来构造出不等式。例1任给7个实数，证明必存在两个实数满足。证明：设7个实数为作，显然，把分成6个区间：，依抽屉原理，必有两个属于同一区间，不妨设为，且，而不论属于哪个小区间

9、，都有，由正切函数的单调性可知： （1）不妨记，则，而由（1）知，又()，从而有。4.2 利用几何图形作抽屉 利用几何图形做抽屉，关键在于分割，分割出符合题意的图形，即满足了题意，又使“鸽子”的个数大于“笼子”的个数，再利用抽屉原理及其它的一些推论解题。例2有直径为5的圆中放入10个点，求证：其中必有某两点的距离小于2。图1 例2图分析：如果此题直接以半径分割，平均分为9块，在每一块中沿半径方向的长都为2.5，虽然“鸽子”的个数大于“笼子”的个数，但不符合题意两点的距离小于2，所以，要用另外方法进行分割。证明：先把圆分成8个相等的伞形，再以圆的中心为中心，0.9为半径作圆，以该小圆做一抽屉，八

10、个扇形切下的部分做八个抽屉，共计九个抽屉，而原来每个扇形的弧长，从而即同一抽屉内任二点间距离均小于2，又10个点放入九个抽屉内，由抽屉原理，必有两点在同一个抽屉内，这两点距离就小于2。4.3 利用整数分组作抽屉利用整数分组关键在于构造“鸽子”，抽屉一般都事先明确给出，所以，应该怎么构造“鸽子”是难点。好的构造可以一眼看出思路，得出结论。例3对于个不同的自然数，若每一数都小于，那么可以从中选取三个数，使其中两数之和等于第三数。分析：此题要应用抽屉原理，还差至少只“鸽子”，再根据证明的结论，分析出可以用作差法构造出剩下的“鸽子”。证明：把这个自然数排成单调增序列：，作，。则,现考察，这个小于的自然

11、数。则必有，即。4.4 用状态制作抽屉所谓状态，可以理解为某物在某一时刻的情况，状态虽可以变，但变化的情况分析出不乏就只有几种，从而可利用这几种情况作为抽屉，再利用抽屉原理解决问题。例4世界上任意6个人中，一定有3个人或者相互认识，或者不相互认识。图2 例4图证明：将6个人用平面上的无三点共线的6个点表示，两个人互相认识，就把代表这两个人的两点用实线连接起来，两个人不互相认识，就把代表这两个人的两点用虚线连起来，于是问题就归结为：设平面上有六个点(任意三点不共线)，每两点之间都用线相连，且每条线段是实线、虚线色之一，那么图中必有一个是三边同线的三角形，已知六点，先取点与其它各点联成5条线段，由

12、抽屉原理知，这5条线段中至少有3条同线，不失一般性，取为，都为实线。再看由构成的的线的情况：的三条边中，至少有一边是实线，不妨设为，则是一个实线三角形。同理，的三边都是虚线，这时就是一个虚线三角形，由此命题得证。4.5 利用染色体构造抽屉利用染色体构造抽屉严格说来是属于用状态制作抽屉的特殊情形，即有两个抽屉时。之所以把它单独拿出来讨论，因为在遇到只有两种排斥情形的抽屉原则问题时，利用染色方法解决问题，比较形象、简便。而这也包含到了这类问题的大部分情况。例5将平面上每一点都以红、蓝色之一着色。证明，存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2000，并且每一个三角形的三个顶点同色。图3 例5图证明

13、：在平面上取任意一点，从出发，在同侧引9条射线，以为圆心，以半径画弧交9条射线于9个点，由于这9个点染有两种颜色，根据抽屉原理，至少有5个点同色，不妨取为。再以为圆心，以为半径画弧，交射线依次于。再根据抽屉原理，其中必有3点同色，不妨取为，连结及，得两，可知，相似比为2000，且，每一个的三个顶点都同色。4.6 以集合作抽屉以集合作抽屉关键在于分组构造“笼子”，与利用整数分组关键在于构造“鸽子”恰好相反。所以要分清这两种方法的异同，才能更好的解题。例6证明：在小于100的27个不同的奇自然数中，必定可找到两个数，它们的和等于102。分析：小于100的奇数有1，3，5，99共50个数，现在要用它

14、做成26个抽屉，而且至少有一抽屉不少于两个数，这两个数之和恰为102就解决了。证明：全，除，外，每个抽屉均有和为102的两个奇数。由小于100的奇数中任取27个奇数，这27个奇数必取自这26个集合，依抽屉原理，至少有2个不同的奇数来源于同一抽屉。显然这个抽屉只能属于之一，这两个数之和等于102。4.7 以元素对作抽屉以元素对作抽屉关键在于构造出抽屉的前一步，即先找出元素出现的规律，再找到元素对中每个位置元素的个数，随后便可构造出抽屉，应用抽屉原理问题便迎刃而解。例7有一无穷小数，其中是0，1，2，9中的一个数字，且为奇数，为偶数，的个位数字，的个位数字。求证：是有理数。证明：为证为有理数，只须

15、证为循环小数即可。由的构成规律知，从第三位起每位数字由前两位数字来决定，因此，只要证前两位数字重复出现，即此小数就开始循环，要注意到一个奇数与一个偶数之和为奇数，两个奇数之和的个位数一定为偶数，则=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇。今考察非负整数对()，由已知其中为奇数，为偶数，则=1，3，5，7，9。=0，2，4，6，8。这样的()最多只有对，因此在的前26对这样的数中，必有两对完全相同，故为循环小数。4.8 按同余类构造抽屉同余类构造抽屉是抽屉原理应用中最常见的类型之一，一般对模的同余分类来构造个抽屉，主要解决有关整除的存在性问题。例8为四个任意给定的整数，求证：差，的乘积能被12整除。证明：设。我

16、们先证明3整除。(1)把按被3除的余数0，1，2分为三类(抽屉)。由抽屉原则,、四个数中必有两个数对模3同余(即被3除的余数相同)，不妨设对模3同余。这时3可整除，从而3可整除。(2)把按被4除的余数0，1，2，3分为四类(抽屉)。如果、中有两个数被4除的余数相同，那么它们的差必能被4整除，从而4可整除。设四数除以4的余数不同，由此可知，中必有两个奇数(不妨设)，也必有两个偶数(设为)。这时为偶数，也是偶数，故4可整除，自然也可得出4整除。所以，能被12整除，命题得证。注意：如以2为模，将全体整数分为“余0类”(偶数)和“余1类”(奇数)两只抽屉；以3为模, 将整数集合分为“余0类”，“余1

17、类”和“余2 类”3 只抽屉，以为模，可将整数集分为“余0类”，“余1类”，“余类”共只抽屉。5 抽屉原理的应用5.1 解决问题的步骤1）明确什么是“抽屉”，什么是元素，“往抽屉里放什么”？2）制造“合适”的抽屉；抽屉的设计要“恰当”。“合适”要求每个抽屉的“规格”是一样的。因为是按任意方式放进元素的，每个抽屉放入元素的可能性是一样的。“恰当”抽屉的数目要少于元素的数目，且满足所求的结论。3）运用抽屉原理，据此解决问题。5.2 应用举例问题一：一袋糖果随意分给10个小孩(每人至少一颗)，证明：其中必有一些小孩所得糖果之和是10的倍数。分析：将整数分组制造抽屉。本题也似乎是茫无头绪，无从下手，其

18、关键何在？仔细审题，它们的“和”能“被10整除”应是做文章的地方。如果把这10个数排成一个数列，用记其前项的和，则其可构造共10个“和”数。讨论这些“和数”被10除所得的余数。注意到共有10个数，一个数被10除所得的余数有0，1，2，9共10种可能性。“鸽子”数与“笼子”数一样多，如何排除“故障”？证明：设10个小孩所得糖果分别是，则有，。又用10去除(=1，2，10)商为余数为(=1，2，10)，只能是0，1，9这10个数(任何整数被10除的余数有10个：0，1，2，9)，如果用余数把全体整数分成10个剩余类即10个抽屉，对给出的10个和不能运用抽屉原理，因此，考虑把这10个抽屉合并成6个“

19、大”抽屉：，这里表示被10除余数是2或8的全体整数。于是，至少有一个抽屉里有这样两个整数：如果这两个数同在内，其差是10的倍数，即命题得证。如果在内只有一个数，且在内无数，则在，内有9个数，由抽屉原理，至少有3个数在一个集合中，进一步推出在这个集合中有两个数同余，得证。注意：有时候直接对所给对象作某种划分，是很难构造出恰当的抽屉的。这时候，我们需要对所给对象先作一些变换，然后对变换得到的对象进行分类，就可以构造出恰当的抽屉。本题直接对进行分类是很难奏效的。但由构造出后，再对进行分类就容易得多。另外，对按模10的剩余类划分时，只能分成10个集合，而只有10项，似乎不能应用抽屉原则。但注意到余数为

20、0的类恰使结论成立，于是通过分别情况讨论后，就可去掉余数为0的类，从而转化为9个数分配在剩下的4个类中。这种处理问题的方法应当学会，它会助你从“山穷水尽疑无路”时，走入“柳暗花明又一村”中。前面数例我们看到，抽屉原理的应用多么奇妙，其关键在于恰当地制造抽屉，分割图形，利用自然数分类的不同方法如按剩余类制造抽屉，利用奇偶性等等，都是制造“抽屉”的方法。大家看到，抽屉原理的道理极其简单，但“于无声处听惊雷”，恰当地精心地应用它，不仅可以解决国内数学竞赛中的问题，而且可以解决国际中学生数学竞赛，例如IM0中的难题。下面我们就来看一个这样的例子单色三角形问题。问题二(第6届国际中学生数学奥林匹克试题)

21、：设有六点，每两点之间都用红色或蓝色线段相连，且任三点不共线，求证：总可以找到三点，做成以它们为顶点的三角形，而这三角形三边涂有相同的颜色。分析：设已知六点为，由于任三点不共线，所以任三点均可作为某三角形的三个顶点。证明：任取一点为，将与其余五点相连得线段，由于这五条线段涂有红色或蓝色，由抽屉原理知，得至少有三条涂有同一种颜色。(颜色为抽屉,线段为元素)，不妨设涂有红色，这时我们考察。（1）若中有一条边红色,如，则为三边同红的三角；（2）若中无一条红色边，则就是三边均为蓝色的三角形。综上所述，总存在同色三角形。说明：(1)本题源于一个古典问题世界上任意6个人中必有3人互相认识，或互相不认识。(

22、美国普特南数学竞赛题)。(2)将互相认识用红色表示，将互相不认识用蓝色表示，(1)将化为一个染色问题，成为一个图论问题：空间六个点，任何三点不共线，四点不共面，每两点之间连线都涂上红色或蓝色。求证：存在三点，它们所成的三角形三边同色。(3)问题(2)可以往两个方向推广：其一是颜色的种数，其二是点数。问题三(类似1963年北京市数学竞赛题)：边长为8的正三角形中(包括边界)，有9个点，以这9个点为顶点分别画三角形，试证：这些三角形中至少有一个面积小于7。图4 问题三图分析：如图，取三角形三边中点，则得四个边长为4的正三角形，可将这四个正三角形作为四个抽屉。证明：将原三角形分为四个边长为4的小正三

23、角形(包括边界)，由抽屉原理知，9个点放入4个小正三角形，则必有个点(不妨取为)同在一个小正三角形中，由于小正三角形的边长为4，所以一个小正三角形的面积为，故有，命题得证。下面再举一个简例介绍它在解决有关存在性的组合问题方面的应用。问题四(1978年广东省数学竞赛题)：求证，如果在一个边长为1的等边三角形内任取个点，则必有2个点，它们的距离不大于。分析：本体的关键在于如何做出符合条件的图形，所以作如下图。图5 问题四图证明：以表示所取点所成之集，则。边长为1的等边三角形可分成个边长为的小等边三角形, 并给它们编上号码1，2，3，。以表示中属于第个三角形的点所成之集，则。由鸽笼原理的简单形式，必有正整数，使得。这表明所取个点中必有2个点落在同一个小等边三角形内，它们的距离不大于小等边三角形的边长。6 结论抽屉原理无论在何时都是竞赛数学的一个重要内容，在数学的研究和学习中应用十分广泛，重视抽屉原理的应用，对学生思维的灵活性、广阔性、敏捷性、创造性及去发现问题、探索问题、解决问题的能力将有重要意义。抽屉原理简约而不简单，学生往往会产生“不识庐山真面目, 只缘身在此山中”的感觉，正如牛顿所说“我不知道世人对我怎样看法，我只觉得自己好像是在海滨游戏的孩子，有时为找到一块光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴，而真理的海洋仍然在我的前面末被发现” 。运用抽屉原则解题的一般方