工程力学64-附录-平面图形的几何性质

1、工 程 力 学,授课教师： 韩志型 土建学院力学教研室,附录 平面图形的几何性质,一、静矩、形心及其相互关系 了解 二、惯性矩、极惯性矩、惯性积 掌握 三、平行移轴公式 掌握 四、主轴与形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩的概念 了解,附录1 平面图形的几何性质,本章重点,1、静矩、形心及其相互关系 2、惯性矩、极惯性矩、惯性积 3、平行移轴公式,重要概念,静矩，形心，惯性矩，极惯性矩，惯性积，形心轴,本章难点,1、 组合图形对形心轴惯性矩的计算 2、 主轴与形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩的概念, 研究截面几何性质的意义,选取合理的截面形状和尺寸,充分地发挥材料作用,安全与经济,承载能力,1、静

2、矩的概念,静矩是面积与它到轴的距离之积。,平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或mm3。,一、 静矩、形心及其相互关系,图形对于 y 轴的静矩：,图形对于 z 轴的静矩：,2、平面图形的形心,定义：形心即是图形几何形状的中心。,对于等厚均质的薄板，重心的位置即是形心的位置。 形心的位置只与平面图形的几何形状、尺寸有关。 (1) 图形具有一根对称轴，则形心在此对称轴上； (2) 图形有两根对称轴，则形心在两对称轴的交点； (3) 三角形平面图形，其形心在三角形的三根中线的交点上，距各边相应高度

3、的13处。,平面图形的形心坐标,当微面积A0时，则用积分法求形心坐标：,形心与静矩的关系,平面图形对z 轴（或 y 轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心到该轴距离yC（或 zC ）的乘积。（ yC， zC ）即形心坐标。,利用合力矩定理：,形心与静矩的关系,当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。 形心轴：通过平面图形形心的轴称为形心轴。 如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。, 已知静矩可以确定图形的形心坐标, 已知图形的形心坐标可以确定静矩,组合图形 由若干个简单图形（矩形、

4、三角形、圆等）组成的平面图形即组合图形。 组合图形的静矩 组合图形对z 轴（或 y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即,式中 yC i 、zC i 及Ai 分别为各简单图形的形心坐标和面积; n为组成组合图形的简单图形的个数。,3、组合图形的静矩和形心,组合图形的静矩：,组合图形形心坐标的计算公式,组合图形的形心,组合图形的形心,yC i 、zC i 及Ai 为各简单图形的形心坐标和面积,yC 、zC 及A为组合图形的形心坐标和面积,例1 试计算如图所示的平面图形的形心位置。,解 将平面图形看作由矩形和组成,矩形,矩形,A1=10120mm2=1200mm2,A2=7010mm2

5、=700mm2,求得该平面图形的形心坐标为,A1=1200mm2,A2=700mm2,另解：用负面积法求解。将平面图形看作由大矩形减去矩形组成。,矩形:,矩形:,A1=80120=9600mm2,A2= 70110mm2= 7700mm2,求得该平面图形的形心坐标为,二、惯性矩、极惯性矩、惯性积,1、惯性矩与极惯性矩 惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积（也称为图形对轴的二次矩）。,极惯性矩是面积对点的二次矩。,惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯性矩不同。惯性矩的数值恒为正。 极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也各不相同。 常用单位为 m4 或 mm4 。,2、惯

6、性积 惯性积是面积与其到两正交轴距离之积。,惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。惯性积可能为正或负，也可能为零。单位为m4或mm4。,2、惯性积,如果坐标轴 z 或 y 中有一根是图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。,3、惯性半径,式中 iz、iy、iP 分别称为平面图形对z 轴、y 轴、和极点的惯性半径，也叫回转半径。单位为 m 或 mm。,或改写成,惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的极惯性矩）也愈大。,常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即,4、组合图形的惯性矩,组合图形对任一轴的惯性矩，等于

7、组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即,例2 矩形截面的尺寸如图所示。试计算矩形截面对其形心轴 z、y 的惯性矩、惯性半径及惯性积。,解 (1) 计算矩形截面对z 轴和y轴的惯性矩 取平行于 z 轴的微面积dA， dA到z轴的距离为 y，则 dA=b dy,截面对z 轴的惯性矩为,截面对 y 轴的惯性矩为,(2) 计算矩形截面对z轴、y轴的惯性半径 截面对z 轴和y 轴的惯性半径分别为,(3) 计算矩形截面对 y、z 轴的惯性积 因为z、y 轴为矩形截面的两根对称轴，故,例3 计算圆形截面对其形心轴 z、y 的惯性矩及惯性半径,对圆心C的极惯性矩。,解 取平行于 z 轴的微面积dA，

8、dA到z轴的距离为 y,截面对z 轴的惯性矩为,根据对称性:,D,R,惯性半径：,截面对C 的极惯性矩为,对于图示的空心圆，可看成是两个同心圆形的组合，则惯性矩为,极惯性矩：,三、平行移轴公式,式中： a，b图形形心在yoz坐标系中的坐标，或形心轴与其平行轴的距离。 A图形面积。 Iyc 、Izc图形对形心轴的惯性矩。 Iyczc图形对形心轴的惯性积。,图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。 由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。,例4 计算如图所示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。,解 z

9、、y轴是矩形截面的形心轴，它们分别与z1轴和y1轴平行，则由平行移轴公式得，矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩分别为,用平行移轴公式计算组合图形对其形心轴的惯性矩,组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即,计算组合图形对其形心轴的惯性矩步骤： 1. 确定组合图形的形心位置（zc,yc)； 2. 求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩； 3. 利用平行移轴公式，计算各简单图形对组合图形的形心轴的惯性矩Izci ，Iyci ； 4. 将各图形的Izci ，Iyci分别进行求和就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。,例5 试计算图示T形截面对形心轴的惯性矩。,解 （1）

10、 求截面形心坐标( zc ,yc ),矩形,矩形,整个图形的形心坐标：,z,C2,取z坐标为对称轴，建立坐标系。 故，yc=0,（2）计算该T形截面对形心轴zc的惯性矩Izc,由：,C,z,yc,（3）用平行移轴公式计算该T形截面对形心轴yc的惯性矩Iyc,y2,C2,四、形心主惯性轴、形心主惯性矩,主惯性轴: 若平面图形对通过O点的任意两根正交坐标轴z、y的惯性积 Iyz0，则这对坐标轴称为通过O点的主惯性轴，简称主轴。截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。 形心主惯性矩：图形对应任意点（图形内或图形外）都有主轴，而过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩（简称形心主矩）。形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。,工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。,对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定： 1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。 2）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴。 3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。,静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系中的数值有一定的关系。