弗赖登塔尔的HPM思想及其教学启示

1、第 2 0卷第 6期 2 0 1 1年 1 2月 数 学 教 育 学 报 J oURNAL oF M ATHEM ATI CS EDUCATI ON VO 1 2 0 NO 6 De c 2 0 1 1 弗赖登塔尔的 HP M 思想及其教学启示 蒲淑萍 ，汪晓勤 ( 1 华东师范大学 数学系。上海2 0 0 2 4 1 ；2淄博师范高等专科学校 ，山东 淄博 2 5 5 1 0 0 ) 摘要：汉斯 弗赖登塔尔是荷兰杰出的数学家和数学教育家其 “ 再创造”理论中的H P M 思想包括：以历史发生原理 为指导进行 “ 再创造” ，“ 有指导的再创造”中的 H P M 思想，基于数学现实的再创造中的

2、H P M思想，“ 学习过程”的再创造 中的 HP M 思想弗赖登塔尔的 HP M 思想对数学教学的启示有：数学史是调适教师数学观念与教学行为的重要基础，教师 培训是从知识到理念提升中小学教师对 HP M认识的大好契机，再创造思想为提升数学史的使用层次提供理论支撑 关键词 ：汉斯 弗赖登塔尔：再创造 ；HP M 思想；教学启示 中图分类号：G 4 2 0 文献标识码：A 文章编号：1 0 0 4 - 9 8 9 4( 2 0 1 1) 0 6 - 0 0 2 0 - 0 5 1 问题 提 出 自 1 9 7 2年在英围埃克塞特举办的第= ： 届国际数学教育 大会 ( I C ME 一 2 ，U

3、 n i t e d Ki n g d o m， E x e t e r , 1 9 7 2 )上，美国的 P S J o n e s 和英国的L R o g e r s 组织成立数学史与数学教学关 系国际研究小组 ( I n t e r n a t i o n a l S t u d y G r o u p o n t h e R e l a t i o n s b e t w e e n Hi s t o r y a n d P e d a g o g y o f Ma t h e ma t i c s ，简称 HP M) 以来， 数学史与数学教育关系这学术研究领域在各个国家 和地区蓬勃

4、发展起来 ，基 于 HP M 思想 的教学理论 与实践研 宄_ 1 2 j 都取得了令人瞩目的进展与成就 然而阳光并未普照到世界的所有角落，H P M 在我国中 小学的实际情况并不十分乐观 很多中小学教师与管理人员 还存在着对 HP M领域的认识不足或误区研究者曾就中小 学数学教学中运用数学史的情况进行了访谈调查， 发现为数 不少的教师及敦学管理人员仍存在诸如“ 我们主要关注升学 率， 数学史的运用可能会影响教学进度 ”“ 数学史没有时间 用 ”“ 数学史的知识我们 ( 指教师)都知道得很少，怎么 用?”“ 数学 史也就是讲讲故事、看看图片，激发一下兴趣 而 己吧 ! ”“ 用 数学 史?大概

5、得 等到 上公开 课的时候 吧 ?” “ 数学史确实对教学有促进作用，但我们用得很少，几乎不 用 ”等看法相比 于C o n s t a n t i n o s T z a n a k i s ， Ab r a h a m Ar c a v i 等人调查获得的结果_ 3 1 竞没有太多的改观而对于运用 “ 再 创造” 的思想与方法将概念、公式等的历史发展等通过重构 方式运用于教学的做法 ，更是使不少对 HP M 领域缺乏足够 认识的入难以理解、接受比如，有些人认为 “ 看不到”历 史素材，如年代、人物、史实等，就不能算作运用历史可 以看到， 他们不仅对数学史用F数学教学的认识肤浅、 甚至 存在

6、误区 ，而且对利用发生教学法 、通过 “ 再创造 ”的方法 重构历史于教学的做法更是缺乏正确认识如此等等的信 息，使研冗者认识到深入宣传 H P M 思想、推行利用历史发 生原理进行教学设计、让数学史走进常态课堂的迫切性 数 学史怎样进入中小学数学课堂， 已是理论演绎和实践反思双 向互动中生成的迫切课题 发掘数学教育大师的HP M思想， 反思其对教学的启示， 可获得最为直接、并最具有借鉴意义的做法今天对 2 0世 纪下半叶的国际数学教育权威汉斯 弗赖登塔尔的 H P M 思 想进行挖掘整理，以期对广大数学教育工作者深入、正确认 识 H P M 领域并积极进行理论研究与教学实践尽绵薄之力 2 汉

7、斯 弗赖登塔尔简介 汉 斯 弗赖 登塔尔 ( H F r e u d e n t h a l ，1 9 0 5 一 - 1 9 9 0 )是荷 兰数学家、 数学教育家， 是 国际上最富盛名的数学教育权威 ， 被誉为 2 0世纪 下半叶数学教育领域 的带头人【 4 】 弗赖登塔 尔 1 9 0 5 年 出生于荷兰 ， 1 9 3 0年获得柏林大学博 士学位 1 9 5 1 年起为荷兰皇家科学院院士，1 9 7 1 年至 1 9 7 6年任荷兰数学 教育研究所所长早年从事纯粹数学研究， 在李群和拓扑学 方面多有建树2 O世纪 5 0年代围绕 “ 新数”运动的争论使 弗赖登塔尔名声大振 他对国际数学

8、教育委员会研宄课题的 建议 ( 研究课题应是明确的、具体的例如，几何教学中采 用初等的直观方法的必要性； 心理学在数学教学早期阶段的 作用；几何教学的重要性；逻辑学与数学教学【 。 ) ，得到了 广泛而热烈的赞同与响应 1 9 6 7年， 弗赖登塔尔当选国际数学教育委员会主席 在 他的手中实现了令数学界、数学教育界瞩 目， 至今仍影响深 远 的两件事 ： 其 一 ， 单 独 举 行I C ME ( I n t e rna t i o n a l C o n g r e s s o f Ma t h e ma t i c s E d u c a t i o n ) 打破 了过去国际数学教育委员会

9、会 议作为数学家大会 ( I C M) 的一个分组的状况从此， I C ME 独立举行，国际数学教育委员会 ( I C MI )成为一个促进数 学教育研究的国际机构， 四年一度的 I C ME成为各国数学教 育工作者交流研究成果的最好机会； 其二 ，弗赖登塔尔在 1 9 6 8年创办了 数学教育研 究 ( E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n Ma t h e m a t i c s ) 。现在 ， 数学教 育研 究与I C ME的联系更加紧密，它已成为国际上最有影响的 数学教育刊物 弗赖登塔尔 1 9 5 0年代后开始关注数学教育，他的一系 列数学教

10、育著作，影响遍及全球主要有 作为教育任务的 数学( Ma t h e ma t i c s a s a n E d u c a t i o n a l T a s k ，1 9 7 3 ) ， 播 种 收稿日期：2 0 l 1 0 8 - 2 0 基金项 目：上海市教育科学研究项 目擞 学史与数学史教 育 ( B 0 8 0 1 4) 作者简介：蒲淑萍 ( 1 9 7 1 一 一) ，女，L J 东淄博人，淄博师范高等专科学校副教授 ，华东师范大学博士生，主要从事数学史与数学教育 ，小学数学 教育研究 第 6期 蒲淑萍等 ：弗赖登塔尔的 HP M 思想及其教学启示 2 1 和除草( W e e

11、 d i n ga n dS o w i n g ，1 9 7 8 ) ， 数学结构的教学法 现 象 学 (Di d a c t i c a l P h e n o m e n o l o g y D ， 1 Ma t h e m a t i c a l S t r u c t u r e s ，1 9 8 3 ) 其中第一本是最基本的，阐述了他对数 学和数学教育的各种基本观点， 后两本则是第一： 本的发挥与 发展 1 9 8 7年冬 ，8 2岁高龄 的弗翁应华东师范大! 学陈昌平、 唐瑞芬 、张奠宙等先生 的邀请访华 1 9 9 4年 ，他 中国的 讲稿 以 R e v t i n g Ma

12、 t h e m a t i c s E d u c a t i o n - C h i n a L e c t u r e s 为 名出版，中译本书名 数学教育再探：在中 的讲学【 5 j I 于 1 9 9 9年由上海教育出版社刊行他的中圈之行，对中国 的数学教育影响深远时至今日，包括中小学数学教师在内 的广大数学教育工作者对其“ 现实的数学” 、“ 数学化” 、“ 再 创造 ”等教 学思想都有所 了解 弗赖登塔尔认为数学的根源是常识， 人们通过 自己的实 践 ， 把这 些常识通 过反思组织起来，不断地进行横 向的或纵 向的系统化因此，他认为数学学习主要是进行 “ 再创造” ， 或者是他提

13、到 的 “ 数 学化 ” 没 有一种数 学思想 ，以它被 发现时 的那 个样子 发表 出 来， 一个问题被解决以后， 相应地发展成一种形式化的技巧， 结果使得火热的思考变成了冰冷的美j j 【6 j 如何打破这种 “ 教学法颠倒”的现象?这句为数学教育界耳熟能详的话语 为挖掘整理其HP M 思想指明了道路， 研究者认为“ 再创造” 思想就是其 HP M 思想 的最好体 现 3 弗赖登塔尔的 HP M 思想与 “ 再创造” 考虑到 “ 数学是不 同的而为什么不 同，理 由之一就是 历史 人类学习的历史过程能被个别的学生以某种方式重复 一 遍 吗 ”【 ，对 比 “ 启 发 式 ”( h e u

14、r i s t i c )与 “ 发 生方 式 ” ( g e n e t i c me t h o d )的不 刷，弗赖登塔尔提 出 了 “ 再创造 ”的 思想 对 于 “ 再创造 ” ，他的解释是：“ 创造 既包含 了内 容也包含 了形式 ，既包 含了新 的发现 又包 含 r细织创造， 照这里 的理解 ， 是 学习过程 中的若干 步骤 ，这些步骤的重要 性在于再创造的 再 ” j 弗赖登塔尔认为无论概念、公理 定理或数学语言与数学符号的形式体系， 以及包括各种算法 在内的、需要按照特定步骤解决的问题，都应使用再创造的 方法，反对生吞活剥地进行灌输对其 “ 再创造”理论中的 HP M 思想进

15、行层次划分与归类 大致概括为如下几个方面 3 1 以历史发生原理为指导进行 “ 再创造 ” 历史发生原理 ( H i s t o r i c a 1 g e n e t i c p n n c i p l e )是指导进行 “ 再创 造 ” 的主要理论依据 该原理 町以上溯 到 1 8世纪孔德 ( A C o mt e ，1 7 9 8 一 l 8 5 7 )时代，1 9世纪 ，人们将德国生物 学家海克尔 ( E H a e c k e l ，1 8 4 3 1 9 1 9 )所提 出的生物发生 学定律一一 “ 个体发育史重蹈种族发展史”运用于教育中， 重新得出 “ 个体知识的发生遵循人类知识

16、发生的过程” ，历 史发生原理因此而形成L 7 J 1 9 8 0年 8月 l 0日至 l 6日，在 美国加州 大学伯克利分 校举行的第四届国际数学教育会议上， 弗赖登塔尔作了题为 数学教育的主要问题 8 1 的报告在报告中，关于历史发 生原理弗赖登塔尔指出：“ 数学史乃是一个不断进步的系统 化的学习过程儿童无需重蹈人类的历史， 但他们也不可能 从前人止步的地方开始从某种意义上说，儿童应该重蹈历 史，尽管不是实际发生的历史，而是倘若我们的祖先已经知 道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史 ” “ 再创造 ”是 弗赖登塔尔关 于数学教学的基本思想 ，是 数学学习的基本方法，也是判断教法好坏的基

17、本准则 他认 为存在两种数学，一种是现成的或己完成的数学，另一种是 活动的或者创新的数学 完成的数学在人们面 前以形式演绎 的面 目出现 ，它完全颠 倒 了数学 的思维过程和 实际创造过 程，给予人们的是思维的结果；活动的数学则是数学家发现 和 创造 数学的过 程的真实体现 ， 它表 明了数学是一种艰难 曲 折 又生动有趣的活动过程 弗赖 登塔 尔认 为有 效的学习要求 每 个学习者回溯所 学学科 历史演进 的主要步骤 弗赖登塔尔反复强调： 数学学习的唯一正确方法是实行 “ 再创造” ， 也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创 造出来； 教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工 作，而

18、不是把现成的知识灌输给学生 他认为这是一种最自 然 、 最有效 的学 习方法 说它最 自然， 是因为生物学上 的“ 个 体发展过程是群体发展过程的重现” 这条原理在数学上也是 成立的，即：数学发展的历程也应在个人身上重现，这才符 合人的认识规律但是弗赖登塔尔提倡的 “ 再创造”并非要 求数学教学完全重现数学的发展历程， 而是指应该使学生体 会到：如果当时的人有幸具备了现在有了的知识， 他们是怎 样 把这 些知识创造 出来 的【 9 J 对于 “ 再创造” ，弗赖登塔尔采用苏格拉底 ( S o c r a t e s ) 给 门诺 ( Me n o )的奴隶授课 的宗 旨，即 “ 设想你当时 已

19、经 有了现在的知识，你将是怎样发现那些结果的： 或者设想一 个 学生 的学习过程得 到指导时，他 是应 该怎样发现它 的” ， “日的就在于找出学生怎样才能把他要学的知识 再创造 出来”【 弗赖登塔尔推崇的 “ 苏格拉底方法”正是这样的 一 种方法， 狭义地说，苏格拉底所做的就是在教学中再创造 或 再发现所教 的东西 针对具体 的教学 ，弗赖登塔尔认为的 “ 再创造 ”究竟应 该怎样实施呢 ? 3 2 “ 有指导的再创造”中的 HP M思想 如何在教学中实施 “ 再创造”?弗赖登塔尔认为：“ 力求 用发生的方法来教概念，并不意味着必须完全按照知识的发 展顺序，甚至连走过的弯路与死胡同都不加删除

20、地教而是 设想那时如果教师 已经知道 了现在所 知道 的东西，应该如何 去发现就像看得见的人可以告诉盲人如何去创造与发现 ” 对 于 “ 再创造 ”的具体方法之一 ：苏格拉底方法，他 的态度 是 ：“ 我们不必全盘否定苏格拉底，但也不必全盘继承我们 保留他的通过再发现来学习，但这个 再并非指学生的前 世 ，而是指人类 的历史，也就是重复人类祖先发现他们所掌 握的知识时的发展情况，我们不妨称之为再创造 ” 9 1 至于为何采用“ 有指导的再创造” 的做法， 他的回答是： “ 历史告诉我们数学是怎样创造的我曾经问过这样一个问 题， 学生是否需要重复人类的学习过程?当然不应该，自古 以来， 历史正是

21、通过避免走盲目的道路，通过缩短大量弯曲 小道，通过历史自己重新组织的道路系统来修正自己 ”因 此，在教育中 “ 新一代继续他们祖先所形成的知识，但他们 2 2 数学教育学报 第 2 0 卷 并不是跨到他们老一辈所达到的水平 他们被置于更低的水 平， 在此基础上重新开始人类的学习过程， 教育者承担了帮 助他们的任务， 但不是通过规定， 而是通过允许他们应该学 到的数 学”I 5 这就要求进行 “ 有指导的再创造 ” ，教 育者 ， 具体来说是教师承担了这项任务 “ 有指导 的再创造 ”其 中形容词 “ 有指导的 ”是就 “ 学 习过程的教学环境”而言的， 为使教师理解他的意思，他进 一 步指出：

22、“ 指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约 束性之间， 以及在学生取得 自己的乐趣和满足教师的要求之 间达到一种微妙的平衡 ”在具体操作中 “ 学生可以创造一 些对他来说是新的，而对指导者是熟知的东西” 5 1 对于如何实施 “ 指导” ，弗赖登塔尔通过一个问题序列 详细展示： 往哪里指导? 在哪里指导? 怎样指 导? 算法化； 再创造几何对于问题的回答涉及很多 知识 ， 但无一例外都是从其概念 的来源 ，即历史形成 与发展 说起 ，进而涉及其它 例如 ，针对 “ 在哪里指导”的回答之 一是 “ 指数增长 的 知识” 对此，他说：“ 将增长的概念数学化，在数学历史上 已成为一个更近代的特征如

23、果允许再创造历史的话， 重 点一定从作为对数逆运算的指数转到作为一个增长函数的 指数 其实复合利率作为离散的指数增长的一个例子早就形 成了， 将它引导到连续增量是一个历史的产物而不是进来才 出现的它应是再创造指数 ( 以及紧随的对数)函数的一 个来源和一个导引 ” 他甚至提到 “ 在一个更形式的水平上， 在加法与乘法之 间由指数和对 数函数作 为中介 的同构 ， 是构 建再创造的一个产物” 5 1 其后提到 “ 历史上另一个必须通 过再创造加以修正的例子是正弦 ( 和其它测角函数) ”中也 提 到三角形不是唯一 的再创造正弦的来源 ， 它们更应 该在 函 数的水平上被再创造因此，再创造中的 “

24、 有指导”不仅要 揭示知识的来源与现实生活的关系， 更要兼顾知识之间的联 系 与相互依存关系 再如 “ 算法化” ，他认为其重要性在于 “ 算法的掌握对 于个体 的进程 与人类在历史上 的进程是 同等重 要的 ” ， 其作 用在于 “ 算法是展示数学的窗 口，那就是展示现成的数 学 ” 为 纠正人们认为数 学 “ 就是一篮子 算法 ”的 印象 ，弗 赖登塔尔的措施就是再创造算法以及算法化“ 再创造算 法可能是一个乏味而又费时的活动，它的深奥策略有必要 让教师 、教科 书作者 、教 育开 发者和研 究人员相信 ，最 终 结果的价值与付出的劳动和花费的时间是相称的” 对于算 法学习，弗赖登塔尔认为

25、 “ 学习的一个极端是没有意识地 教的学习；另一个极端是直截了当地强加的学习” 对于新 的算法，大多数人失败的原因在于 “ 不能把新算法的发生 过程与通过精简和合理化已获得的尝试的发生过程等同起 来” ，而对于学生则是因为“ 过去有时他们被要求做的智力 上的跳跃，超越了他们智力的能力” 对此，弗赖登塔尔认 为虽然学生不能跟踪人类认识的发展，但对于 “ 规则的错 误应用与模式的错误转换，可能会提供一些迹象在普通 常识的任何发展阶段， 学习者对于发展过程的付出有多大， 也许 意义非常 重大 ”【 上述对 于再创造 算法及算 法化的 重要性，以及学习过程中容易出现问题的阐述，提醒教师 遵循历史发生原

26、理、尊重学生的认知发展过程设计算法教 学是极其重要 的 3 3 基于数学现实的再创造中的HP M思想 数学教学必须做到“ 源于现实、 寓于现实、 用于现实” 他 认为 “ 有指导的再创造 ”问题之一 “ 往哪里指导 ”的实质性 目标 “ 现实 ” ，也 即 “ 通过他 的指导展开在他面前的学生 自 己的现实 ” 进一步地 ，弗赖登塔尔认为 “ 数学化是将 现实 数学化而一旦数学化在教学上转变到再创造，有待数学化 的现 实 就成 为学 生 的现 实 ，成为 引导 学生 进入 其 中 的现 实同时，数学化也就成为学生自己的活动” 因此，所谓 “ 数学现 实”是指数学教师 的任务之一是去 了解学生的

27、数学 现实 ，并 由此出发组织数学教学 弗赖登塔尔认为数学化 应从 “ 原始 的现实开始 ” ，而非 接近数学 的现实 比如 ， 用相 同被加数 的加法再创造乘法 的 例子就是一个很好的说明l 5 】 为实现数 学化 ，数学现实 中的 范例作用不容忽视 尽管古 巴比伦的楔 形文字介绍怎样求解 一 次 、 二次方程或二元一次方程组的解法 ， 但是都是具体数 值的例子，用它们很难教会学生解方程的一般方法因此， 弗赖登塔尔认为教师应对这些材料进行再创造 再如“ 变量” ，“ 在数学的历史上很早就有了对变量的需 要 ( 对于不确定的和变化的对象) ，那里也需要给各个变量 取名称，巴比伦数学家用文字表示

28、变量，如 长度和 宽 度 希腊人用字母表示；但 是在字母表 中没有足够 的字母 来满 足潜在 的无限个变量名称的需要 借助 全部 正整数 的无 限性用 下标 区分变量是数学历史上一个比较晚 的创造 ， 而字 母作 为下标更是最近 的事 ，下标 的下标更是如此 ” ，对于借 助这种 思想设计变量表示 的教学 的 “ 再创造 ” ，他进一步地 指出：“ 我反复强调历史可能是一个很好的参谋，它告诫我 们人们习惯性的事情远非想象的那样简单 历史可能会告诫 我们 要防止让 学生在 目前现成的水平上进 行学 习 在 教学 中 也是如此， 使用字母来表示变量应适应某种需要， 研究人员 与教师应该创设 一个使

29、学生感到迫切需要用字母来表示变 量的情境，从而激发学生再创造的兴趣，他们应该把用字母 表示变量这种策略变 的越来越精炼 ”_ 5 】 事实证 明，教学 实 践中，具备这样一种 “ 再创造 ”思想的教师 ，其教学确 实取 得了极大的成功_ 1 o “ 】 教学中还有大量的内容可以基于学 生的数学现实用 “ 对历史进行再创造 ”的方法 进行 此外，弗赖登塔尔还提倡在 “ 应用 ” 中学 习数学 ， 他说 ： “ 历史意味着寻根，那么纯数学的历史是一颗被剥夺了其强 壮的根的树数学教学 也没什么两样 ” 所 谓数学化 的过程 ， 就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程要 实现数学化，“ 再创

30、造”教学还应注意 “ 留给学生去再创造 自然界或和社会中的一些问题情 境” ，此处的应用不是学完 数学后应用，而是指学习过程对数学现实的应用 3 4 “ 学习过程”的再创造中的HP M 思想 弗赖登塔尔将 “ 学习过程”作为一个教学原理，其中也 贯穿着弗赖登塔尔 “ 再创造 ”的思想之所 以将数学学习的 过程，当作一个教学原理，原因大致有二其一，弗赖登塔 尔认为，区别于将学习过程当作研究的工具与对象， 作为教 学原理的学习过程更值得研究；其次，他认为 “ 教学论本身 第 6期 蒲淑萍等：弗赖登塔尔的 HP M 思想及其教学启示 2 3 是与过程密切相关的”I 5 弗赖登塔尔本人对学习过程也是

31、非常重视的， 他经常提到： 应该认为， 与其说让学生学数学， 不如说让学生学习数学化； 与其说让学生学习公理系统，不 如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如 说让学生学习形式化 他认为数学化的过程可以分为 5个层 次： 直观阶段、 分析阶段、 抽象阶段、 演绎阶段、 严谨阶段 并 不要求每一个学生一次完成所有阶段， 而应该符合学生的年 龄特征 对于学习过程中的水平结构， 他提到他和范希尔夫妇的 合作以及他们对于学习水平的层次划分： 学习过程是由各种 水平来构造的较低水平的活动，也就是通过在这个水平上 可用的方法组织的活动，成为较高水平上分析的一个对象； 较低水平的可操作的内容成为

32、下一个水平的学科内容 学生 学习通过数学的方法来组织，学习把他 自发的活动数学化， 或使他更适合于通过这种方法来学习_ 5 对此他常举的一个例子是皮亚诺 ( P e a n o )自然数公理 中的数学归纳法 按照数学归纳法的历史发展过程，弗赖登 塔尔认为学习数学归纳法的正确途径是： 向学生提出一些必 须使用数学归纳法才能解决的问题，如证明 1 + 3 一 5 + + ( 2 ” 一 1 ) = ，再如弗赖登塔尔经常提的 “ 边与对角线数”等类 似问题 迫使他们直观地去使用这个方法 ( 如， 使用 “ 形数” 问题直观求解) ，从而发现这个方法在学生发现了和懂得 了这个方法以后 ，再去帮助他用抽

33、象的形式把它叙述 出 来 然后学生需要在对某些简单的内容进行过公理化的工作 后，才能实现从数学归纳法到皮亚诺公理系的更大飞跃 他反对那种将思维过程颠倒过来，把结果作为出发点， 推导出其它东西的 “ 教学法的颠倒”的做法他认为这种颠 倒掩盖了创造的思维过程， 若不进行再创造，学生：很难真正 理解，灵活应用则更是难以达到 对此，弗赖登塔尔说：“ 历史的路也是个人的路，都是 从直观 的、 无反思 的活动开始 的， 好像 从完全归纳法的偶然 实践到皮亚诺的自然数公理体系的系统阐述这里学习 水平 的各种水平鲜 明地显现 出来 ”_ 5 4 教学启示 弗赖登塔尔说“ 历史不是一项旧帽子” ， 作为教育任务

34、 的数学一书的译者给它的注解是 “ 作者意思是我们应当以 历史为鉴， 而不是将历史视作一项旧帽子， 一扔了之” J 回 到在文章开头提到的访谈中出现的问题， 能从弗赖登塔尔的 H P M 思想受到哪些启发、得到怎样的教益呢 ?首先把教师 对于数学史知识的认识不足或误区大致归结为几个层次： ( 1 )运用数学史浪费时间，影响升学率，不利于学生成 绩的提高的 “ 数学史无用论”的 “ 认识误区”层面； ( 2 )教师缺乏将 HP M 思想运用于课堂的数学史知识， 材料 “ 无米之炊”的层次； ( 3 ) 教师即使有数学史知识却没有正确利用数学史知识 的意识与行动，理念 “ 无米之炊”的层次； (

35、4 ) 能够将数学史料用于教学设计， 但运用水平停留在 “ 附加式”这种较低水平的使用层面，对于较高层次的、以 “ 再创造”思想为指导的将数学史料进行重构运用= F 教学的 做法，缺乏正确认识 对于以上认识不足甚或误区， 都能从弗赖登塔尔的H P M 思想中受到启发，找寻到解决问题与症结的方法与途径 4 1 数学史是调适教师数学观念与教学行为的重要基础 对于教师是否需要数学史知识的问题， 以及怎样在教学 中使用数学史知识，弗赖登塔尔在文章【 l 2 “ s h o u M口ma t h e m a t i c s t e a c h e r k n o w s o me t h i n g o

36、 f t h e h i s t o r y o fm a t h e m a t i c s ? ” 中给出了明确的答复与之相佐的，著名数学史家 M 克 赖因 ( Mo r r i s Kl i n e ，1 9 0 8 -1 9 9 2 )也指出 “ 历史顺序是教 学的指南” 1 3 1 匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚 ( G P o l y a ，1 8 8 7 1 9 8 5 )则指出：“ 只有理解人类如何获得 某些 事实或概念的知识， 我们才能对人类的孩子应该如何获得这 样的知识做出更好的判断 ”_ J J 教学实践中，可以看到，教 师所具有的数学观念在很大程度上决定了他以什么样

37、的方 式从事数学教学活动 而教师在课堂教学中起着重要的价值 引领作用 只有具备数学史知识的教师才能做到在数学的具 体源头和抽象形式之间架构起通往学生理解的桥梁， 而一个 缺乏数学史知识的教师看到的只是一堆形式的符号与逻辑 关系， 很难做到从概念的历史发生、发展的角度促成学生的 理解， 无法使学生透过数学史的独特视角把握思维历程因 此，数学史素养是每位数学教师必备的素养之一 4 2 教师培训是从知识到理念提升中小学教师对 HP M 认 识的大好契机 关于教师培训的目的与意义， 弗赖登塔尔有所涉及 9 1 要 利用数学史，积极开展 H P M视角的教学设计与实践，首先 要求教师 自身具备数学史知识

38、与进行 H P M 研究的意识 目 前我国正在实施从国家到地方开展中小学教师培训计划 这 一 计划正是对中小学教师、管理人员加强数学史知识学习， 培养、培训使用数学史知识进行教学的大好契机当然， 这 并非矫枉过正， 要求每一教学内容都要用数学史，生搬硬套 数学史弗赖登塔尔的HP M 思想恰好为如何利用数学史进 行再创造提供了借鉴 研究者提倡在不易使学生理解掌握的 知识处使用数学史使学生明白该知识的产生、发展过程，以 使他们获得理解的独特视角同时， 历史上数学家遭遇的困 难与挫折也可减少学生学习的焦虑， 甚至历史上数学家遭遇 的障碍与困惑， 亦可为教师设计教学提供更有参考价值的教 学资料与思路引

39、导 而如何运用数学史，弗赖登塔尔的建议 就是 “ 再创造” ，从学生的学习现实出发，对知识的历史发 生、发展重新设计，重塑知识形成的关键步骤，促进学生的 理解与掌握 4 3 再创造思想为提升数学史的使用层次提供理论支撑 弗赖登塔尔说：“ 通过个人的学习经验了解个人的学习 过程， 通过概括了解一般人的学习过程， 通过历史了解人类 的学 习过程 ” 5 1 弗赖 登塔尔指出，数学家呈现给学生 的数 学都是以结果作为出发点， 然后把其它东西推出来 这种“ 教 学法的颠倒” 掩盖了创造的思维过程，如果学习者不实行再 创造， 他对学习的内容就难以真正地理解，更谈不上灵活应 用 数学史知识为数学学习者提供

40、了厘清数学本质的厚实背 景，充分挖掘、利用数学史知识设计教学内容，定能为学生 的理解、应用提供更多的视角与思路中国老一辈数学家余 2 4 数学教育学报 第 2 0卷 介石在其著作 数之意义 1 5 】 中主张：“ 历史之于教学，不 仅在名师大家之遗言轶事， 足生后学高山仰止之思，收闻风 兴起之效，更可指示基本概念之有机发展情形 与夫心理及 逻辑程序 ，如何得 以融和调剂 ，不至相背反可相成诚 为 教师最宜留意体会之一事也 ”J o h n F a u v e l 总结了数学史的 各种用法如下【 1 6 J ：( 1 )介绍历史上数学家的故事；( 2 )运 用历史引入新概念；( 3 ) 促使学生

41、理解，为他们所学概念提 供解答的历史问题；( 4 ) 讲授数学史课：( 5 ) 利用历史上的 数学教材设计课堂练习和作业；( 6 )举办历史主题的展览； ( 7 )运用历史上的典型例子来说明方法和技术；( 8 ) 探索过 去的错误、另类观点以帮助今天的学习者理解并解决困难； ( 9 )借鉴历史设计一个话题的教学方法；( 1 0 )基于历史信 息进行课程 的整体设计 目前中小学运用数学史主要停留在两个层面： 附加式与 融入式而前者在使用数学史的课堂中占了多数附加式主 要有介绍数学家轶事、简单介绍知识产生的阅读材料等形 式，这种形式运用数学史是最为初级的层面，数学史进入课 堂的最佳方式应是运用数学

42、史对教学内容的重构， 即融入式 的运用层面， 在某种程度上这与弗赖登塔尔所提倡的 “ 再创 造”的思想是一致的 然而由附加式到融入式需要教师在掌 握尽其可能多的数学史材料的基础上，进行艰辛的 “ 再创 造” 弗赖登塔尔推崇的苏格拉底方法亦是实施再创造的多 种方法之一 参 考 文 献 n 1 Ame r o m B A v a n Re i n v e n t i o n o f E a r l y Al g e b r a - d e v e l o p me n t a l Re s e a r c h o n t h e T r an s i t i o n f r o m Ar i t

43、h me t i c t o Al g e b r a f D1 Un i v e r s i t y o f Ut r e c h t ， 2 0 0 2 2 P a r k e r K Hu ma n i s i n g Ma t h e ma t i c s ： Do S t u d e n t s B e n e fi t f r o m T e a c h i n g T h a t I n c l u d e s t h e H i s t o r y o f Ma t h e ma t i c s ? D Un i v e r s i t y o f S o u t h a mp

44、 t o n ， 2 0 0 2 3 】 F a u v e l J ， Ma ane n J V H i s t o ry i n Ma t h e m a t i c s E d u c a t i o n ： t h e I C MI S t u d y M D o r d r e c h t ： K ! u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s ， 2 0 0 0 【 4 张奠宙，曾慕莲，戴再平近代数学教育史话 M 北京：人民教育出版社，1 9 9 0 5 】 弗赖登塔尔数学教育再探一一在中国的讲学 M 刘意竹，杨刚译上海：上海教育出版社，

45、1 9 9 9 6 】 H F r e u d e n t h a 1 Di d a c t i c a l P h e n o me n o l o g y o f Ma t h e ma t i c a l S t r u c t u r e s M】 D o r d r e c h t ： R e i d e l P u b l i s h i n g C o mp a n y , 1 9 8 3 7 汪晓勤，欧阳跃HP M 的历史渊源 J 数学教育学报，2 0 0 3 ，1 2( 8 ) ：2 4 8 】 H F r e u d e n t h a 1 Ma j o r P r o b

46、 l e ms o f Ma t h e ma t i c s E d u c a t i o n E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n Ma t h e ma t i c ， 1 9 8 1 ，( 5 ) ： 1 3 3 一 l 5 0 f 9 】 弗赖登塔尔作为教育任务的数学 M】 陈昌平，唐瑞芬译上海：上海教育出版社，1 9 9 5 1 0 】张红，张良朋给学生一双明亮的眼睛一 “ 用字母表示数”教学实录及解读 J 小学数学教师，2 0 0 5 ，( 1 2 ) ： 1 9 1 1 】蔡宏圣捕捉数学史中的教育基因一一以 “ 字母表示数”的教学为例

47、 J 人民教育，2 0 0 8 ，( 6 ) ：3 8 - 4 0 1 2 】 H F r e u d e n t h a 1 S h o u l d a Ma t h e ma t i c s T e a c h e r K n o w S o me t h i n g o f t h e H i s t o w o f Ma t h e ma t i c s ? J F o r t h e L e a r n i n g o f Ma t h e ma t i c s ， 1 9 8 1 ， 2 ( 1 ) ： 3 0 3 3 1 3 M K l i n e T h e An c i e n t s V e r s u s t h e Mo d e ms ： a Ne wB a t t l e o f t h e B o o k s Ma t h e ma t i c s T e a c h e r , 1 9 5 8 ， 5 1 ( 6 ) ： 4 1 8 - 4 2 7 1 4 】 P 6 1 y a G Ma t h e ma t i c a l Di s c o v e r y ： o n U n d e r s t a n d i n g ， L e a r n i n g ， a n d T e a c h i n g P r o b