高一数学随机事件的概率苏教版 知识精讲（通用）

1、高一数学随机事件的概率高一数学随机事件的概率苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 随机事件的概率 二. 教学目标： 1. 体会确定性现象与随机现象的含义；了解必然事件、不可能事件及随机事件的意义。 2. 了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频 率的区别。 3. 理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率的计算方法。 4. 了解几何概型的基本特点，会进行简单的几何概型的计算。 三. 知识要点： （一）随机现象及随机事件的概率 1. 事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不

2、可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 说明：三种事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的性质也可以发生 变化。 2. 随机事件的概率： （1）实验:随机事件在一次试验中是否发生是不确定，但在大量重复的试验情况下，它的 发生呈现出一定的规律性 。 实验一：抛掷硬币试验结果表： 抛掷次数（）n正面朝上次数（）m频率（）/m n 204810610.5181 404020480.5069 1200060190.5016 24000120200.5005 30000149840.4996 72088361240.5011 当抛掷次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数，并在它附

3、近摆动。0.5 实验二：某批乒乓球产品质量检查结果表： 抽取球数n5010020050010002000 优等品数m45921944709541902 频率/m n0.90.920.970.940.9540.951 当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数，并在它附近摆动。0.95 （2）定义：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某A m n 个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作。A( )P A 理解：需要区分“频率”和“概率”这两个概念: （1）频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事 件出现的可能性。 （2）概率

4、是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。 大量重复试验时，任意结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一A 个常数附近，试验的次数越多，频率与这一常数偏差大的可能性越小。这一常数就成为该 事件的概率。 3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的 概率。 4. 概率的性质：必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为，随机事件的概率为10 ，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。0( )1P A 5. 随机现象的两个特征 （1）结果的随机性：即在相同的条件下做重复的试验时，如果试验的结果不止一个， 则在试验前无法预料哪一种结果将发生。 （2）频

5、率的稳定性：即大量重复试验时，任意结果（事件） 出现的频率尽管是随A 机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这一常数偏差大的可能性 越小。这一常数就成为该事件的概率。 二、古典概型 1. 基本事件。 一次试验中可能出现的每一个基本结果称为一个基本事件。 例如：投掷硬币出现 2 种结果叫 2 个基本事件，通常试验中的某一事件由几个基本A 事件组成（例如：投掷一枚骰子出现正面是 3 的倍数这一事件由“正面是 3” 、 “正面是 6” 这两个基本事件组成） 。 2. 等可能性事件。 如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每n 个基本事件的概率都是，这

6、些事件叫等可能性事件。 1 n 3. 古典概型。 （1）所有的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的。 我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型。 4. 古典概型的概率。 如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包nA 含个结果，那么事件的概率。mA( ) m P A n 一个基本事件是一次试验的结果，且每个基本事件的概率都是，即是等可能的； 1 n 公式是求解公式，也是等可能性事件的概率的定义，它与随机事件的频( ) m P A n 率有本质区别。 三、几何概型 古典概型要求样本点总数为有限。若是有无限个样本点，特别是连续无限的情况，

7、虽 是等可能的，也不能利用古典概型。 一般地，在几何区域 D 中随机抽取一点，记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A，则事件 A 发生的概率 P（A）= 这样定义的概型称为几何概型。 d的测度 D 的测度 其中“测度”可以分别是长度、面积和体积。 【典型例题典型例题】 例 1. 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件。 （1）某地 1 月 1 日刮西北风； （2）当 x 是实数时，x20； （3）手电筒的电池没电，灯泡发亮； （4）一个电影院某天的上座率超过 50%。 解：解：由题意可知， （2）是必然要发生的，即为必然事件； （3）是不可能发生的，即为不可能事件； （1

8、） 、 （4）有可能发生也有可能不发生，即为随机事件。 例 2. （1）某厂一批产品的次品率为，问任意抽取其中 10 件产品是否一定会发现一 1 10 件次品？为什么？ （2）10 件产品中次品率为，问这 10 件产品中必有一件次品的说法是否正确？为 1 10 什么？ 解：解：（1）错误；（2）正确。 例 3. 将骰子先后抛掷 2 次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的数之和是 5 的结果有多少种？ 解：解：（1）将骰子抛掷 1 次，它落地时向上的数有 1，2，3，4，5，6 这 6 种结果， 根据分步计数原理，一共有种结果。6 636 （2）在上面的所有结果中，向上的数

9、之和为 5 的结果有，(1,4),(2,3) 4 种，其中括号内的前、后 2 个数分别为第 1、2 次抛掷向上的数，上面的结果(3,2),(4,1) 可用下图表示，其中不在线段上的各数为相应的 2 次抛掷后向上的数之和。由于骰子是均 匀的，将它抛掷 2 次的所有 36 种结果是等可能出现的，其中向上的数之和是 5 的结果（记 为事件）有 4 种，因此，所求概率A 41 ( ) 369 P A 例 4. 一个口袋内有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球，从中摸出 2 个球， （1）共有多少种不同的结果？ （2）摸出 2 个黑球共有多少种不同的结果？ （3）摸出 2 个黑球的概率是

10、多少？ 解：解：（1）从袋中摸出 2 个球，共有 6 种不同结果； （2）从 3 个黑球中摸出 2 个球，共有 3 种不同结果； （3）由于口袋内 4 个球的大小相等，从中摸出 2 个球的 6 种结果是等可能的，又因为 在这 6 种结果中，摸出 2 个黑球的结果有 3 种，所以，从中摸出 2 个黑球的概率 31 ( ) 62 P A 例 5. 用三种不同的颜色给图中的 3 个矩形涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： （1）3 个矩形颜色都相同的概率； （2）3 个矩形颜色都不相同的概率。 解：解：本题基本事件共有 27 种 （1）记“3 个矩形颜色都相同的概率”为事件 A，事件 A 的基本事件有=

11、3 个，1 3 故 P（A）= 3 27 1 9 （2）记“3 个矩形颜色都不相同”为事件 B，事件 B 的基本事件有 6 个，故 P（B）= = 6 27 2 9 例 6. 取一个长为 2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子， （1）求豆子落入圆内的概率； （2）根据上面的问题，设计一个求估计圆周率的试验。 解：解：（1）P（A）= 圆面积 正方形面积 2 2 4 a a （2）略 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：40 分钟） 1. 不做大量重复的试验，就下列事件直接分析它的概率： 掷一枚均匀硬币，出现“正面朝上”的概率是_。 掷一枚骰子，出现“正面是 3”的概率是_，出现“正

12、面是 3 的倍数”的概率 是_，出现“正面是奇数”的概率是_ 。 本班 52 名学生，其中女生 24 人，现任选一人，则被选中的是男生的概率是 _，被选中的是女生的概率是_。 2. 将骰子先后抛掷 2 次，计算：出现“向上的数之和为 5 的倍数”其概率是多少？ 3. 某种新药在使用的患者中进行调查的结果如下表： 调查患者人数n10020050010002000 用药有效人数m851804358841761 有效频率/m n 请填写表中有效频率一栏，并指出该药的有效概率是多少？ 4. 个同学随机地坐成一排，其中甲、乙坐在一起的概率为（）n ( )A 1 n ( )B 2 n ( )C 1 1n

13、()D 2 1n 5. 将一枚硬币连掷 3 次，出现“2 个正面、1 个反面”和“1 个正面、2 个反面”的概率 各是多少？ 6. 储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可以在 0 至 9 这 10 个数字中选 出， （1）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的 概率是多少？ （2）某人未记住储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时，如果前三位 号码仍按本卡密码，而随意按下最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？ 7. 假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？ 8. 在等腰直角三角形 ABC 中，在斜边

14、AB 上任取一点 M，求 AM 小于 AC 的概率。 【试题答案试题答案】 1. 1 2 1 1 3 , 6 3 6 76 , 13 13 2. 解：由于骰子是均匀的，将它抛掷 2 次的所有 36 种结果是等可能出现的，其中向上 的数之和是 5 的倍数结果（记为事件）有 4+37 种，因此，所求概率A 7 ( ) 36 P A 3. 调查患者人数n10020050010002000 用药有效人数m851804358841761 有效频率/m n0.8500.9000.8700.8840.8805 该药的有效概率是。88% 4. B5. 3 8 6. 解：（1）这种四位数字号码共个，又由于随意按下一个四位数字号码，按下其中 4 10 哪一个号码的可能性都相等， 正好按对密码的概率是； 4 1 10 （2）按最后一位数字，有 10 种按法，且按下每个数字的可能性相等， 正好按对密码的概