高中数学 第4章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

1、4.3.1空间直角坐标系水疱丁巧解牛知识渊博。一、空间直角坐标系1 .定义：在单位立方体oabc-oabc中，据说以o为原点，分别以放射线oa、OC、oo的长度为单位，确立了x轴、y轴、z轴这3根坐标轴。 据说此时确立了空间直角坐标系Oxyz。 其中的点o称为坐标原点，x轴，y轴，z轴称为坐标轴。 各坐标轴的平面称为坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。2 .右手正交坐标系：在空间正交坐标系中，设右手拇指为x轴的正方向，食指为y轴的正方向，中指为z轴的正方向，则将该坐标系称为右手正交坐标系.3 .空间正交坐标系中的坐标：将点m设为空间的一个定点，将通过点m分别设为与x轴、y轴、

2、z轴垂直的平面，将x轴、y轴、z轴依次相交于点p、q、r 规则实际阵列(x，y )可以这样用规则实际阵列(x，y，z )表示空间上的一点m的坐标，规则实际阵列(x，y，z )称为该空间正交坐标系中的点m的坐标，表示M(x，y，z )，x为m的横轴，y为m4 .坐标轴和坐标平面点的坐标特征：空间中的点与三个实数秩序排列之间建立了一对一的对应关系xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是由坐标形状为(x，y，0 )的点构成的点集，x、y是任意的实数.xOz平面(通过x轴和z轴平面)是由坐标形为(x，0，z )的点构成的点集，在此，x、z是任意的实数.yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是由坐标形为(0，y

3、，z )的点构成的点集，y，z是任意的实数.x轴是由坐标形(x，0，0 )的点构成的点集，x是任意的实数y轴是由坐标形(0，y，0 )的点构成的点集，y是任意的实数z轴是如(0，0，z )那样坐标形状的点集，z是任意的实数.要点学习这个知识要点需要注意虽然非右手空间的直角坐标系也能应对空间中的点、线、面的问题，但是因为习惯右手空间的直角坐标系，所以一般来说确立右手空间的直角坐标系.点的位置必须在一个基础平面(例如xOy平面)的前提下决定应熟练掌握各坐标平面内各坐标轴上点的坐标特征，为正确书写空间中任意点的坐标奠定基础二、空间中的对称问题(1)在空间正交坐标系中，若知道点P(x，y，z )，则关

4、于点p和x轴的对称点为(x，-y，-z )，关于y轴的对称点为(-x，y，-z )，关于z轴的对称点为(-x，-y，z )，关于原点的对称点为(-x，-z ) 关于xOy平面的对称点是(x，y，-z )，关于yOz平面的对称点是(-x，y，z )，关于xOz平面的对称点是(x，-y，z )(2)中点式：已知点P(x1，y1，z1 )、点Q(x2，y2，z2 )、线段PQ的中点m的坐标为()，即点p和点q关于点m对称.记忆关键求对称点的问题可以通过“谁是对称的，谁是不变的，其馀坐标逆”的口诀记忆。 关于x轴对称点的坐标是横轴不变的，对于其馀两个是倒数的xOy坐标平面的对称点，横纵轴不变，纵坐标是

5、原来的倒数问题的探索问题1在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y )关于y轴对称是什么？ 在空间笛卡尔坐标系Oxyz中，点P(x，y，z )关于y轴对称的点是什么？ 平面直角坐标系xOy中两点a、b的中点式在空间直角坐标系Oxyz中是否仍成立？调查：平面正交坐标系和空间正交坐标系的对称问题，可以模拟地存储，但在平面正交坐标系xOy中，点P(x，y )相对于y轴的对称点是(-x，y )，空间正交坐标系的点P(x，y，z )相对于y轴的对称点是(-x，y，-z )，点p (系数xOy中两点a、b的中点式在系数Oxyz中也成立，模拟为：若A(x1、y1、z1 )、B(x2、y2、z2 )，其中点p的

6、坐标为().问题2在平面笛卡尔坐标系xOy中，x=-3表示的轨迹是什么？在空间笛卡尔坐标系Oxyz中，x=-3表示的轨迹是什么？在：平面正交坐标系xOy中，用x=-3表示的轨迹是过点(-3，0 )，在作为垂直于x轴的直线的空间正交坐标系Oxyz中，用x=-3表示的轨迹是过点(-3，0，0 )，是垂直于x轴的平面.典型的话题例1已知点a (-3，1，-4)分别写关于点a的原点、x轴、y轴、z轴和点m (1，2，3 )的对称点的坐标.构思分析：利用空间直角坐标系中的对称知识求解。 其中前四个是特殊的对称，一个点关于另一个点的对称点问题可以比作平面几何的中点坐标式，应该把二维问题推广到三维解决。解：

7、关于点a (-3，1，-4)原点的对称点是(3，-1，4 )，关于x轴的对称点是(-3，- 1，4 )，关于y轴的对称点是(3，1，4 )，关于z轴的对称点是(3，- 1，-4)，点m (1，2 )加深升华注意理解记忆，运用对称的相关式，阐明“谁是对称的，谁是不变的，其馀坐标相反”的口诀已知例2长方体的太阳长度分别为3、4、5，将长方体ABCDA1B1C1D1相邻的三条棱AB、AD、AA1所在的直线作为坐标轴，建立了空间直角坐标系(1)求出该长方体的各顶点的坐标(2)求棱DD1的中点坐标(3)求出面CDD1C1对角线交点的坐标.构思分析：利用图形和相关数据，结合空间点的坐标来写。 对于长方体和

8、立方体，一般将邻接的3个共同点的棱线所在的直线分别设为x轴、y轴、z轴，确立空间正交坐标系来求出某点的坐标，最常用的方法是求出某线段的长度，这也是求出空间坐标的钥匙解： (1) a (0，0，0 )，b (3，0，0 )，c (3，4，0 )，d (0，4，0 )，a1 (0，0，5 )，B1 (3，0，5 )，C1 (3，4，5 )，D1 (0，4，5 )。(2)d (0，4，0 )，D1 (0，4，5 )，MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM(3)面CDD1C1的对角线交点的坐标是CD1的中点n，c (3，4，0 )，D1 (0，4，5 )从中点式开始，n (，2222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653深化升华空间中点坐标的求方法。 即，为了确定空间的中点的坐标，首先找到平面xOy内的射影点，获得横纵轴，看到纵坐标即可写出例3点P(6，-2，-7)向xOy平面、yOz平面、xOz平面的投影的坐标及关于各坐标平面对称的点的坐标.构思分析：从各坐标平面的点特征和点关于坐标平面对称的点特征来解决问题解：设点P(6，-2，-7)向xOy平面、yOz平面、xOz平面的投影点分别为a、b、c，设点p相对于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为a、b、c，PA平面xOy、PB平面yOz、PC平