高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

1、3.2.2函数模型的应用示例水疱丁巧解牛知识巧妙地升华1 .在研究一些实际问题时，需要实施以下一系列过程(1)建立实际问题中变量间的函数关系，将实际问题转换为函数问题(2)运用所学知识研究函数问题，得到函数问题的解(3)将函数问题的解翻译或解释为实际问题的解，解决实际问题2 .数学模型的方法通过构建实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称为建模数据分析：数学模型的三个步骤：(1)将实际问题模型化.抽象化的数学模型(2)对推论、运算、数学模型进行逻辑推论或数学运算，得到问题在数学意义上的解(3)深入研究、评价、解释.求出的数学结果，评价、解释，回到原来的实际问题，得到实际问题的解

2、。建模的三个步骤的图示如下为了加深升华，图表的第一步：这个步骤被称为数学化，这是从审查问题、通过分析和抽象化来找到问题设定和结论的数学关系，再转化为函数问题来解决，即构建合理的数学模型开始的。 为了解决函数模型表现的数学问题，该步骤是被称为数学解决的第三步骤：数学模型的解实际问题的解，此步骤将数学的结论变成实际问题的结论，因此将该步骤称为实际的最后一步骤是回答实际问题的结论探索问题的想法问题1建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学模型一般分为知识模型、分析模型、模型、模型、验证模型五个步骤。 我们应该如何实行这五个步骤？探索：的知识模型，是比较应用问题的外部信息和自己现有的内部经验，初步判

3、断问题解决的方向。分析模型是精读问题，实现“咬字”，抓住关键单词，简化转换问题，注意已知的量，发现未知的量， 挖掘隐藏量的建模是通过数学符号化把问题转换成数学模型的过程，在解开模型时，我们可以解开使用计算机等数学工具构筑的模型，因为应用问题本身的复杂性、开放性，通过自己的理解制作的模型也有限度，最后是模型。 一些问题需要我们利用信息技术来收集数据、图纸、计算和拟合函数。问题2如何理解数学家华罗庚曾经说过的话？ “宇宙的大小，粒子的微小，火箭的速度，化学工业的巧妙，地球的变化，日常的繁忙，没有不使用数学的地方。”探索：是因为指数函数、对数函数和函数是描述客观变化规律的重要数学模型，例如价格和利益

4、、成本和收入、纳税、交通安全、人口等问题可以通过函数模型来解决。典型的话题是新的话题例1某厂拟销售某产品，固定成本200万元，每台产品的可变成本3万元，每台产品的售价5万元，求总产量x与总成本q、单位成本p、销售收入r及利润l的函数关系，并作了简单的分析。想法的解析： (1)为了从利润关系中获得大的利润，应该增加产量(不考虑销售的情况)，如果x1 000，则可以获得利益.这从图像中也可以看出(2)由于单位成本与总产量成反比的关系，要降低成本，就要增加产量，降低成本，有利于规模。解：总成本与总产量的关系q=2万3千x单位成本与总产量的关系P=3 000销售额收益与总产量的关系R=5 000x利润

5、和总产量的关系l=r-q=2000x-2000加深升华的注意这里的空间半格在构建函数模型的过程中，相关的变量多，如果模型复杂，可以通过分层分解的方法找到变量间比较简单的对应关系，解决复杂的函数模型间的关系。 同时，注意利用模式的直觉性寻找问题的答案。例2“依法纳税是每个公民的义务”国家分阶段计算征收个人工资、工资所得税：总收入在1万元以下的，免除个人工资、工资所得税超过1万元的部分必须征税。 设每月纳税所得额(所得额是指工资、工资中应征税的部分)为x，x=每月总收入-1万元，税率如下表所示阶级数每月纳税所得x税率1五百元以下的部分5%2五百元至超过两千元的部分10%3两万元至五万元以上的部分1

6、5%9一百万元以上的部分45%(1)税额为f(x )时，试用阶段函数表示1-3级税额f(x )的计算式(2)有人在2000年10月工资总收入为4百元，这个人试着计算一下10月应该支付个人所得税的金额吗？构想分析：因为不同的收入段有不同的税率，这也是段函数问题，在解决问题时必须建立与各段自变量相对应的函数公式解： (1)根据税表，有。第一段： x5%；第二段： (x-500)10% 5005%；第三段： (x-2 000)15% 1 50010% 5005%即f(x)=(2)此人是10月纳税的所得x=4 200-1 000=3 200f (3200 )=0.15 x (3200-2000 ) 1

7、75=355a :这个人10月应该交个人所得税355元为了加深升华，这里空白的一半要求某人的收入纳税时，要求1万元以上的部分，即函数自变量x的值，将其与段函数进行对照，决定它属于哪个段就可以计算纳税值。例3在一个蔬菜基地栽培西红柿，从往年的市场行情来看，从二月一日起三十日内，用图的折线表示了西红柿的市场销售价格与发货时间的关系，用图的抛物线段表示了西红杓的栽培成本与发货时间的关系(1)写图所示的市场销售价格和时间的函数关系式P=f(t )写图所示的栽培成本和时间的函数关系式Q=g(t )。(2)把市场销售价格减去栽培成本的收益认定为净利润，询问什么时候发货的收益最大(注：市场销售价格和栽培成本单位：元/102 kg公斤，时间单位：日)构想分析：要解决这个问题，必须先从函数图像中建立函数关系式f(t )，g(t )，然后求函数的最大值，将令人满意的现实问题转化为一个数学问题解： (1)从图可以看出，市场销售价格和时间的函数关系是f(t)=从图中得到的栽培成本和时间的函数关系是g (t )=(t-1