元素法定积分在几何学上的应用

1、第一讲 元素法 定积分在几何学上的应用,定积分,几何应用,物理应用,元素法,面积、体积、弧长,功、水压力、引力,元素法 定积分在几何学上的应用,一、元素法 二、定积分在几何学上的应用,元素法 定积分在几何学上的应用,一、元素法 二、定积分在几何学上的应用,元素法,应用定积分解决实际问题的常用方法,用定积分解决的问题的特点:,所求量联系着一个基本区间,所求量对区间具有可加性,元素法的主要步骤:,选取积分变量,确定积分区间;,求出所求量对应于一个小区间的元素;,写出所求量积分表达式,元素的求法:,在微小的局部,以直代曲,以不变代变,元素法 定积分在几何学上的应用,一、元素法 二、定积分在几何学上的

2、应用,元素法 定积分在几何学上的应用,一、元素法 二、定积分在几何学上的应用,二、定积分在几何学上的应用,（一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长,二、定积分在几何学上的应用,（一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长,（一）平面图形的面积,1直角坐标情形 2极坐标情形,（一）平面图形的面积,1直角坐标情形 2极坐标情形,定积分几何意义,元素法:,积分变量: x,积分区间: a，b,面积元素:,所求面积:,微小的局部 “以直代曲”,例1,x,x+dx,积分变量: x,分析:,积分区间: 0，1,面积元素:,所求面积:,例2,y,y+dy,积分变量: y,分析:,积分区

3、间: -2，4,面积元素:,所求面积:,法一,例2,计算由抛物线y2=2x与直线y=x-4,所围成的图形的面积.,x,o,y,积分变量: y,分析:,积分区间: -2，4,面积元素:,所求面积:,法一,积分变量: x,积分区间: 0，8,面积元素:,所求面积:,法二,较繁！,例3,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,分析,（一）平面图形的面积,1直角坐标情形 2极坐标情形,（一）平面图形的面积,1直角坐标情形 2极坐标情形,元素法:,积分变量: ,积分区间: ,面积元素:,所求面积:,微小的局部 “以不变代变”,例4,例5,心形线是外摆线的一种,注,即,方程:,参数的几何意义,例6,例7,

4、思考,二、定积分在几何学上的应用,（一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长,二、定积分在几何学上的应用,（一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长,(二) 体积,1旋转体的体积 2平行截面面积已知的立体体积,(二) 体积,1旋转体的体积 2平行截面面积已知的立体体积,元素法:,积分变量: x,积分区间: a，b,体积元素:,所求体积:,微小的局部 “以不变代变”,类似地:,利用直角坐标方程,法一,(利用对称性),例8,分析,利用参数方程,法二,绕 x 轴旋转而成的体积为,例9,分析,绕 y 轴旋转而成的体积为,注,柱面面积,柱壳体积,(二) 体积,1旋转体的体积 2平

5、行截面面积已知的立体体积,(二) 体积,1旋转体的体积 2平行截面面积已知的立体体积,元素法:,积分变量: x,积分区间: a，b,体积元素:,所求体积:,微小的局部 “以不变代变”,例10,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,分析,二、定积分在几何学上的应用,（一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长,二、定积分在几何学上的应用,（一）平面图形的面积 （二）体积 （三）平面曲线的弧长,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理,定义,任意光滑曲线弧都是可求长的.,计算,(1) 参数方程情形,曲线弧:,积分变量: t,积分区间: ,弧长元素:,所求弧长:,例11,(2) 直角坐标方程情形,曲线弧:,弧长元素:,所求弧长:,例12,例13,(3) 极坐标方程情形,曲线弧:,参数方程:,弧长元素:,所求弧长:,例14,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,