线性代数实践8章.ppt

1、第8章 用向量空间解方程组,8.1 向量和向量空间 1二维空间R2中的向量用两个沿列向的元素表示 u=2;4; v=3;-1; plot(2,3,4,1,x);hold on % 若用中的子程序drawvec， drawvec(u);hold on drawvec(v,g);hold off,二维向量张成的空间,平面上的任何一点w1;w2是不是一定能用u和v的线性组合来实现？即是不是一定能找到一组常数c1,c2，使得 c1,c2取所有可能的值，得到的w的集合就是u和v张成的子空间，在所给的u和v下，它是一个平面。 若u和v两个向量的各元素成比例关系，如 合成的向量只能在一根直线上，不可能张成整

2、个二维平面。这种情况下，称这两个向量u和v是线性相关的。,2三维空间中的向量,若v1,v2和v3都是三维空间的列向量。可以用空间坐标中的三个点，或从坐标原点引向这三点的箭头来表示。用矩阵代数表示如下 如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判断三个向量的线性相关性，可用行列式。,三维空间向量的相关性,即看三向量并列所得矩阵的行列式 det(A)=0 相关 det(A)0 不相关 行列式的几何意义:在二维是两个向量组成的平行四边形面积，在三维是三个向量组成的平行六面体的体积。,行列式的几何意义,二维 三维 det

3、(A)=右图平行六面体的体积,二维向量行列式等于面积,任意二维向量的行列式等于两向量所张平行四边形的面积，可证明如下：,n维向量的相关性,在进入三维以上的空间时，已经没有可与面积、体积直接相当的概念可用了，所以采用了秩的概念。如果A的行列式为零，也就是它的秩r小于n时，说明这n个向量是线性相关的。 秩的概念也概括了面积存在（r2）和体积存在（r3）的意义，因此，它是更高度的抽象。,8.2 向量空间和基向量,若r个向量是线性无关的，则它们的线性组合的全体V就构成了r维空间Rr 。如果它不是空集，则V称为向量空间。生成V的r个线性无关的向量v称为基向量或基（Basis）。 当rn时，给定的n个向量

4、就是一组基。如果rn，那就要在n个向量中选出r个线性无关的向量。用秩的概念还无法判定哪些向量是线性无关的，这时又要藉助于把矩阵简化为阶梯形式的方法。,例8.2 求四个五维向量的子空间,这四个向量组成的矩 阵如右，对它进行行 阶梯简化。程序为： A4,5,4,1;0,3,0,1;2,1,2,0;5,4,5,3;1,4,1,1 U0,iprref(A) 得到 ip=1,2,4 其三个枢轴列对应的就是 三个线性无关的列向量。,三个向量的空间位置演示程序,三维空间中，为了观察三个向量的空间关系，ATLAST手册还提供了一个演示程序viewsubspaces(u,v,w)，它用蓝色直线显示向量u，同时用

5、红色显示v和w所组张成的平行四边形平面，画在同一张立体图上。例如： u=-1;1;8;v=5;-4;7;w=-3;1;-5; viewsubspaces(u,v,w),grid on 三个向量的起点都是xyz0的原点。要看清其几何意义，还是需要一定的空间想象力。,三个向量的空间关系,例8.3 w是否在v1,v2,v3的空间内,设 若w与v线性相关，其组合矩阵v,w的秩应该与v的秩相同，反之，其秩应该加1。由此列出程序ag803： v1=7;-4;-2;9; v2=-4;5;-1;-7; % 输入参数 v3=9;4;4;-7; w1=-9;7;1;-4; w2=10;-2;8;-2; v=v1,

6、v2,v3; % 将三个基向量组成矩阵 dr1=rank(v,w1)-rank(v) % w1秩的增量 dr2=rank(v,w2)-rank(v) % w2引起秩的增量 运行结果为dr1=1, dr2=0。说明w1不是v1,v2,v3的线性组合，而w2是，w2将位于v1,v2,v3所张成的R3子空间内。,8.3 向量的内积和正交性,在三维空间中，x和y两个向量的内积定义为x,yx1y1x2y2x3y3。m维情况可以写成 这是一个标量。向量x与自己求内积： 得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向量的长度（或模、或范数norm）。,内积的几何意义,在平面情况，两向量的内积除以它们的长度是它们

7、夹角的余弦，可以利用下图证明。 根据余弦定律， 最后得到 此结果可推广到高维空间，只是被抽象化了：,例8.4 基向量长度规一化和夹角,例8.4 求例8.3中的单位基向量v01,v02,v03，并分别求它们之间的夹角。 解：解题的程序为ag804： v10=v1/norm(v1), v20=v2/norm(v2), v30=v3/norm(v1), theta12=acos(v1*v2)/(norm(v1)*norm(v2) theta13=acos(v1*v3)/(norm(v1)*norm(v3) theta23=acos(v3*v2)/(norm(v3)*norm(v2) ),正交基向量的

8、生成,两向量x，y正交的条件是它们的内积为零。 给出向量求正交基常用施密特算法，ATLAST手册中给出了相应的程序gschmidt。调用时键入Q,R=gschmidt(v)，Q就是单位正交基向量e。 MATLAB中不用施密特算法，而用更好的算法编成了正交分解子程序qr.m，它将v分解为Q和R两个矩阵的乘积。调用方法为： Q,Rqr(v) Q就是mm单位正交矩阵。,基向量正交化的schmidt公式,得到qi(i1,2,k)后，再把它们除以norm(qi)，就可归一化为单位向量ek。,基向量正交化的schmidt子程序,function Q,R=gschmidt(V) m,n=size(V); R

9、=zeros(n); R(1,1)=norm(V(:,1); Q(:,1)=V(:,1)/R(1,1); for k=2:n R(1:k1,k)=Q(:,1:k1)*V(:,k); Q(:,k)=V(:,k)Q(:,1:k1)*R(1:k1,k); R(k,k)=norm(Q(:,k); Q(:,k)=Q(:,k)/R(k,k); end,求单位正交基向量的例,例8.5 对于例8.4的数据，求其规范化正交基向量e1,e2,en。 解：程序为 V7,4,9;4,5,4;2,1,4;9,7,7 Q,Rqr(v) % 或 Q,Rgschmidt(v) eQ(:,1:3) 得到：,8.4 齐次方程Ax

10、=0的解空间,设有m个方程和n个变量，A的秩是r，则经过行简化后得到的行阶梯矩阵U的有r个枢轴元素，非枢轴元素有nr个。因此该方程的全解将等于Axb的一个特解加上其齐次方程Ax0的通解。本节将从向量空间的视点来讨论它的解，因为通解是nr阶的无穷的集合，所以要研究解所张成的向量空间。 Ax0意味着这些解x的集合经过矩阵A变换后都映射到像空间的零点，所以英文把此解所张成的空间称为Null Space，直译为零空间。我国的通用译名为解空间或基础解系，我们觉得用齐次解空间较为准确。,齐次方程Ax=0解空间的例,例8.6 试求下列系数矩阵的齐次解空间： 解：输入A，并求出它的简化行阶梯形式，键入u0,i

11、prref(A)，得到 ip1,3,齐次解空间的例（续）,其通解可以看成三个向量的线性组合 这个式子就表示了一个三维的向量空间，在这个空间中所有的向量都能使Ax0。所以它被称为齐次解空间或零空间。,求齐次解空间的子程序,这样齐次解空间的m is系数矩阵N可以用下面的程序来自动完成： functin N=nulspace(A) m,n=size(A); U0,ip=rref(A) is=1:n; is(ip)=; N(ip,:)=-U0(1:rank(A),is); N(is,:)=eye(n-rank(A) MATLAB中的子程序为N=null(A).,计算例题8.7,系数矩阵A如右， 求Ax

12、0的通解。 解：程序ag807 先输入A，再键入 vnulbasis(A) %或 v=null(A,r) r表示用有理分式的 基向量 得到都是三个分量并列， v=v1,v2,v3,8.5 超定方程的最小二乘解,设A为mn矩阵，若m是独立方程个数，而mn。这时方程组是超定的，即不可能找到一个x，满足Axb0。 如果不寻求理想的数学解，而是从工程意义上找到尽量接近理想的解，那就应该引入误差向量e。即各个方程误差的平方和。 令 eAxb （8.27） 写出其完全的矩阵形式如下：,最小二乘问题的数学模型,（8.28） 注意：误差向量e和b是m维的，而x则是n维的，mn。现在的问题是，找到解x，使误差向

13、量的长度或它的范数为最小。,三维空间超定问题的模型,从向量空间重新研究例6.1的方程组（d） （8.29） 改写成 等式左端为一个由v1,v2张成的平面，右边是一个点。如果方程有解，点将恰好位于平面内；否则就无解。,三维空间超定问题的几何意义,这时最近似的解就应该是b点向v1和v2张成的平面的投影 。 它和b的连线应该和v1和v2张成的平面垂直，也就是说，必须分别与v1和v2正交。如图8.6所示。,超定方程解的公式,(AT*A) -1 * AT 称为伪逆(psuedo inverse) ，也称广义逆。MATLAB中用pinv函数表示。 故有： xhat=pinv(A)*b (可与x=inv(A

14、)*b对比) A(mn),ATA (mm), ATb (m1), xhat (m1),超定方程的实例（例8.8）,程序为： A=1,1;1,-1;-1,2, b=1;3;3, xhat=inv(A*A)*A*b,% 或xhat1=pinv(A)*b, e=A*xhat-b, norm(e) 结果：xhat=1;1, e=1;-3;-2,超定方程的实例（例8.9）,由电压电流特性求电阻 c=pinv(A)*B 程序：A datax , ones(N,1); B datay; c (A*A)-1*A* B % 或 C=pinv(A)*B,8.6.2 宏观经济模型,为了满足外部的最终需求向量d，各生

15、产部门的实际产出x应该是多少，这对于经济计划的制订当然很有价值。因为 x=内部需求外部需求d 考虑到单位消耗列向量vi和内部需求矩阵V，总的需求方程可以写成为：x Vx = d， ( I V )x=d 因而 x = inv( I V )*d,8.6.3 信号流图模型,信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号变换关系的工具。右图方程如下。 写成矩阵方程 或 x=QxPu 移项整理，可以得到求信号向量x的公式。,信号流图的矩阵解法,( I Q ) x= Pu， x = inv( I Q )*Pu 定义系统的传递函数W为输出信号与输入信号之比x/u，则W可按下式求得： W=x/u = inv( I Q )*P 因为 得到,此例题的MATLAB程序,syms G1 G2, Q=0,-G2;G1,0, P=1;0, W=inv(eye(2)-Q)*P, pretty(W),复杂点的信号流图,按右面的信号流图，照上述方法列出它的方程如下： x1 = -G4x3 + u x2 = G1x1-G5x4 x3 = G2x2 x4 = G3x3,信号流图的矩阵方程,列出的矩阵方程为： 矩阵中的参数是符号而不是数，MATLAB的许多函数(特别是求逆)都可以处理符号，带来了极大的方便。只要在程序第一行注明哪些是