八年级数学暑假复习题

1、目目 录录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重点落实在奥赛方面的基础知 识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲 解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外，在本 次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当 的调整顺序和增删内容。其中因式分解为初二下册内容，但是考虑 到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。 注：有(*) 标注的为选做内容。 本次培训具体计划如下，以供参考：本次培训具体计划如下，以供参考： 第一讲实数（一） 第二讲实数（二） 第三讲平面直角坐标系、函数 第四讲一次函数（一） 第五讲一次函数（二） 第六讲全等三角形

2、 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲 株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发） 第九讲 竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法 第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试（未装订在内，另发） 第十四讲试卷讲评 第第 1 讲讲 实数（一）实数（一） 【例 1】已知实数 x、y、z 满足，求 xyz02 4 1 | 2 1 2 zyzzyx 的平方根。 1、已知，则的值为_； 222 (6)440 xyxxyyxy 2、若，0)2(1 2 aba 的值 )2007)(2007( 1 )2)(2( 1 ) 1)(1( 11 bababaab 求 设 a、b、c 是实数，若，

3、求 a、b、c14261412cbacba 的值 【例 2】已知 x、y 是实数，且 y xxxy则, 32112 ； 已知、适合关系式：xyz ，求的yxyxzyxzyx20022002223xyz 值。 1、已知 b，且的算术平方根是，的立31315153aa11am14 b 方根是，试求的平方根和立方根。n)43)(2(mnmn 2、已知，则 ； 1 411 22 x xx y yx ）（32 【拓展】在实数范围内，设，求的个位数字。a 2010 22 41 () 12 xx x xx a 【例 4】化简：9612 22 xxxxy 【例 5】若实数 x 满足方程 ，那么 11xx 2

4、1)x（ ； 1、 若，且，9 2 a4 2 babba 2 )( 则 ； 2 )(ba 2、已知实数 a 满足 a0，那么 ； 332 aa11aa 3、设449612 222 xxxxxxy （1）求 y 的最小值 （2）求使 6y7 的 x 的取值范围。 【拓展】若，求的值。0 1 ) 1 3( 2 2 2 x xa x x 2 )2( a 1、如果 a 0 ，那么 。 3 a 2、已知和是数的平方根，则求的值 。32m12mpp 3、设 a、b、c 是ABC 的三边的长，则 22 )()(cbacba 。 4、已知 x、y 是实数，且则 , 111xxy12 1 1 2 yy y 。

5、5、若 03，则直线 ykx2 与 x 轴的交点是_ 2、如右图，直线bxkyl 11: 与直线xkyl 22: 在同一平面直角坐标系中的图象 如图所示，则关于x的不等式 21 k xk xb的解集为 例例 5：一个一次函数的图像与直线平行，与轴、轴的交点分别 595 44 yxxy 为 A、B，并且过点（1，25） ，则线段 AB 上（包括端点 A、B） ，横坐标、纵 坐标都是整数的点有几个？ y x y= 2x+6 y=x+2 B A P O B(15,6)C AO y x y x 1 2 1 yk xb 2 yk x O O x y l1 l2 -1 3 ( 12 【巩固巩固】如图一次函

6、数的图象经过点和，则5yx( , )P a b( , )Q c d 的值为 。()()a cdb cd 例例 6：如图，直线的解析式为，且与轴交于点 D，直线经过 1 l33 xy 1 lx 2 l 点 A、B，直线、交于点 C。 1 l 2 l （1）求直线的解析式。 （2）求ADC 的面积； 2 l （3）在直线上存在异于点 C 的另一点 P， 2 l 使得ADP 与ADC 的 面积相等，请直接写出点 P 的坐标。 1、点 A 为直线上的一点，点 A 到两坐标轴的距离相等，则点 A 的坐22 xy 标为_。 2、直线经过一、二、四象限，那么直线经过 象限。bkxykbxy 3、一次函数yk

7、xb（kb，是常数，0k ）的图象如图所示， 则不等式0kxb的解集是（ ） A2x B0 x C2x D0 x 4、如图一直线 L 经过不同三点 A（a，b） ，B(b，a)，C，那么直线 L(,)ab ba 经过（ ）A第二、四象限 B第一、三象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 5、设直线(为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积(1)2nxny+=n 为(1，2，3，2000).则 1232000的值为 ( ) n SnSSSS A. B. C. D. 1999 2000 1 2000 2001 2001 2002 6、如图直线与轴、轴分别交于 A、B 两点，以线段 AB 为直角

8、3 1 3 yx xy 边在第一象限内作等腰直角ABC，BAC90，如果在第二象限内有一点 P ， 1 ( , ) 2 a 且ABP 的面积与ABC 的面积相等，求 a 的值。 x y O x y 0 2 2 B P x y C AO ykxb 第第 5 讲讲 一次函数（二）一次函数（二） 例例 1：我市一种商品的需求量 y1（万件） 、供应量 y2（万件）与价格 x（元件） 分别近似满足下列函数关系式：y1x60，y22x36；需求量为时，即停止0 供应。当 y1 y2时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量 （1）求该商品的稳定价格与稳定需求量； （2）价格在什么范围，该商品的需

9、求量低于供应量？ （3）当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格， 以提高供应量，现若要使稳定需求量增加 4 万件，政府应对每件商品提供多 少元补贴，才能使供应量等于需求量？ 【巩固巩固】图 1130 表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 y（千米）随 时间 x（分）变化的图象（全程） ，根据图象回答下列问题 （1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？ （2）这次比赛全程是多少千米？ （3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？ 例例 2：在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为（张） ，总费用为（元）xy 现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费 10000

10、 元，则该单位所购门票的价格为每张 60 元； （总费用广告赞助费门票费） 方案二：购买门票方式如图所示 解答下列问题： （1）方案一中，与的函数关系式为 ；yx 方案二中，当时，0160 x 与的函数关系式为 ；yx 当时，与的函数关系式为 ；100 x yx （2）如果购买本场足球赛超过 100 张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请 说明理由； （3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共 700 张，花去 总费用计 58000 元，求甲、乙两单位各购买门票多少张 我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居 民用水采用以户为单位分段计费办法收

11、费。即一月用水 10 吨以内（包括 10 吨）的 用户，每吨收水费元；一月用水超过 10 吨的用户，10 吨水仍按每吨元收费，aa 2 236yx 1 60yx y x O （第 22 题图） 10000 14000 100 150O x(张) y(元) 甲 乙 超过 10 吨的部分，按每吨元（）收费。设一户居民月用水吨，应收水费bbax 元，与之间的函数关系如图 13 所示：yyx （1）求的值；某户居民上月用水 8 吨，应收水费多少元？a （2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；b10 x yx （3）已知居民甲上月比居民乙多用水 4 吨，两家共收水费 46 元，求他们上月分别 用水

12、多少吨？ 例例 3：抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓 库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的 A、B 两仓库。已知甲库有粮食 100 吨， 乙库有粮食 80 吨，而 A 库的容量为 70 吨，B 库的容量为 110 吨。从甲、乙两库到 A、B 两库的路程和运费如下表（表中“元/吨千米”表示每吨粮食运送 1 千米所 需人民币） 甲库乙库甲库乙库 A库20151212 B库2520108 路程（千米)运费（元/吨千米） （1）若甲库运往 A 库粮食吨，请写出将粮食运往 A、B 两库的总运费（元）xy 与（吨）的函数关系式；x （2）当甲、乙两库各运往 A、B 两库多

13、少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费 是多少？ 【巩固巩固】我市某乡两村盛产柑桔，村有柑桔 200 吨，村有柑桔 300AB，AB 吨现将这些柑桔运到两个冷藏仓库，已知仓库可储存 240 吨，仓库可CD，CD 储存 260 吨；从村运往两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从村运往ACD，B 两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元设从村运往仓库的柑桔重量为CD，AC 吨，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元xAB， A y B y （1）请填写下表，并求出与之间的函数关系式； AB yy，x CD总计 A吨x200 吨 B300 吨 总计240 吨260 吨500 吨 （2）试讨

14、论两村中，哪个村的运费较少；AB， （3）考虑到村的经济承受能力，村的柑桔运费不得超过 4830 元在这种情况BB 下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值 例例 4：我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车已 知每隔 1h 有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城如图所示，OA 是第一列 动车组列车离开甲城的路程 s(单位在：km)与运行时间 t(单位：h)的函数图象，BC 是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程 s(单位：km)与运行时间 t(单位：h) 的函数图象请根据图中信息，解答下列问题： （1）点 B 的横坐标 0.5 的意义是普通快车发车时

15、间比第一列动车组列车发车时间 _h，点 B 的纵坐标 300 的意义是_； （2）请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程 s 与时间 t 的函数图 象； 收 地 运 地 D C B A （3）若普通快车的速度为 100 km/h， 求 BC 的解析式，并写出自变量 t 的取值范围； 求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇； 直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔 时间 【巩固巩固】某物流公司的快递车和货车每天往返于 A、B 两地，快递车比货车多往返 一趟。图中表示快递车距离 A 地的路程 y(单位：千米)与所用时间 x(单位：时)的函 数图象

16、已知货车比快递车早 1 小时出发，到达 B 地后用 2 小时装卸货物，然后按 原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回 A 地晚 1 小时 （1）请在图中画出货车距离 A 地的路程 y(千米)与所用时间 x(时)的函数图象； （2）求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)； （3）求两车最后一次相遇时，距离 A 地的路程和货车从 A 地出发了几小时？ 1、某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票经调查统计发现，每天开 始售票时，约有 300 名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等 候购票，新增购票人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示；每yx 个售票窗口票数（人）与售票

17、时间（分）的函数关系如图所示某天售票yx 厅排队等候购票的人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示，已yx 知售票的前分钟开放了两个售票窗口a （1）求的值；a （2）求售票到第 60 分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数； （3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗 旨，决定增设售票窗口若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购 到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票 窗口？ 2、如图，工地上有 A、B 两个土墩，洼地 E 和河滨 F，两个土墩的土方数分别是 781 方，1584 方，洼地 E 填上 1025 方，河

18、滨 F 可填上 1390 方，要求挖掉两个土墩， 把这些土先填平洼地 E，余下的图填入河滨 F（填入 F 实际只有 1340 方） ，如何安 排运土方案，才能使劳力最省？（提示：把土方 米作为运土花费劳力的单位） 第第 6 讲：全等三角形讲：全等三角形 例例 1：已知，如图ABC 中，AB5，AC3，则中线 AD 的取值范围是 0.5 AB C O 123 100 200 300 s/km t/h 1 4 3 1 240 300 78a x/ 分 y/ 人 OOO （图 ） （图 ） （图 ） x/ 分 y/ 人 x/ 分 y/ 人 150 120 30 50 F E A B _. 【巩固巩固

19、】如图所示，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点， 且 BEAC，延长 BE 交 AC 于 F，求证: AFEF. 已知等腰直角三角形 ABC 中，ACBC，BD 平分ABC，求证：ABBCCD 1、已知ABC 中，AD 平分BAC，ABAC，求证：ABACBDDC 2、如图所示，已知四边形 ABCD 中，ABAD，BAD60，BCD120， 求证: BCDCAC. 例例 3：如图，已知在ABC 中，B60，ABC 的角平分线 AD，CE 相交于 点 O 求证：OEOD 例例 4：如图，在ABC 中，BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 的垂直平分 线 P

20、Q 相交于点 P，过点 P 分别作 PNAB 于 N，PM AC 于点 M 求证：BNCM 例例 5：AD 为ABC 的角平分线，直线 MNAD 于 A，E 为 MN 上一点，ABC 周长记为，EBC 周长记为。求证. A P B P B P A P 【拓展拓展】正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点， BEDFEF，求EAF 的度数. E F D A B C A B CD D A BC M N P Q B AC O E A BDC F E D CB A A B D C E D F C B A 1、如图，BAC60，C40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ

21、 平分 ABC 交 AC 于 Q 求证：ABBPBQAQ 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BECF 与 EF 的大小. 3、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BECF 的理由； （2）如果 AB，AC，求 AE、BE 的长.ab 第第 7 讲：直角三角形与勾股定理讲：直角三角形与勾股定理 例例 1：在ABC 中，BAD90，AB3，BC5，现将它们折叠，使 B 点与 C 点重合，求折痕 DE 的长。 1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC6 cm、BC8 cm

22、，现将ABC 折 叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm 2、四边形 ABCD 中，DAB60 ，BD90，BC1，CD2；求对角 线 AC 的长？ 例例 2：如图所示已知：在正方形 ABCD 中，BAC 的平分线交 BC 于 E，作 EFAC 于 F，作 FGAB 于 G求证：AB22FG2 【巩固巩固】已知ABC 中，A90，M 是 BC 的中点，E，F 分别在 AB，AC 上， MEMF 求证：EF2BE2CF2 例例 3：已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 内接于 O Q A B P

23、 C E D G F C B A AB C D E A B D C E AB C D G F A E B DC F E C M B A H D A BC E F G ABCD，AEa，AFb,且 SEFGH 3 2 求：的值 ab 例例 4：已知：P 为等边ABC 内一点，且 PA3，PB4，PC5，求APB 的 度数 【巩固巩固】如图，四边形 ABCD 中，ACBD，AC 与 BD 交于 O 点， AB15，BC40，CD50，则 AD_. 例例 5：一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为 15，那么它 的另一条直角边的长有_种可能，其中最大的值是_. 【拓展拓展】是否存在这

24、样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面 积的数值相等？若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。 1、如图，在 RtABC 中，ACB90BC3,AC4,AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为（ ） A 3 2 B 7 6 C 25 6 D2 2、如图，等腰中，是底边上的高，若ABCABACAD ，5cm6cmABBC， 则 cmAD 3、已知 ABCD，ABD，BCE 都是等腰三角形，CD8，BE3，则 AC 的长 等于（ ）A.8 B.5 C.3 D. 34 4、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 直角三角

25、形若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是 A13 B26 C47 D94 5、如图，在矩形 ABCD 中，DC=5cm,在 DC 上存在一点 E，沿直线 AE 折叠，使点 D 恰好落在 BC 边上，设此点为 F，若ABF 的面积为 30cm2，那么折叠的AED 的 面积为_. A D BE C A C D B A BC P A B CD E A B C D O A B C D E F 第第 9 讲讲 整数性质的运用整数性质的运用 例例 1：求的末位数。 1995 1994 【巩固巩固】求的末位数。 100310021001 1373 例例 2：n 为

26、怎样的自然数时，能被 10 整除？ nnnn 4321 【拓展拓展】今天是星期六，从今天起天后的那一天是星期几？ 2000 10 例例 3：5 个连续自然数的平方和能否是完全平方数？请证明你的结论。 【巩固巩固】n 是自然数，如果 n20 和 n21 都是完全平方数，求 n 的值。 例例 4：1999 除以某自然数，其商为 49，求除数和余数。 【巩固巩固】甲、乙、丙三个数分别是 312，270，211，用自然数 A 分别去除这三个数， 除甲所得余数是乙所得余数的 2 倍，除乙所得余数是除丙所得余数的 2 倍，求这个 自然数 A。 例例 5：若 N是一个能被 17 整除的四位数，求 x。782

27、x 【巩固巩固】已知一个七位自然数能被 99 整除，试求，42762xy324950yx 例例 6：试写出 5 个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个 数的差整除。(*) 1、的末三位数是（ ） 1999 5 A、025B、125C、625D、825 2、小于 1000 既不能被 5 整除，又不能被 7 整除的自然数的个数为（ ） A、658B、648C、686D、688 3、已知两个三位数，和能被 37 整除，证明，六位数abcdefabcdef 也能被 37 整除。abcdef 4、设 N23x92y 为完全平方数，且 N 不超过 2392，求满足上述条件的一切正整 数对

28、 9（x，y）共有多少对？ 5、试找出由 0，1，2，3，4，5，6 这 7 个数字组成的没有重复的七位数中，能被 165 整除的最大数和最小数。(*) 第第 10 讲讲 不定方程与应用不定方程与应用 例例 1：求方程的整数解。3512xy 例例 2：希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共 20 个，其总价值为 330 元， 这三种球的价格分别是足球每个 60 元，篮球每个 30 元，排球每个 10 元，那么其 中排球有 个。 【巩固巩固】求方程的整数解。13304xy 【拓展拓展】 1、三元一次方程的非负整数解的个数为 个。3xyz 2、某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四

29、位数组成的数相加得 14405，将前三位组成的数与后五位组成的数相加的 16970，求此人家的电话号码。 例例 3：求方程的整数解。xyxy 【巩固巩固】方程的正整数解的组数有多少？ 22 105xy 例例 4：有一个正整数，加上 100，则为一完全平方数；如果加上 168，则为另一个 完全平方数，求此数。 【巩固巩固】一个自然数减去 45 后是一个完全平方数，这个自然数加上 44，仍是一个 完全平方数，求这个自然数。 例例 5：方程的整数解的个数为（ ） 111 1993xy A.0 个 B.3 个 C.5 个 D.无数个 【巩固巩固】方程的整数解的组数是（ ） 111 4xy A. 6 B

30、.7 C.8 D.9 1、求方程的整数解。 2、求方程的正整数 22 xyxxyy 1115 6xyz 解。 1、已知满足及，则_, ,x y z5xy 2 9zxyy23xyz 2、满足方程的所有整数解为（）为_. 442 214yxx y , x y 3、方程的正整数解的组数是（ ） 2 1000 xxy A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 4、三元方程的非负整数解的个数是（ ）1999xyz A.个 B.个 C.个 D.个 5、方程的整数解的组数是_. 111 3xy 6、求除以 7 余 5，除以 5 余 2，除以 3 余 1 的所有三位数中的最小正整数为 _. 7、求方程的

31、整数解13304xy 8、购买 5 种数学用品的件数和用钱总数列成下表： 1,2,345 ,A A A A A 件数 1, A 2 A 3 A 4 A 5 A总钱数 第一次购件数134561992（元） 第二次购件数1579112984（元） 则 5 种数学用品各买一件共需多少元？ 9、求满足且使最大的正整数。 111 12xy yx 第第 11 讲：因式分解的方法讲：因式分解的方法 例例 1 1：（1）4x（ab）（b2a2） ；（2） （a2b2）24a2b2； （3）x42x23； （4） （xy）23（xy）2； （5）x32x23x； （6）4a2b26a3b； （7）a2c2+2a

32、b+b2d22cd （8）a24b24c28bc 品 名 例例 2：分解因式： （1）；1034 2424 xxxx （2）； 2 6321xxxxx （3）。1999119991999 22 xx 【巩固】分解因式： 1、； 1221 22 xxxx 2、； 22 2 2 284384xxxxxx 3、； 4、 2 1131216xxxxx27231 44 yy 【拓展拓展】分解因式：； 2 122xyyxxyyx 例例 3：把下列各式分解因式： 1、； 2、。bacacbcba 222 672 22 yxyxyx 【巩固巩固】分解因式： 1、； 2、。 1 2 2 babaab6136 2

33、2 yxyxyx 例例 4：分解因式：。43 23 xx 【巩固巩固】分解因式：1、； 2、； 4224 yyxx 44 64ba 【拓展拓展】分解因式：。 432234 232babbabaa 例例 5：已知多项式的值恒等于两个因式，68232 22 yxyxyxAyx2 乘积的值，则_。Byx2 BA 例例 6：分解因式：。6136 22 yxyxyx 【巩固】分解因式： 1、 2、；252 22 yxyxyx49253 22 yxyxyx 1、为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？k2532 22 yxkyxyx 2、多项式的一个因式是，试确定的值。65 22 yxbyaxyx2 yxba 3、求证：可以化为两个整系数多项式的平方差。 22 328yxyx 1、分解因式：_； 223 2abbaa 2、分解因式：_；92 22 yxyx 3、分解因式： _；1221 22 xxxx 4、已知满足，则_；cba、5ba9 2 babcc 5、分解因式：的结果是324