线性代数基础知识

1、线性代数知识回顾,矩阵的概念,矩阵的定义,矩阵是数(或是函数)的矩形阵表,是数学上常用的概念.,定义:由mn个数排成的m行n列的表,称为m行n列矩阵（matrix）,简称矩阵.这mn个数叫做矩阵的,元素.当元素都是实数时称为实矩阵（real matrix）,当元素,为复数时称为复矩阵（complex matrix）.,3. 向量,n维行向量: 1n矩阵a1, a2, , an,n维列向量: n1矩阵,第i分量: ai (i = 1, , n),n阶方阵: nn矩阵,2. 方阵,几种常用的特殊矩阵,1.对角矩阵（diagonal matrix）,记作,2.标量矩阵（scalar matrix）,

2、3.n阶单位矩阵（unit matrix）,矩阵的乘法,定义 设两个矩阵,则矩阵A与矩阵,B的乘积记为,规定,其中,应注意:只有当矩阵A的列数与B的行数相同时，A与B才能,作乘积，并且乘积矩阵的行数与A的行数相等，乘积矩阵的列,数与B的列数相等.,矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：,(1)结合律:,(2)分配律：,(3)设k是数:,例 设,求乘积矩阵.,解：,矩阵的转置,定义,设,则矩阵,称为A的转置矩阵(transposed matrix),记作,转置矩阵就是把A的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。,例如，矩阵,的转置矩阵为,性质： 1。A2=AA 2。(AB)=BA 3。(k

3、A)=kA 4。(A+B)=A+B,逆矩阵,逆矩阵的概念,定义：设A为阶n方阵，若存在n阶方阵B，使,AB=BA=I,则称A是可逆矩阵（invertible matrix）。并称B为A的逆矩阵,(inverse matrix)，记为,即,如果矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.事实上，设A，,B都是可逆矩阵，则有,于是,定义,设A为n阶方阵，若,则称A是非奇异矩阵,(nonsingular matrix)或非退化矩阵,否则称A是奇异矩阵(singular,matrix)或退化矩阵。,定义设,令,为|A|中元素,的代数余子式，则称方阵,为A的伴随矩阵(adjoint matrix),或记为ad

4、j A。,矩阵可逆的充要条件,定理：方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，,即|A|0，并且,矩阵的秩,矩阵秩的概念,定义：,设A是一个mn矩阵，在A中任取k行、k列，位于,这些k行和k列交叉处的元素按原来的次序组成一个k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式（minor）。,例如：,矩阵,由1、2、3行与1、2、3列构成的三阶子式,在矩阵A中有一个三阶子式不为零，而所有的四阶子式全为零,这时我们可以称A的秩是3。,定义：,矩阵A中的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩(rank-,of a matrix），记作r(A)。,零矩阵的所有子式全为零,所以规定零矩阵的秩为零.,设A是n阶方阵,若A的秩等于n,则称A为满秩矩阵(nonsingular,matrix），否则称为降秩矩阵(singular matrix)。,矩阵秩的性质,3,注: 从例可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于 它的阶梯数(即:非零行的数目). 而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行 变换化为行阶梯形.,线性方程组,一. 线性方程组的概念,含有n个未知量, m个方程的线性方程组的 一般形式如