三角函数的图像与性质

1、三角函数的图像和性质,三角函数的图像和性质,一、三角函数图像的作法,几何法,五点法,图像变换法,二、三角函数图像的性质,三、解三角不等式（数形结合）,四、f(x)= Asin(x+) 的性质,五、课后练习,作法:,(1) 等分,(2) 作正弦线,(3) 平移,(4) 连线,一、三角函数图像的作法,1.几何法,y=sinx 作图步骤:,P,A,M,正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,T,0相位,相位,相位,相位,相位,返回目录,因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在， 与y=sinx,x0,2的图象相同,正弦曲线,余弦函数y=cosx,=sin(x+ ),由y=sinx,左移

2、,y=cosx,y=sinx,y=cosx,余弦曲线,正, 余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点,返回目录,正弦函数.余弦函数的图像和性质,作函数 的简图,解:,列表,描点作图,2.五点法作函数 y=Asin(x+) 的图像的步骤:,(2)求(1)中 x 对应的 y 的值, 并描出相应五点;,1,2,1,1,0,(3)用光滑的曲线连结(2)中五点.,返回目录,步骤1,步骤2,步骤3,步骤4,步骤5,沿x轴 平行移动,横坐标 伸长或缩短,纵坐标 伸长或缩短,沿x轴 扩展,横坐标向左 (0) 或向右(cosx.,返回目录,四.,返回目录,1.周

3、期性: y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是 2; f(x)= Asin(x+) 和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是 T= . f(x)=Atan(x+)的最小正周期都是 T= f(x)= |Asin(x+)| ,f(x)=|Acos(x+)|的最小正周期都是 T= （即取绝对值后周期减半），f(x)=|Atan(x+)|的最小正周期是 T= （即取绝对值后周期不变）。,f(x)= Asin(x+) , f(x)=Acos(x+)和f(x)=Atan(x+)的性质,五 .,注：较复杂的三角函数要先化简，再利用公式求周期；有时可用数形结合或定义法求周期,D,2.f(x)=si

4、n2x-的周期是（ ）,3.P95T9,B,2.研究 f(x)= Asin(x+) 性质的方法：类比研究y=sinx的性质，只需将 x+看成 x，但在求 f(x)=Asin(x+) 的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。,如1 ： ； 的单调增区间。,返回目录,故该函数的最小正周期是 , 最小值是 -2.,返回目录,3.奇偶性：,再如f(x)= Asin(x+) 为奇函数, =k (kZ),解法一：,解法二：,f(x)= Asin(x+) 为偶函数,f(x)= Acos(x+) 为奇函数, =k (kZ),f(x)= Acos(x+) 为偶函数,返回目录,观察得到：可类比正

5、弦曲线 和余弦曲线的奇偶性， 奇变偶不变,解: f(x)=sin(x+)(0, 0) 是 R 上的偶函数,f(0)=1,cos=0.,又0,f(x) 的图象关于点 M 对称,f(x)=cosx.,0,解得 k=0 或 1.,返回目录,解得 a=-1.,返回目录,即 0+a=-1+0.,a=-1.,而函数 y=sin2x+acos2x 的周期为 ,a=-1.,返回目录,课后练习,1.P95T14已知函数 f(x)=log (sinx-cosx), (1)求它的定义域和值域; (2)判断它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性, 如果是周期函数, 求出它的一个周期.,(2)y=

6、sinx-cosx 在 f(x) 的定义域上的单调递增区间是,返回目录,(3)f(x) 的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,函数 f(x) 是非奇非偶函数.,=f(x),函数 f(x) 是周期函数, 它的一个周期是 2.,返回目录,2.已知函数 f(x)=Asin(x+)(A0, 0, xR) 在一个周期内的图象如图所示:,返回目录,返回目录,4.P97T6, 某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(x+)+b 的解析式, 其中, A0, 0, 0.,(1)求这段时间的最大温差;,(2)写出这段曲线的函数解析式.,解: (1)由图示, 这段时间的最大温差是:,30-10=20.,(2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(x+)+b 半个周期的图象.,返回目录,解: 由 cos2x0 得, f(x) 的定义域关于原点对称, 且, f(x) 是偶函数.,P94例3,返回目录