正弦稳态电路分析

1、4.1 正弦信号的基本概念 4.2 正弦信号的相量表示 4.3 基本元件VAR和基尔霍夫定律的相量形式 4.4 相量模型 4.5 相量法分析 4.6 正弦稳态电路的功率 4.7 谐振电路 4.8 三相电路,第4章 正弦稳态电路分析,4.1正弦信号的基本概念,一、正弦量的三要素 按正弦(余弦)规律随时间作周期变化的电压、电流称为正弦电压、电流,统称为正弦量(或正弦交流)。 可用正弦函数和余弦函数表示。本书用余弦函数表示正弦量。 1、瞬时表示式为：,4.1正弦信号的基本概念,2、概念：,角频率：,相位：,初相位：当t=0时的相位取值，即：,振幅、频率、初相位构成了正弦信号的三要素,4.1正弦信号的

2、基本概念,频率f的单位是赫兹(Hz)。我国电力系统的正弦交流电,频率是50 Hz,周期为0.02s。频率较高时,常用单位有千赫(kHz)、兆赫(MHz)和吉赫(GHz)表示，其对应的周期单位分别为毫秒(ms)、微秒(s)和纳秒(ns)。,可见,相位差=初相位之差,而与时间t无关。,3、相位差,a、定义：任意两个同频率的正弦量间相位之差； 它是区别同频率正弦量的重要标志之一,例如：设两个正弦电压分别为：,相位差就是,4.1正弦信号的基本概念,则电压同相，同时达到最大,同时为零；,则电压反相，u1为正最大时， u2为负的最大值；,注：不同频率的两个正弦量之间的相位差是随时间变化的, 而不是常数。,

3、4.1正弦信号的基本概念,例 1 同频率的两个正弦电压分别为,试求它们的相位差，并说明两电压超前、滞后的情况。 解：由u1(t)、u2(t)的函数表达式可知：,1=75, 2=-30,所以相位差,=1-2=75-(-30)=105,电压u1(t)超前电压u2(t) 105, 或说u2(t)滞后u1(t)的角度为105。,例 2 同频率正弦电压、电流分别为,试求相位差，并说明两正弦量相位超前、滞后情况。 解：,i(t)=5cos(t+40-90) mA=5 cos(t-50) mA,电压u(t)改写为,u(t)=20 cos(t+60) V,u=60, i=-50,=u-i=60-(-50)=1

4、10,4、正弦量的有效值,正弦信号的有效值:令正弦电流i和直流电流I分别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个电阻消耗的能量相等，那么定义该直流电流的值为正弦电流的有效值。满足下列关系式：,*交流电流表、电压表测量指示的电流、电压读数都是 有效值，有效值是度量交流电大小的物理量。,4.1正弦信号的基本概念,引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写为,4.1正弦信号的基本概念,一、复数的表示,如图示，设复数的模值为a,幅角为，则复数可以表示为：,4.2正弦信号的相量表示,应用欧拉公式,复数表示为：,表示成极坐标形式：,代数型方便做加减运算，指数型方便做乘除运算。,4.2正弦信号

5、的相量表示,二、利用相量表示正弦信号,设,欧拉公式,即：,* 正弦信号有振幅、频率、初相位决定 同频率的信号里，我们只需关注其振幅和初相即可。,4.2正弦信号的相量表示,相量,只与幅度和初相有关,因此，正弦信号可以表示为：,为旋转因子,4.2正弦信号的相量表示,4.2正弦信号的相量表示,4.2正弦信号的相量表示,4.3.1 R、L、C元件VAR的相量形式 1、电阻元件,相位：,设流过电阻的正弦电流为：,由OL定律得：,幅度：,4.3基本元件VAR和KL的相量形式,i,m,u,m,m,RI,U,U,q,q,=,=,4.3基本元件VAR和KL的相量形式,电流和电压之间的相位关系为同相,4.3基本元

6、件VAR和KL的相量形式,2、电感元件,设流过电感的正弦电流为：,由微分关系得：,4.3基本元件VAR和KL的相量形式,相位：,幅度：,感抗 单位为,4.3基本元件VAR和KL的相量形式,4.3基本元件VAR和KL的相量形式,4.3基本元件VAR和KL的相量形式,3、电容元件,设流过电容的正弦电压为：,由微分关系得：,4.3基本元件VAR和KL的相量形式,相位：,幅度：,容抗,以相量表示电压、电流：,4.3基本元件VAR和KL的相量形式,4.3基本元件VAR和KL的相量形式,设其端口电压、 电流(按关联参考方向)分别为,4.4相量模型,1、定义：端口电压相量与电流相量的比值,2、欧姆定律的相量

7、形式：,*阻抗的单位为(欧姆)，,4.4相量模型,如果无源二端网络分别为单个元件R、L、C， 设它们相应的阻抗分别为ZR、ZL、ZC，,4.4相量模型,二、导纳 定义：阻抗的倒数；,4.4相量模型,例4.4-1 图4.4-6(a)为RLC串联正弦稳态电路，角频率为， 求ab端的等效阻抗Z。,4.4相量模型,式中， ，称为电抗，它等于相串联的感抗与容抗的代数和。 将阻抗Z写为指数形式或极坐标形式：,式中,4.4相量模型,式中， R是阻抗的实部, 称为电阻; X是阻抗的虚部, 称为电抗; |Z|称为阻抗的模，习惯上有时称Z为复阻抗，而把|Z|称为阻抗，并用小写字母表示， 即z=|Z|。, Z称为阻

8、抗角。它们之间的关系是,阻抗是一个复数量, 它可写成代数型或指数型, 即,4.4相量模型,X=0时：Z=0，电压相量与电流相量同相， 阻抗呈现电阻性；,X0和X0时，电压相量超前电流相量，阻抗呈现阻感性；,X0时，电压相量滞后电流相量，阻抗呈现阻容性；,4.4相量模型,4.6.1一端口网络的功率 设端口电压,电流i是相同频率的正弦,1. N的瞬时功率,4.6 正弦稳态电路的功率,2. N的平均功率,Z=u-i,4.6 正弦稳态电路的功率,1、当无源二端电路的等效阻抗为电阻性时，平均功率为大？,Z=0, cosZ =1,P=UmIm/2=UI。,Z =90, cosZ=0,P=0。,因此，前面讨

9、论的R、L、C元件的功率可以看成是等效阻抗功率的特殊情况。,2、当等效阻抗为纯电感性或纯电容性时，平均功率为大？,4.6 正弦稳态电路的功率,3.N的视在功率 二端电路N端子上电压、电流振幅乘积之半或电压、电流有效值乘积定义为二端电路N的视在功率，用符号S表示(也可用PS表示)， 即,单位为伏安(VA)。,4.6 正弦稳态电路的功率,4.6 正弦稳态电路的功率,P=UIx=UI cos(u-i),Q=UIy=UI sin(u-i),4.6 正弦稳态电路的功率,当二端电路不含独立源时，u-i=Z，式可改写为,当二端电路N是纯电阻时，Z=0, QR=0； 当N是纯电感时，Z=90，QL=UI; 当

10、N是纯电容时，Z=-90,QC=-UI。 负号表明电容元件能量交换的规律和性质与电感元件能量交换的规律和性质正好相反。,4.6 正弦稳态电路的功率,4.6 正弦稳态电路的功率,上式表明了视在功率与有功功率、无功功率间的关系。 若二端电路N不含独立源，有u-i=Z, 则,4.6 正弦稳态电路的功率,4.6.2正弦稳态电路中的功率传输,图为一正弦稳态功率传输电路。图中ZL此处所用下标是实际用电设备或器具的等效阻抗。 电源的电能输送给负载ZL，再转换为热能、机械能等供人们生产、生活中使用。,4.6 正弦稳态电路的功率,Zs=Rs+jXs,设电源内阻抗为,负载阻抗为,ZL=RL+jXL,可求得电流为,

11、故电流有效值为,4.6 正弦稳态电路的功率,1. 共轭匹配条件 显然Xs+XL=0时pL达到最大值，把这种条件下pL的最大值记为pL，则,4.6 正弦稳态电路的功率,解得：,RL=Rs,经判定，RL=Rs是pL的极大值点。至此可归纳：当负载电阻和电抗均可独立改变时， 负载获得最大功率的条件为,或写为,称为负载获最大功率的共轭匹配条件。 得负载获得的最大功率为,4.6 正弦稳态电路的功率,*2. 模值匹配条件 设等效电源内阻抗 ，负载阻抗ZL=RL+jXL=|ZL|L。若只改变负载阻抗的模值|ZL|而不改变阻抗角L，可以证明，在这种限制条件下，当负载阻抗的模值等于电源内阻抗的模值时，负载阻抗ZL

12、可以获得最大功率。 即,式(5.7-9)称为模值匹配条件。,4.6 正弦稳态电路的功率,在实际应用中，有时会遇到电源内阻抗是一般的复阻抗， 而负载是纯电阻的情况。这时,若RL可任意改变，则求负载获得的最大功率可看作模值匹配的特殊情况， 当,时，可获得最大功率，此时的最大功率为,4.6 正弦稳态电路的功率,4.7谐振电路,4.7谐振电路,4.7谐振电路,4.7谐振电路,结论： 回路的谐振频率仅由回路本身的电感、电容的元件参数决定，而与外加电压源的电压、频率无关。 发生谐振时的感抗或容抗值，称为电路的特性阻抗，以符号表示， 即,考虑 , 代入上式，所以特性阻抗亦可改写为,特性阻抗、品质因数也只取决

13、于电路元件的参数值， 而与外界因素无关，所以它们也可作为客观反映谐振电路基本属性的重要参数。,电路发生谐振有两种情况： 1、电路元件参数一定， 改变电源频率使之等于电路的谐振频率，电路达到了谐振。在实验室里观察确定电路的谐振状态，或测试它的频率特性时遇到的就是这种情况。 2、电源频率一定，改变电路的参数 (调电容C或电感L)，即改变电路的谐振频率，使f0=f, 同样也可使电路处于谐振状态。用收音机收听广播电台的节目就是这样的。,4.8三相电路,三相正弦电压源是三相电路中最基本的组成部分， 由三相交流发电机的三相绕组产生。,1、三相电源,三相正弦电压的波形,三相正弦电压的解析式,为相电压的有效值,4.8三相电路,4.8三相电路,2 三相电源的连接,将三个电压源的末端相连，再从三个首端引