高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第3讲推理与证明

1、第第 3 3 讲讲推理与证明推理与证明 【高考考情解读】1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接 证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法， 常与函数、数列、不等式、 解析几何等综 合命题 数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法 考查 “归纳猜想证明”的模式，常与数列结合考查.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、 不等式等内容联合考查，多以填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广， 涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大 1 合情推理 (1)归纳推理 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般

2、的推理 归纳推理的思维过程如下： 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 (2)类比推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理的思维过程如下： 观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 2 演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般性原理 小前提所研究的特殊情况 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断 (2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理， 从推理形式上看， 归纳是由部分到整体、个别到一般的 推理；类比是由特殊到特殊的推理； 而演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理所得的 结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前

3、提 和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确 3 直接证明 (1)综合法 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法 可用框图表示为 PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ (2)分析法 用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件 4 间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”， 即从否定结论开始， 经过正 确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命 题“若 p 则 q”的过程可以用如图所示的框图表示 5 数学归纳法 数学归纳法证明的步骤 (1)证明当 n

4、 取第一个值 n0(n0N N*)时结论成立 (2)假设 nk(kN N*，且 kn0)时结论成立，证明 nk1 时结论也成立 由(1)(2)可知，对任意 nn0，且 nN N*时，结论都成立. 考点一归纳推理 1 例 (2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派 nn1 的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n 个三角形数为 2 1 2 1 n n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的 22 表达式： 11 三角形数N(n,3) n2 n， 22 正方形数 五边形数 六边形数 N(n,4)n2， 31 N(n,5) n2 n

5、， 22 N(n,6)2n2n 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)_. 答案1 000 解析由 N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测： k24k 2 当 k 为偶数时，N(n，k) n n， 22 242424 N(10,24)10010 22 1 1001001 000. 归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察 个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命 题并且在一般情况下， 如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性 结论也就越可靠 (1)在数列an中，若 a12，a26，且 当 nN*时，an2是 anan

6、1的个位数字，则 a2 014_. 答案2 解析由 a12，a26， 得 a32，a42，a54，a68，a72，a86， 据此周期为 6， 又 2 01463354， 所以 a2 014a42. (2)如图所示：有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根 针上全部移到另一根针上 a每次只能移动一个金属片； b在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面将n 个金 属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移动的次数记为f(n) 则f(3)_；f(n)_. 答案72n1 解析f(1)1，f(2)3，f(3)2f(2)17. 先把上面的 n1 个金属片移到

7、2 号针， 需要 f(n1)次，然后把最下面的一个金属片移到3 号针， 需要 1 次，再把 2 号针上的 n1 个金属片移到 3 号针， 需要 f(n1)次，所以 f(n)2f(n1)1， 得 f(n)12f(n1)1， 故数列f(n)1是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列， 所以 f(n)12n，于是 f(n)2n1. 考点二类比推理 例 2(1)在平面几何中有如下结论：若正 S11 三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 .推广到空间几何可以得到 S24 V1 类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为 V1，外接球体积为V2，则_. V2 x2y2 (2)椭圆

8、与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆 22ab b2 1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点的弦， M 为 AB 的中点， 则 kOMkAB 2.那么对a x2y2 于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线 221(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原ab 点的弦，M 为 AB 的中点，则 kOMkAB_. 1b2 答案(1)(2) 227a 解析(1)本题考查类比推理，也即是由特殊到特殊的推理平面几何中，圆的面积与 V11 圆的半径的平方成正比， 而在空间几何中， 球的体积与半径的立方成正比， 所以 . V227 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0

9、，y0)， x x x 2 ， 则有 y y y 2 . 12 0 12 0 x2y2 将 A，B 代入双曲线 221 中得ab 2x2y2x2y2 1121， 221，a2b2ab 22x1x2y1y2 22 两式相减得 2 2 ， ab x1x2x1x2y1y2y1y2 即， a2b2 y1y2y1y2 b2 即 2， x1x2x1x2 a b2 即 kOMkAB 2.a 类比推理是合情推理中的一类重要推 理，强调的是两类事物之间的相似性， 有共同要素是产生类比迁移的客观因素， 类比可 以由概念性质上的相似性引起， 如等差数列与等比数列的类比； 也可以由解题方法上的 类似引起，当然首先是在

10、某些方面有一定的共性， 才能有方法上的类比，本题即属于此 类一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上， 如圆锥曲线中椭圆与双 曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等 (1)现有一个关于平面 图形的命题，如图，同一个平面内有 两个边长都是 a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这 a2 两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两个棱长均为a 的 4 正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 _ x2y2 (2)命题 p：已知椭圆 221(ab0)，F1、F2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个 ab 动点，过 F2作F

11、1PF2的外角平分线的垂线，垂足为 M，则 OM 的长为定值类比此 x2y2 命题，在双曲线中也有命题 q：已知双曲线 221(ab0)，F1、F2 是双曲线的两个 ab 焦点，P 为双曲线上的一个动点，过 F2作F1PF2的_的垂线，垂足为 M，则 OM 的长为定值_ a3 答案(1)(2)内角平分线a 8 解析(1)两个正方体重叠部分的体积为一个常数，可考虑极端情况，即两个正方体重 aa3 叠部分恰好构成一个棱长为 的正方体，这个小正方体的体积为 . 28 (2)对于椭圆，延长 F2M 与 F1P 的延长线交于 Q. 由对称性知，M 为 F2Q 的中点，且 PF2PQ， 1 从而 OMF1

12、Q 且 OM F1Q. 2 而 F1QF1PPQF1PPF22a，所以 OMa. 对于双曲线，过 F2作F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M， 类比可得 OMa. 111 因为 OM F1Q (PF1PF2) 2aa. 222 考点三直接证明与间接证明 例 3 1 已 知 数 列 an 满 足 ： a1， 2 31an121an 2，anan 10 (n1)；数列bn满足：bna2n1an (n1) 1an1an1 (1)求数列an，bn的通项公式； (2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列 231an121an1an1 2 (1)解已知 化为 ， 2 3 1an1an11an 3 2

13、 而 1a1， 4 32 所以数列1a2 n是首项为 ，公比为 的等比数列， 43 32 n1 3 2 n1 22 则 1an ，则 a， n1 4 3 4 3 由 anan10，知数列an的项正负相间出现， 因此 an(1) n1 32 n1 1 ， 4 3 3 2n 3 2 n1 2bna2 n1an 4 3 4 3 12 n1 . 4 3 (2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为 bm、bn、bp，其中 m、n、p 是互不相 等的正整数，可设 m 3. 假设当 nk(k1)时命题成立， 即 Pk(1b1)(1b3)(1b2k1) 111 1 1 (11) 3152k1 2k1， 则

14、nk1 时， Pk1(1b1)(1b3)(1b2k1)(1b2k1) 111 1 1 1 1 1 (11)1315 2k1. 2k12k1 2k1 2k211 因为 2k1 ， 2k1 2k1 所以 P2 k1( 2k3)2 2k2 2( 2k3)2 2k1 4k28k44k28k3 1 0， 2k12k1 所以 Pk1 2k3，即当 nk1 时结论成立 2n1都成立 由可得对于任意正整数 n，Pn (1)用数学归纳法证明不等式问题时， 从 nk 到 nk1 的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、 放缩法等， 有时还要考虑与原不等式等价的命题， 运用放缩法时， 要注意放缩

15、的“度” (2)用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等 式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式往往先对 n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成 立的结论，再用数学归纳法证明 已知数列an是各项均不为 0 的等差 1 *数列，Sn为其前 n 项和，且满足 S2n 1 a2 n ，nN ，数列bn满足 bn 2 21，n为奇数， 1 Tn为数列bn的前 n 项和 a，n为偶数， n 1 2 (1)求 an，bn； n (2)试比较 T2n与 2n2 的大小 3 2 a12S1， 1 2解(1)设

16、an首项为 a1，公差为 d，在 S2n1 an中，令 n1,2 得 即 2 2a22S3， 2 a12a1， 2a1d23a13d， n 解得 a12，d4，an4n2. n 1 2 ，n为奇数， bn 2n3，n为偶数. (2)T2n122322243242 2n2 22n3 122242 2n2 4(12n)3n 14nnn1 4n1 43n 2n2n. 233 14 n1 T2n(2n2) (4n4n1) 33 11 当 n1 时， (4n4n1)0， 33 151 当 n3 时， (4n4n1)0， 33 n 猜想当 n2 时，T2n2n2 ， 3 即 n2 时，4n4n1. 下面用

17、数学归纳法证明： 当 n2 时，4216,4219,169，成立； 假设当 nk(k2)时成立，即 4k4k1. 则当 nk1 时，4 k1 44k4(4k1) 16k44k54(k1)1， nk1 时成立 由得，当 n2 时，4n4n1 成立 n 综上，当 n1 时，T2n2n2 . 3 1 合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比 推理归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式类比推理是由此及彼的推理模式； 演绎推理是一种严格的证明方式 2 直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法， 这两种方法也是解决数学问题时 常见的思维方式在实际解题时，通常先用分

18、析法寻求解题思路， 再用综合法有条理地 表述解题过程 3 数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法， 在遇到与正整数有关的数学命 题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明 (1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明 n k1 时要用上 nk 时的假设，其次要明确 nk1 时证明的目标，充分考虑由nk 到 nk1 时， 命题形式之间的区别和联系， 化异为同 中间的计算过程千万不能省略 (2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论. 1 将全体正奇数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第45 行从左向右的第 17 个数为_ 答案

19、2 013 解析观察数阵，记第 n 行的第 1 个数为 an，则有 a2a12， a3a24， a4a36， a5a48， anan12(n1) 将以上各等式两边分别相加，得ana124682(n1)n(n1)， 所以 ann(n1)1，所以 a451 981. 又从第 3 行起数阵每一行的数都构成一个公差为2 的等差数列，则第 45 行从左向右的 第 17 个数为 1 9811622 013. 2 在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项， 11 k(k1) k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得 12 (123012)， 33 1 23 (234123

20、)， 3 1 n(n1) n(n1)(n2)(n1)n(n1) 3 1 相加，得 1223n(n1) n(n1)(n2) 3 类比上述方法，计算“123234n(n1)(n2)”的结果为_ 1 答案n(n1)(n2)(n3) 4 1 解析类比 k(k1) k(k1)(k2)(k1)k(k1)， 3 1 可得到 k(k1)(k2) k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)， 4 1 先逐项裂项，然后累加即得 n(n1)(n2)(n3) 4 (推荐时间：60 分钟) 一、填空题 1 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是_ nn1 答案an 2 解析从图中观察五角星构

21、成规律， n1 时，有 1 个； n2 时，有 3 个； n3 时，有 6 个； n4 时，有 10 个； nn1 所以 an1234n . 2 2 已知结论：在正三角形 ABC 中，若 D 是边 BC 的中点，G 是三角形 ABC 的重心，则AG GD 2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD AO 的中心为 M，四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等，则等于_ OM 答案3 解析设四面体内部一点 O 到四面体各面都相等的距离为 d，则题意知 dOM，设各 11AO 个面的面积为 S， 则由等体积法得： 4 SOM SAM,4OMAMAOOM， 从而 33OM 33. 1 3 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，