高三理科一轮总复习教学案《第三章导数及其应用》

1、第三章导数及其应用 高考导航 考试要求 1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数 yc(c 为常 数)，yx，yx2，yx3，y 数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简 单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数) 的导数. 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系， 能利用 导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次)； (2)了解函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小

2、值(其中多项式函数一般不超过三次)； 会求闭区 间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次). 4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的 基本思想，了解定积分的概念； (2)了解微积分基本定理的含义. 本 章 重 点： 1. 导 数 的概念； 2. 利 用 导数求切线 的斜率； 3. 利 用 导数判断函 数单调性或 重难点击命题展望 导数与定积分 是微积分的核心概 念之一， 也是中学选 学内容中较为重要 的知识之一 .由于其 应用的广泛性， 为我 们解决有关函数、 数 列问题提供了更一 般、更有效的方

3、法 . 因此， 本章知识在高 考题中常在函数、 数 列等有关最值不等 式问题中有所体现， 1 ，yx的导 x 求单调区间； 既考查数形结合思 4. 利 用 导数求极值 或最值； 5. 利 用 导数求实际 问题最优解. 本章难点： 导 数的综合应 用. 想，分类讨论思想， 也考查学生灵活运 用所学知识和方法 的能力.考题可能以 选择题或填空题的 形式来考查导数与 定积分的基本运算 与简单的几何意义， 而以解答 题的形式 来综合考查学生的 分析问题和解决问 题的能力. 知识网络 3.1导数的概念与运算 典例精析 题型一导数的概念 【例 1】 已知函数 f(x)2ln 3x8x， 求lim f(12

4、x)f(1)的值. x x0 【解析】由导数的定义知： f(12x)f(1)f(12x)f(1) 2lim2f(1)20.lim x x0x0 2x y 【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当x0 时， 平均变化率 的极限. x 【变式训练 1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间 t(min)的函数关系可以近似地表示为 f(t) t2 ，则在时刻 t10 min 的降雨强度为() 100 1 A.mm/min 5 1 C.mm/min 2 【解析】选 A. 题型二求导函数 1 B.mm/min 4 D.1 mm/min 【例 2】 求下列函数的导数. (1)yln(

5、x 1x2)； (2)y(x22x3)e 2x ； (3)y 3 x . 1x 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y 1 x (x1x2) x 1x2 1 1x2 1 x1x2 (1) 1x2 . (2)y(2x2)e 2x 2(x22x3)e 2x 2(x2x2)e 2x . 1xx 1x 2 3(3)y () 3 1x(1x)2 1x 21 3 () 3 1x(1x)2 1 2 x3(1x) 3 4 3 【变式训练 2】 如下图， 函数 f(x)的图象是折线段 ABC， 其中 A、 B、 C 的坐标分别为(0,4)， (2,0)， (6,4)， 则 f(f(0)；lim

6、f(1x)f(1) (用数字作答). x x0 【解析】f(0)4，f(f(0)f(4)2， 由导数定义lim f(1x)f(1)f(1). x x0 当 0x2 时，f(x)42x，f(x)2，f(1)2. 题型三利用导数求切线的斜率 【例 3】 已知曲线 C：yx33x22x， 直线 l：ykx，且 l 与 C 切于点 P(x0，y0) (x00)，求直线 l 的方程及切点坐标. y0 3【解析】由 l 过原点，知 k(x00)，又点 P(x0，y0) 在曲线 C 上，y0x03x2 02x0， x0 所以 y0 2 x 3x02. x0 0 26x 2. 而 y3x26x2，k3x0 0

7、 y0 又 k ， x0 26x 2x23x 2，其中 x 0， 所以 3x0 0000 3 解得 x0 . 2 3y01 所以 y0，所以 k ， 8x04 133 所以直线 l 的方程为 y x，切点坐标为( ， ). 428 【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求 得切点的坐标. 【变式训练 3】若函数 yx33x4 的切线经过点(2，2)，求此切线方程. 【解析】设切点为 P(x0，y0)，则由 y3x23 得切线的斜率为 k3x2 03. 所以函数 yx33x4 在 P(x0，y0)处的切线方程为 yy0(3x2 03)(xx0).

8、又切线经过点(2,2)，得 23)(2x )，2y0(3x0 0 而切点在曲线上，得 y0x3 03x04， 由解得 x01 或 x02. 则切线方程为 y2 或 9xy200. 总结提高 1.函数 yf(x)在 xx0处的导数通常有以下两种求法： (1) 导数的定义，即求lim f(x0x)f(x0)y lim 的值； x x0 x x0 (2)先求导函数 f(x)，再将 xx0的值代入，即得 f(x0)的值. 2.求 yf(x)的导函数的几种方法： (1)利用常见函数的导数公式； (2)利用四则运算的导数公式； (3)利用复合函数的求导方法. 3.导数的几何意义：函数 yf(x)在 xx0

9、处的导数 f(x0)，就是函数 yf(x)的曲线在点 P(x0，y0)处的切 线的斜率. 3.2导数的应用(一) 典例精析 题型一求函数 f f(x x)的单调区间 【例 1】已知函数 f(x)x2axaln(x1)(aR R )，求函数 f(x)的单调区间. 【解析】函数 f(x)x2axaln(x1)的定义域是(1，). a2 2x(x) 2a f(x)2xa ， x1x1 a2 2x(x) a2 2 若 a0，则 1，f(x) 0 在(1，)上恒成立，所以a0 时，f(x)的增区间为(1， 2 x1 ). a2 若 a0，则1， 2 a2 2x(x) a2 2 故当 x(1， 时，f(x

10、)0； 2 x1 a2 2x(x) a2 2 当 x，)时，f(x) 0， 2 x1 a2a2 所以 a0 时，f(x)的减区间为(1， ，f(x)的增区间为 ，). 22 a2 【点拨】在定义域 x1 下，为了判定f(x)符号，必须讨论实数 与 0 及 1 的大小，分类讨论是解本 2 题的关键. 【变式训练 1】已知函数 f(x)x2ln xax 在(0,1)上是增函数，求 a 的取值范围. 1 【解析】因为 f(x)2x a，f(x)在(0,1)上是增函数， x 1 所以 2x a0 在(0,1)上恒成立， x 1 即 a2x 恒成立. x 12 又 2x 2 2(当且仅当 x 时，取等号

11、). x2 所以 a2 2， 故 a 的取值范围为(，2 2. 【点拨】当 f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0 在(a，b)上恒成立；同样，当函数 f(x)在区间(a， b)上为减函数时f(x)0 在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了. 题型二求函数的极值 【例 2】已知 f(x)ax3bx2cx(a0)在 x1 时取得极值，且 f(1)1. (1)试求常数 a，b，c 的值； (2)试判断 x1 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【解析】(1)f(x)3ax22bxc. 因为 x1 是函数 f(x)的极值点， 所以 x1 是方程 f(

12、x)0，即 3ax22bxc0 的两根. 2b 0, 3a 由根与系数的关系，得 c 1, 3a 又 f(1)1，所以 abc1. 13 由解得 a ，b0，c . 22 13 (2)由(1)得 f(x) x3x， 22 33 所以当 f(x) x2 0 时，有 x1 或 x1； 22 33 当 f(x) x2 0 时，有1x1. 22 13 所以函数 f(x) x3x 在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数. 22 所以当 x1 时，函数取得极大值 f(1)1；当 x1 时，函数取得极小值 f(1)1. 【点拨】 求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲，f(x)在

13、点xx0处取极值的必要条件是f(x) 0.但是， 当 x0满足 f(x0)0 时， f(x)在点 xx0处却未必取得极值，只有在 x0的两侧 f(x)的导数异号时， x0才是 f(x)的极值点.并且如果 f(x)在 x0两侧满足“左正右负”，则 x0是 f(x)的极大值点，f(x0)是极大值； 如果 f(x)在 x0两侧满足“左负右正”，则 x0是 f(x)的极小值点，f(x0)是极小值. 3 【变式训练 2】定义在 R 上的函数 yf(x)，满足 f(3x)f(x)，(x )f(x)0，若 x1x2，且 x1x2 2 3，则有() A. f(x1)f(x2) C. f(x1)f(x2) B.

14、 f(x1)f(x2) D.不确定 3333 【解析】由 f(3x)f(x)可得 f3(x )f(x )，即f( x)f(x )，所以函数f(x)的图象关于 x 2222 x1x2 3333 对称.又因为(x )f(x)0，所以当 x 时，函数 f(x)单调递减，当 x 时，函数 f(x)单调递增.当 22222 x1x2 33时，f(x 1)f(x2)，因为x1x23，所以 ，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)f(x2). 222 故选 B. 题型三求函数的最值 1 【例 3】 求函数 f(x)ln(1x) x2在区间0,2上的最大值和最小值. 4 【解析】f(x) 舍去.

15、 又由 f(x) 11 x0，且 x0,2，得知函数 f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数 f(x)的 1x 2 1111 x，令 x0，化简为x2x20，解得x12 或 x21，其中x12 1x 2 1x 2 1 单调递减区间是(1,2)，所以f(1)ln 2 为函数 f(x)的极大值.又因为 f(0)0，f(2)ln 310，f(1)f(2)， 4 1 所以，f(0)0 为函数 f(x)在0,2上的最小值，f(1)ln 2 为函数 f(x)在0,2上的最大值. 4 【点拨】求函数 f(x)在某闭区间a，b上的最值，首先需求函数 f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后， 将

16、 f(x)的各个极值与 f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数 f(x)在a，b上的最值. 【变式训练 3】(2008 江苏)f(x)ax33x1 对 x1,1总有 f(x)0 成立，则 a. 【解析】若 x0，则无论 a 为何值，f(x)0 恒成立. 31 当 x(0,1时，f(x)0 可以化为 a 23，xx 3(12x) 31 设 g(x) 23，则 g(x) ， xxx4 11 x(0， )时，g(x)0，x( ，1时，g(x)0. 22 1 因此 g(x)maxg( )4，所以 a4. 2 当 x1,0)时，f(x)0 可以化为 3(12x) 31 a

17、23，此时 g(x) 0， xxx4 g(x)ming(1)4，所以 a4. 综上可知，a4. 总结提高 1.求函数单调区间的步骤是： (1)确定函数 f(x)的定义域 D； (2)求导数 f(x)； (3)根据 f(x)0，且 xD，求得函数 f(x)的单调递增区间；根据f(x)0，且 xD，求得函数 f(x)的单 调递减区间. 2.求函数极值的步骤是： (1)求导数 f(x)； (2)求方程 f(x)0 的根； (3)判断 f(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值. 3.求函数最值的步骤是： 先求 f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处

18、的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值. 3.3导数的应用(二) 典例精析 题型一利用导数证明不等式 1 【例 1】已知函数 f(x) x2ln x. 2 (1)求函数 f(x)在区间1，e上的值域； 2 (2)求证：x1 时，f(x) x3. 3 1 【解析】(1)由已知 f(x)x ， x 当 x1，e时，f(x)0，因此 f(x)在 1，e上为增函数. e21 故 f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1)， 22 1e2 因而 f(x)在区间1，e上的值域为 ， 1. 22 (1x)(1x2x2) 2 3 2 3 1 2 1 (2)证明：令

19、F(x)f(x) x x x ln x，则 F(x)x 2x2， 332xx 因为 x1，所以 F(x)0， 故 F(x)在(1，)上为减函数. 1 又 F(1) 0， 6 故 x1 时，F(x)0 恒成立， 2 即 f(x) x3. 3 【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明 方法. 【变式训练 1】已知对任意实数 x，有 f(x)f(x)，g(x)g(x)，且 x0 时，f(x)0，g(x)0， 则 x0 时() A.f(x)0，g(x)0 C.f(x)0，g(x)0 【解析】选 B. 题型二优化问题 【例 2】 (2009 湖南)某地建一

20、座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距 m 米，余下工程只需建两端 桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程 费用为(2 x)x 万元.假设桥墩等距离分布， 所有桥墩都视为点， 且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解析】(1)设需新建 n 个桥墩，则(n1)xm， m 即 n 1. x 所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x mm 256( 1) (2 x)x xx 256m m x2m256. x 256m

21、1 1m3 2(2)由(1)知 f(x) 2 mx 2(x 2 512). x22x B.f(x)0，g(x)0 D.f(x)0，g(x)0 令 f(x)0，得 x 512.所以 x64. 当 0x64 时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64x640 时，f(x)0，f(x)在区间(64,640) 内为增函数. 所以 f(x)在 x64 处取得最小值. m640 此时 n 119. x64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 【变式训练 2】(2010 上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4 个全等的 矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝，骨架把圆柱底面8

22、等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的 侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径 r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值 (结果精确到 0.01 平方米). 【解析】设圆柱底面半径为 r，高为 h， 则由已知可得 4(4r2h)9.6，所以 2rh1.2. S2.4r3r2，h1.22r0，所以 r0.6. 所以 S2.4r3r2(0r0.6). 令 f(r)2.4r3r2，则 f(r)2.46r. 令 f(r)0 得 r0.4.所以当 0r0.4，f(r)0； 当 0.4r0.6，f(r)0. 所以 r0.4 时 S 最大，Smax1.51. 题型三导数与函数零点问题 1 【例 3】

23、 设函数 f(x) x3mx2(m24)x，xR . 3 (1)当 m3 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0，且 .若对任意的 x，都有 f(x)f(1)恒成 立，求实数 m 的取值范围. 1 【解析】(1)当 m3 时，f(x) x33x25x，f(x)x26x5. 3 22 因为 f(2) ，f(2)3，所以切点坐标为(2， )，切线的斜率为3， 33 2 则所求的切线方程为 y 3(x2)，即 9x3y200. 3 (2)f(x)x22mx(m24). 3 2 令 f(x)0，得 xm2 或 xm2. 当 x(，m2)

24、时，f(x)0，f(x)在(，m2)上是增函数； 当 x(m2，m2)时，f(x)0，f(x)在(m2，m2)上是减函数； 当 x(m2，)时，f(x)0，f(x)在(m2，)上是增函数. 1 因为函数 f(x)有三个互不相同的零点 0，且 f(x) xx23mx3(m24)， 3 (3m)212(m2 4) 0, 所以 2 3(m 4) 0. 解得 m(4，2)(2,2)(2,4). 当 m(4，2)时，m2m20， 所以 m2m20. 此时 f()0，f(1)f(0)0，与题意不合，故舍去. 当 m(2,2)时，m20m2， 所以 m20m2. 因为对任意的 x，都有 f(x)f(1)恒成

25、立， 所以 1. 所以 f(1)为函数 f(x)在，上的最小值. 因为当 xm2 时，函数 f(x)在，上取最小值， 所以 m21，即 m1. 当 m(2,4)时，0m2m2， 所以 0m2m2. 因为对任意的 x，都有 f(x)f(1)恒成立， 所以 1. 所以 f(1)为函数 f(x)在，上的最小值. 因为当 xm2 时，函数 f(x)在，上取最小值， 所以 m21，即 m1(舍去). 综上可知，m 的取值范围是1. 【变式训练 3】已知 f(x)ax2(aR )，g(x)2ln x. (1)讨论函数 F(x)f(x)g(x)的单调性； (2)若方程 f(x)g(x)在区间 2，e上有两个

26、不等解，求a 的取值范围. 【解析】(1)当 a0 时，F(x)的递增区间为( 当 a0 时，F(x)的递减区间为(0，). 11 (2) ln 2， ). 2e 11 ，)，递减区间为(0， )； aa 总结提高 在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题， 再利用导数确定函数单调性、极值或最值. 3.4定积分与微积分基本定理 典例精析 题型一求常见函数的定积分 【例 1】 计算下列定积分的值. (1)(x1)5dx； 1 2 (2) 2 0 (xsin x)dx. 1 【解析】(1)因为 (x1)6(x1)5， 6 所以 1 2 (x1)5dx

27、1 (x1)6 6 2 1 1 . 6 x2 (2)因为( cos x)xsin x， 2 所以 2 0 x (xsin x)dx(cosx) 2 2 2 1 2 1. 8 【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值； (2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分； (4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论： 若 f(x)是偶函数时，则 a a f(x)dx2f(x)dx； 0 a 若 f(x)是奇函数时，则 【变式训练 1】求 【解析】5 5 5 a a f(x)dx0. 5 (3x

28、34sin x)dx. (3x34sin x)dx 表示直线 x5，x5，y0 和曲线y3x34sin x 所围成的曲边梯形面 积的代数和，且在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号. 又 f(x)3(x)34sin(x) (3x34sin x)f(x). 所以 f(x)3x34sin x 在5,5上是奇函数， 所以 所以 05 (3x34sin x)dx(3x34sin x)dx， 50 5 (3x34sin x)dx 5 0 34sin x)dx 5 (3x34sin x)dx0.(3x 5 0 题型二利用定积分计算曲边梯形的面积 【例 2】求抛物线 y22x 与直线 y4x

29、 所围成的平面图形的面积. 【解析】方法一：如图， y 2 2x, 由 y 4 x, 得交点 A(2,2)，B(8，4)， 则 S 2x( 2x)dx4x( 2x)dx 28 4 2 3x22 23 2x(4xx2) 02 233 2 0 8 2 16 38 18. 33 y2 2 方法二：S (4y) dy 2 4 (4y 1 2 1 3 2 y y )18. 4 26 【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y 为积分变量时，应注意将曲 线方程变为 x (y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y 的取值. x1 【变式训练 2】设 k是一个正整数，(1 )k的展开式中

30、 x3的系数为，则函数 yx2 k16 与 ykx3 的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为. x r【解析】Tr1Cr k( ) ，令 k r3，得 x 的系数为 3 C3 k 3 1 k y x2, 1 ，解得 k4.由 得函数 yx2与 y 16 y 4x3 4x3 的图象的交点的横坐标分别为1,3. 3 3 4 1 所以阴影部分的面积为 S (4x3x2)dx(2x23x x3) . 1 3 31 题型三定积分在物理中的应用 【例 3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v(t)1t2，初始位置为 x01，求它在前 2 秒内所走过的 路程及 2 秒末所在的位置； (2)一物体按规律 xbt3作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方， 试求物体由 x0 运动到 xa 时阻力所做的功. 【解析】(1)当