高考数学30道压轴题训练(含答案)

1、2012 年高考数学 30 道压轴题训练(答案) 1椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为2 2，相应于焦点F(c,0)（c 0）的准线l与 x 轴相交于点 A，OF 2 FA ，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若。，求直线PQ的方程； uuu ruuu r （3）设AP AQ（1） ，过点P且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ，证明 uuuu ruuu r FM FQ. (14 分) 2 2 已知函数 （1） f (x) 对任意实数 x 都有 f (x 1) f (x) 1， ，且当x0,2时， f (x) | x 1|。 。 x2k,2k

2、2(k Z)时，求f (x) 的表达式。 f (x) 是偶函数。（2）证明 （3）试问方程 f (x)log 4 1 指出实数根的个数； 若没有实数根， 0 是否有实数根？若有实数根， x 2 请说明理由。当 3 （本题满分 12 分）如图，已知点 F（0，1） ，直线 L：y=-2，及圆 C：x (y 3)2 1。 （1）若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1，求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G（x1，y1） 、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值； 10 （3）过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线，切点为 A、B，要

3、使四边形 PACB的面积 S 最小，求点 P 的 坐标及 S 的最小值。 -6 4 8 y 6 C 2 F x-15 -10-5O -2 5 X 10 -4 -8x2 2 4.以椭圆 2 y 1（a1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证 a -10 能作出多少个符合条件的三角形. 5已知，二次函数 f（x）ax2bxc 及一次函数 g（x）bx，其中 a、b、cR R，abc，ab c0. （）求证：f（x）及 g（x）两函数图象相交于相异两点； 围. 6已知过函数 f（x）=x （1）求 a、b 的值； （2）求 A 的取值范围，使不等式 f（x）A1987 对于

4、x1，4恒成立； （3）令g 3 （）设 f（x） 、g（x）两图象交于 A、B 两点，当 AB 线段在 x 轴上射影为 A1B1时，试求|A1B1|的取值范 ax21的图象上一点 B（1，b）的切线的斜率为3。 x fx3x2 tx 1。是否存在一个实数 t，使得当x(0,1时，g（x）有最大 值 1？ 7已知两点 M（2，0） ，N（2，0） ，动点P 在 y 轴上的射影为 H，PH是 2 和PMPN的等比 中项。 （1）求动点 P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2）若以点 M、N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q，求实轴最长的双曲线 C 的方程。 8已知数列a

5、n满足a1 3a(a 0),a n1 2a n a2a a ,设b n n 2a n a n a （1）求数列bn的通项公式； （2）设数列bn的前项和为 Sn，试比较 Sn与 9已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 （）求双曲线 C 的方程； （）设直线 7 8 的大小，并证明你的结论. A(0,2)为圆心，1 y x对称 y mx1与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，另一直线l 经过 M（-2，0）及 AB 的中点，求直线l在 y 轴上的截距 b 的取值范围； （）若 Q 是双曲线 C 上的任

6、一点，F 1F2 为双曲线 C 的左，右两个焦点，从F1引F 1QF2 的 平分线的垂线，垂足为 N，试求点 N 的轨迹方程 10. 1 f (x) 对任意xR都有 f (x) f (1 x) . 2 11n1 f( )和f( )f() (nN )的值 2nn 12n1 （）数列 an 满足：an= f(0)+f( )f( )f()f( 1)，数列an 是 nnn （）求 等差数列吗？请给予证明； （）令bn 4 4an1 222 ,Tnb 1 2 b2b3bn,S n 32 16 . n y A 试比较T n与 S n 的大小 11.： 如图， 设 OA 、 OB 是过抛物线 y22px 顶

7、点 O 的两条弦， 且OA OB 0，求以 OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹.(13分) 9 12. 知函数 f (x)log 3(x22mx2m 2 2 )的定义域为 R m 3 (1) 求实数 m 的取值集合 M ； (2) 求证：对 m M 所确定的所有函数 f (x)中，其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2 的 m 的值和 x的值. 13. 设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 , ( (1).求 f( )和f( )的值。 （2） 。证明：f(x) 在 , 上是增函数。 （3） 。对任意正数 x1、x2, 求证： 14已知数列an各项均为正数，

8、Sn为其前 n 项的和. 对于任意的n N ，都有4Sn I、求数列 II 、若2 15.(12 分)已知点 H （3，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满足 n O P x B ), 函数 f(x)= 4xt. x21 f(x1 x 2 xx 2)f(1)2 x 1 x 2 x 1 x 2 *a n 1 2 . a n 的通项公式. tS n 对于任意的n N* 恒成立，求实数t的最大值. HPPM =0，PM= 3 MQ ， 2 （1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C； （2）过点 T（1，0）作直线 l 与轨迹 C

9、交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E（x0,0） ，使得ABE 为等边三角形，求 x0的值. 16.（14 分）设 f1(x)= f n (0) 12 ,定义 fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中 nN N*. f n (0) 21 x (1)求数列an的通项公式； 4n2 n (2)若 T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn=,其中 nN N*,试比较 9T2n与 Qn的大小. 24n 4n 1 17 已知a=（x,0） ，b=（1，y） ， （a+ 3b ）（a 3b ） （I） 求点（x，y）的轨迹 C 的方程； （II） 若直线 L：y=kx+m(m0)与曲

10、线 C 交于 A、B 两点，D（0，1） ，且有|AD|=|BD|，试求 m 的取值范围 18已知函数 1 f (x) 对任意实数 p、q 都满足 f (pq) f (p) f (q),且f (1). 3 f (n) 的表达式； 3 (n N ),求证：a k ; 4 k1 (nN ), S n b k ,试比较 k1 n （1）当nN时，求 n （2）设an nf (n) nf (n1) （3）设bn f (n) 1 k1 S k n 与 6 的大小 19已知函数f (x) log a x(a 0且a 1),若数列：2, f (a 1 ), f (a 2 ),， f (a n ),2n 4(

11、n N) 成等差数列. （1）求数列an的通项a n ； （2）若0 （3）若a 20已知OFQ 的面积为2 （1）设 a 1,数列a n 的前 n 项和为 S n，求 limS n ； n 2,令b n a n f (a n )，对任意n N,都有b n f1(t) ,求实数 t 的取值范围. 6,且OF FQ m. 6 m 4 6,求向量OF与FQ的夹角 正切值的取值范围； 6 1)c2， 4 （2）设以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点 Q（如图） ，|OF | c,m ( 当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的方程. （3）设 F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若 A、B 分别为此双

12、曲线渐近线 l1、l2上的动 点，且 2|AB|=5|F1F|，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 21、已知函数 f (x) 3x2bx 1是偶函数，g(x) 5x c是奇函数，正数数列a n 满足 an1, f(an an1) g(an1an an2)1 求 若 a n 的通项公式； a n 的前n项和为S n ，求limSn. n 22、直角梯形 ABCD 中DAB90，ADBC，AB2，AD 经过点 D （1）建立适当坐标系，求椭圆 C 的方程； （2）若点 E 满足 EC 31 ，BC椭圆 C 以 A、B 为焦点且 22 1 AB ，问是否存在不平行 2 A

13、B 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点且 | ME | NE |，若存在，求出直线 l 与 AB 夹角的范围，若不存在，说明理由 23、 设函数 f (x) 1 , x4 2 f (x) f (1 x)为定值； （1）求证：对一切xR, （2）记an 12n 1 f (0) f ( ) f ( ) f () f (1) nnn (n N*),求数列a n 的通 项公式及前 n 项和. 24. 已知函数 (I) f (x) 是定义在 R 上的偶函数.当 X0 时, f (x) = 7x . 2x x 1 求当 X0. m , 13k2 设 x1,x2为方程*的两根，则 x1+x2= 6k

14、m ，x0= x 1 x 2 3km ,y0=kx0+m= 2213k213k 故 AB 中点 M 的坐标为（ 3km ， 13k2 m ）, 213k m =（ 1 ） 3km ,(x) k 13k213k2 线段 AB 的垂直平分线方程为 y 将 D（0，1）坐标代入，化简得4m=3k21, m 213k2 0, 故 m、k 满足消去 k2得m24m0, 解得 m4. 2 4m 3k 1, 又4m=3k211, 18(1)解由 已 知 得f 11 m , 故 m(,0)(4,+) 44 （分） 11 (n) f (n1) f (1) f (n1) ( )2 f (n2) L 33 11 (

15、 )n1 f (1) ( )n (4分 ) 33 (2) 证 明由 (1) 可 知 1 a n n( )n,设Tn 3 a k1 n k 则Tn 111 12( )2L n( )n. 333 11 2 1 3 1 n1 1 T n 1( ) 2( ) L n1 n( ) 3333 3 211111 T n ( )2( )3+( )nn( )n1 333333 n 两式相减得 1 1 n 1 n11( )n( ),Tn 2 33 a k k1 n31 1 n1 n1 n 3 ( )( ) （9 分） 44 3234 （3）解 n11n(n1) , 由（1）可知bn n. S n b k (12L

16、 n) 336 k1 则 1611 =6( ), S n n(n1)nn1 故有 1111111 6(1L ) =6(1) 6 （分） 223nn1n1 k1 S k n 19 （1）2n 4 2 (n 2 1)d,d 2, f (an) 2 (n 11)2 2n 2,an a2n2 a4(1 a2n)a4 . （2）limS n lim 22 nn 1 a1 a （3）bn a n f (a n ) (2n 2)a2n2 (2n 2)22n2 (n 1)22n3. b n1 n 2 4 1 b n n 1 b n1 b n . 1b n 为递增数列bn中最小项为b 1 225 26, f(t

17、) 2t,26 2t,t 6. 1 |OF | FQ |sin() 2 6 4 6 20（1）tan,6 m 4 6 1 tan 4. 2 m |OF | FQ | cos m 4 arctan4. x2y2 （2）设所求的双曲线方程为 2 2 1(a 0,b 0),Q(x 1 , y 1 ),则FQ (x 1 c, y 1 ) ab S OFQ 14 6 |OF | y 1 | 2 6, y 1 2c 又由 OF FQ (c,0)(x 1 c, y 1 ) 66963c2 222(x 1 c)c (1)c ,x 1 c,|OQ |x 1 y 1 12. 448c2 当且仅当 c=4 时，|O

18、Q|最小，此时 Q 的坐标为( 6, 6)或( 6, 6) 6 6 2 2 1 ab a2 b216 2 a 4 2 b 12 x2y2 1.所求方程为 412 （3）设A(x1, y1),B(x2, y2) l 1 的方程为y 3x,l2的方程为y 3x 则有y1 3x 1 y 2 3x 2 2| AB | 5| FF 1 |2 (x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2 52c 40 (x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2 20 设M(x, y)由得 y 1 y 2 3(x 1 x 2 ) y 1 y 2 3(x 1 x 2 )2y 3(x 1 x 2 ), y 1 y 2 2 3

19、xx 1 x 2 2y 3 ， y2x2 y 1 y 2 2 3x 代入得( ) (2 3x) 400 1.M 100 300 3 3 2y 22 的轨迹为 焦点在 y 轴上的椭圆. 21、解： （1） f (x)为偶函数 f (x) f (x)b 0f (x) 3x21 g(x)为奇函数g(x) g(x)c 0g(x) 5x f (a n1 a n ) g(a n1 a n a n ) 3(a n1 a n )215(a n1 a n a n ) 1 223a n1 a n1 a n 2a n 0(a n1 a n )(3a n1 2a n ) 0 22 a n1 2 a n 3 an是以a

20、n1为首项，公比为 （2）lim 22 n1 的等比数列. a n ( ) 33 n sn 1 2 1 3 3 22、解析： （1）如图，以AB 所在直线为 x 轴，AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系，A（-1，0） ，B（1， 0） x2y2 设椭圆方程为： 2 2 1 ab b2 令x C y0 c C 1 a 2 2 b 3 b 3 a2 x2y2 1 椭圆 C 的方程是： 43 （2）EC 11 AB E(0，) ，lAB 时不符， 22 设 l：ykxm（k0 ） 由 y kxm 2 (34k2)x28kmx4m212 0 x y2 1 3 4 0 64k2m24(34k2)(4m

21、212) 0 4k23 m2 M、N 存在 设 M（ x 1 ， y 1 ） ，N（x2， y 2 ） ，MN 的中点 F（x0， y 0 ） x 0 x 1 x 2 4km 23 4k2 ， y 0 kx 0 m 3m 34k2 | ME | NE | MN EF y 0 3m11 2 2 1 34k22 1 m 34k 4km x 0 kk2 234k 34k2 2) 4k 3 ( 2 2 4k 23 4 0 k 21 1 k 1且k 0 l 与 AB 的夹角的范围是(0， 1 4 (6) x11141 23、 （1）f (x) f (1 x) 1x x . xx24 24 24 24 2

22、4 (2)由(1)知f (0) f (1) 1 , f (1) f (0) . 2 11n 112n 21 , f ( ) f () , f ( ) f () 2nn2nn2 将上述n 1个式子相加得2a n n 1n 1 ,a n . 24 11 n 3n(n 3) S n 23 4 (n 1) n . 4428 (10) (12) 24、 （1）当 X0 时, （2）函数 f (x) 7x （3 分） 2x x 1 （证明略）（9 分） y = f (x) (X0)在 1, 是增函数； （3）因为函数 又因为x 2 y = f (x) (X0)在 1, 是增函数，由 x 2得 f (x)

23、f (2) 2 ； 7x 0，所以 2 f (x) 0 ； 2x x 1 x 1 0,7x 0，所以 因为x1,x2 0，所以 2 f (x 1 ) 0 ，且 2 f (x2) 0，即0 f (x2) 2， f (x 1 ) f (x 2 )|2. （14 分）所以，-2f(x 1) f(x2) 2 即| 25、解：由题意易得 M(-1,0) 设过点 M 的直线方程为y k(x 1)(k 0)代入 y2 4x 得 k2x2 (2k2 4)x k2 0（） 再设（ ，） ，（，） 则 4 2k2 x2= k2 ， x2= yy2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x2)+2k= 4 k 2k2

24、2 , ）的中点坐标为（ 2kk 212 k2 (x ) ，令y 0得那么线段的垂直平分线方程为 y kkk2 k2 2k2 22 x x 1 ，即 0 k2k2k2 又方程（）中(2k 2 4)2 4k4 0,0 k21, 3 AB 2 2 2 2,x 0 3 2k 若ABD 是正三角形，则需点 D 到 AB 的距离等于 16(1 k2)(1 k2) AB (1 k )(x 1 x 2 ) (1 k ) (x 1 x 2 ) 4x 1 x 2 k4 2 222 点到 AB 的距离 d= k2 2 k k 2k 1 k2 2k2 2 k 1 k2 2 1 k2 k 4(k21)3 16(1 k

25、4)3 2 据d AB 得： 4k2k44 2 4k 4 k23 0,(k21)(4k23) 0，k2 3 2 ，满足0 k 1 4 ABD 可以为正，此时x0 11 3 26、解：设 E（x，y） ，D（x0，y0） ABCD 是平行四边形， AB AD 2AE ， （4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）（x0+6，y0）=(2x+4，2y) x 0 6 2x 4 x 0 2x 2 y 2yy 2y 0 0 又 AD 2,(x 0 2)2 y 0 4,(2x 2 2)2(2y)2 4 2 2 即：x y 21 2 ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程为x 设过 A 的直线方程为 y

26、21 y k(x 2) 以 A、B 为焦点的椭圆的焦距 2C=4，则 C=2 x2y2x2y2 1（*） 设椭圆方程为 2 2 1 ，即 2 2abaa 4 将y k(x 2)代入（*）得 x2k2(x 2)2 1 a2a2 4 即 (a2 a2k2 4)x2 4a2k2x 4a2k2 a4 4a2 0 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2）则 4a2k24a2k2 a4 4a2 x 1 x 2 ,x 1 x 2 4 a2 a2k2a2 a2k2 4 MN 中点到 Y 轴的距离为 4 ，且 MN 过点 A，而点 A 在 Y 轴的左侧，MN 中点也在 Y 轴的左侧。 3 2a2k2488 a2

27、 222,a k 2a 8 ，x1 x 2 ,x 1 x 2 22233a a k 43 84 x 2 )2 (x 1 x 2 )2 4x 1 x 2 ( )2(8 a2) 33 88 MN 2 1 k2x 1 x 2 2 33 64324 2 128 22222 (1 k )(即 12a 12a k32k160a ) 9339 (x1 9a264 12a 12(2a 8) 32k 160 k 8 2222 9a264 2a28 ， 9a480a2 64 0 a 8 2 (a28)(9a28) 0 ，a c 2，a2 8 b2 a2c2 8 4 4 x2y2 1 所求椭圆方程为 84 由可知点 E 的轨迹是圆x 2 y21 y 0 y 1 设(x0, y0)是圆上的任一点，则过(x0, y0)点的切线方程是x0 x