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文档简介

1、2012 年高考数学 30 道压轴题训练(答案) 1椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为2 2,相应于焦点F(c,0)(c 0)的准线l与 x 轴相交于点 A,OF 2 FA ,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若。,求直线PQ的方程; uuu ruuu r (3)设AP AQ(1) ,过点P且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ,证明 uuuu ruuu r FM FQ. (14 分) 2 2 已知函数 (1) f (x) 对任意实数 x 都有 f (x 1) f (x) 1, ,且当x0,2时, f (x) | x 1|。 。 x2k,2k

2、2(k Z)时,求f (x) 的表达式。 f (x) 是偶函数。(2)证明 (3)试问方程 f (x)log 4 1 指出实数根的个数; 若没有实数根, 0 是否有实数根?若有实数根, x 2 请说明理由。当 3 (本题满分 12 分)如图,已知点 F(0,1) ,直线 L:y=-2,及圆 C:x (y 3)2 1。 (1)若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1,求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G(x1,y1) 、H(x2,y2)两点,求证:x1x2为定值; 10 (3)过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线,切点为 A、B,要

3、使四边形 PACB的面积 S 最小,求点 P 的 坐标及 S 的最小值。 -6 4 8 y 6 C 2 F x-15 -10-5O -2 5 X 10 -4 -8x2 2 4.以椭圆 2 y 1(a1)短轴一端点为直角顶点,作椭圆内接等腰直角三角形,试判断并推证 a -10 能作出多少个符合条件的三角形. 5已知,二次函数 f(x)ax2bxc 及一次函数 g(x)bx,其中 a、b、cR R,abc,ab c0. ()求证:f(x)及 g(x)两函数图象相交于相异两点; 围. 6已知过函数 f(x)=x (1)求 a、b 的值; (2)求 A 的取值范围,使不等式 f(x)A1987 对于

4、x1,4恒成立; (3)令g 3 ()设 f(x) 、g(x)两图象交于 A、B 两点,当 AB 线段在 x 轴上射影为 A1B1时,试求|A1B1|的取值范 ax21的图象上一点 B(1,b)的切线的斜率为3。 x fx3x2 tx 1。是否存在一个实数 t,使得当x(0,1时,g(x)有最大 值 1? 7已知两点 M(2,0) ,N(2,0) ,动点P 在 y 轴上的射影为 H,PH是 2 和PMPN的等比 中项。 (1)求动点 P 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线; (2)若以点 M、N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q,求实轴最长的双曲线 C 的方程。 8已知数列a

5、n满足a1 3a(a 0),a n1 2a n a2a a ,设b n n 2a n a n a (1)求数列bn的通项公式; (2)设数列bn的前项和为 Sn,试比较 Sn与 9已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 为半径的圆相切,又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 ()求双曲线 C 的方程; ()设直线 7 8 的大小,并证明你的结论. A(0,2)为圆心,1 y x对称 y mx1与双曲线 C 的左支交于 A,B 两点,另一直线l 经过 M(-2,0)及 AB 的中点,求直线l在 y 轴上的截距 b 的取值范围; ()若 Q 是双曲线 C 上的任

6、一点,F 1F2 为双曲线 C 的左,右两个焦点,从F1引F 1QF2 的 平分线的垂线,垂足为 N,试求点 N 的轨迹方程 10. 1 f (x) 对任意xR都有 f (x) f (1 x) . 2 11n1 f( )和f( )f() (nN )的值 2nn 12n1 ()数列 an 满足:an= f(0)+f( )f( )f()f( 1),数列an 是 nnn ()求 等差数列吗?请给予证明; ()令bn 4 4an1 222 ,Tnb 1 2 b2b3bn,S n 32 16 . n y A 试比较T n与 S n 的大小 11.: 如图, 设 OA 、 OB 是过抛物线 y22px 顶

7、点 O 的两条弦, 且OA OB 0,求以 OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹.(13分) 9 12. 知函数 f (x)log 3(x22mx2m 2 2 )的定义域为 R m 3 (1) 求实数 m 的取值集合 M ; (2) 求证:对 m M 所确定的所有函数 f (x)中,其函数值最小的一个是 2,并求使函数值等于 2 的 m 的值和 x的值. 13. 设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 , ( (1).求 f( )和f( )的值。 (2) 。证明:f(x) 在 , 上是增函数。 (3) 。对任意正数 x1、x2, 求证: 14已知数列an各项均为正数,

8、Sn为其前 n 项的和. 对于任意的n N ,都有4Sn I、求数列 II 、若2 15.(12 分)已知点 H (3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足 n O P x B ), 函数 f(x)= 4xt. x21 f(x1 x 2 xx 2)f(1)2 x 1 x 2 x 1 x 2 *a n 1 2 . a n 的通项公式. tS n 对于任意的n N* 恒成立,求实数t的最大值. HPPM =0,PM= 3 MQ , 2 (1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (2)过点 T(1,0)作直线 l 与轨迹 C

9、交于 A、B 两点,若在 x 轴上存在一点 E(x0,0) ,使得ABE 为等边三角形,求 x0的值. 16.(14 分)设 f1(x)= f n (0) 12 ,定义 fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中 nN N*. f n (0) 21 x (1)求数列an的通项公式; 4n2 n (2)若 T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn=,其中 nN N*,试比较 9T2n与 Qn的大小. 24n 4n 1 17 已知a=(x,0) ,b=(1,y) , (a+ 3b )(a 3b ) (I) 求点(x,y)的轨迹 C 的方程; (II) 若直线 L:y=kx+m(m0)与曲

10、线 C 交于 A、B 两点,D(0,1) ,且有|AD|=|BD|,试求 m 的取值范围 18已知函数 1 f (x) 对任意实数 p、q 都满足 f (pq) f (p) f (q),且f (1). 3 f (n) 的表达式; 3 (n N ),求证:a k ; 4 k1 (nN ), S n b k ,试比较 k1 n (1)当nN时,求 n (2)设an nf (n) nf (n1) (3)设bn f (n) 1 k1 S k n 与 6 的大小 19已知函数f (x) log a x(a 0且a 1),若数列:2, f (a 1 ), f (a 2 ),, f (a n ),2n 4(

11、n N) 成等差数列. (1)求数列an的通项a n ; (2)若0 (3)若a 20已知OFQ 的面积为2 (1)设 a 1,数列a n 的前 n 项和为 S n,求 limS n ; n 2,令b n a n f (a n ),对任意n N,都有b n f1(t) ,求实数 t 的取值范围. 6,且OF FQ m. 6 m 4 6,求向量OF与FQ的夹角 正切值的取值范围; 6 1)c2, 4 (2)设以 O 为中心,F 为焦点的双曲线经过点 Q(如图) ,|OF | c,m ( 当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的方程. (3)设 F1为(2)中所求双曲线的左焦点,若 A、B 分别为此双

12、曲线渐近线 l1、l2上的动 点,且 2|AB|=5|F1F|,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 21、已知函数 f (x) 3x2bx 1是偶函数,g(x) 5x c是奇函数,正数数列a n 满足 an1, f(an an1) g(an1an an2)1 求 若 a n 的通项公式; a n 的前n项和为S n ,求limSn. n 22、直角梯形 ABCD 中DAB90,ADBC,AB2,AD 经过点 D (1)建立适当坐标系,求椭圆 C 的方程; (2)若点 E 满足 EC 31 ,BC椭圆 C 以 A、B 为焦点且 22 1 AB ,问是否存在不平行 2 A

13、B 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点且 | ME | NE |,若存在,求出直线 l 与 AB 夹角的范围,若不存在,说明理由 23、 设函数 f (x) 1 , x4 2 f (x) f (1 x)为定值; (1)求证:对一切xR, (2)记an 12n 1 f (0) f ( ) f ( ) f () f (1) nnn (n N*),求数列a n 的通 项公式及前 n 项和. 24. 已知函数 (I) f (x) 是定义在 R 上的偶函数.当 X0 时, f (x) = 7x . 2x x 1 求当 X0. m , 13k2 设 x1,x2为方程*的两根,则 x1+x2= 6k

14、m ,x0= x 1 x 2 3km ,y0=kx0+m= 2213k213k 故 AB 中点 M 的坐标为( 3km , 13k2 m ), 213k m =( 1 ) 3km ,(x) k 13k213k2 线段 AB 的垂直平分线方程为 y 将 D(0,1)坐标代入,化简得4m=3k21, m 213k2 0, 故 m、k 满足消去 k2得m24m0, 解得 m4. 2 4m 3k 1, 又4m=3k211, 18(1)解由 已 知 得f 11 m , 故 m(,0)(4,+) 44 (分) 11 (n) f (n1) f (1) f (n1) ( )2 f (n2) L 33 11 (

15、 )n1 f (1) ( )n (4分 ) 33 (2) 证 明由 (1) 可 知 1 a n n( )n,设Tn 3 a k1 n k 则Tn 111 12( )2L n( )n. 333 11 2 1 3 1 n1 1 T n 1( ) 2( ) L n1 n( ) 3333 3 211111 T n ( )2( )3+( )nn( )n1 333333 n 两式相减得 1 1 n 1 n11( )n( ),Tn 2 33 a k k1 n31 1 n1 n1 n 3 ( )( ) (9 分) 44 3234 (3)解 n11n(n1) , 由(1)可知bn n. S n b k (12L

16、 n) 336 k1 则 1611 =6( ), S n n(n1)nn1 故有 1111111 6(1L ) =6(1) 6 (分) 223nn1n1 k1 S k n 19 (1)2n 4 2 (n 2 1)d,d 2, f (an) 2 (n 11)2 2n 2,an a2n2 a4(1 a2n)a4 . (2)limS n lim 22 nn 1 a1 a (3)bn a n f (a n ) (2n 2)a2n2 (2n 2)22n2 (n 1)22n3. b n1 n 2 4 1 b n n 1 b n1 b n . 1b n 为递增数列bn中最小项为b 1 225 26, f(t

17、) 2t,26 2t,t 6. 1 |OF | FQ |sin() 2 6 4 6 20(1)tan,6 m 4 6 1 tan 4. 2 m |OF | FQ | cos m 4 arctan4. x2y2 (2)设所求的双曲线方程为 2 2 1(a 0,b 0),Q(x 1 , y 1 ),则FQ (x 1 c, y 1 ) ab S OFQ 14 6 |OF | y 1 | 2 6, y 1 2c 又由 OF FQ (c,0)(x 1 c, y 1 ) 66963c2 222(x 1 c)c (1)c ,x 1 c,|OQ |x 1 y 1 12. 448c2 当且仅当 c=4 时,|O

18、Q|最小,此时 Q 的坐标为( 6, 6)或( 6, 6) 6 6 2 2 1 ab a2 b216 2 a 4 2 b 12 x2y2 1.所求方程为 412 (3)设A(x1, y1),B(x2, y2) l 1 的方程为y 3x,l2的方程为y 3x 则有y1 3x 1 y 2 3x 2 2| AB | 5| FF 1 |2 (x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2 52c 40 (x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2 20 设M(x, y)由得 y 1 y 2 3(x 1 x 2 ) y 1 y 2 3(x 1 x 2 )2y 3(x 1 x 2 ), y 1 y 2 2 3

19、xx 1 x 2 2y 3 , y2x2 y 1 y 2 2 3x 代入得( ) (2 3x) 400 1.M 100 300 3 3 2y 22 的轨迹为 焦点在 y 轴上的椭圆. 21、解: (1) f (x)为偶函数 f (x) f (x)b 0f (x) 3x21 g(x)为奇函数g(x) g(x)c 0g(x) 5x f (a n1 a n ) g(a n1 a n a n ) 3(a n1 a n )215(a n1 a n a n ) 1 223a n1 a n1 a n 2a n 0(a n1 a n )(3a n1 2a n ) 0 22 a n1 2 a n 3 an是以a

20、n1为首项,公比为 (2)lim 22 n1 的等比数列. a n ( ) 33 n sn 1 2 1 3 3 22、解析: (1)如图,以AB 所在直线为 x 轴,AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系,A(-1,0) ,B(1, 0) x2y2 设椭圆方程为: 2 2 1 ab b2 令x C y0 c C 1 a 2 2 b 3 b 3 a2 x2y2 1 椭圆 C 的方程是: 43 (2)EC 11 AB E(0,) ,lAB 时不符, 22 设 l:ykxm(k0 ) 由 y kxm 2 (34k2)x28kmx4m212 0 x y2 1 3 4 0 64k2m24(34k2)(4m

21、212) 0 4k23 m2 M、N 存在 设 M( x 1 , y 1 ) ,N(x2, y 2 ) ,MN 的中点 F(x0, y 0 ) x 0 x 1 x 2 4km 23 4k2 , y 0 kx 0 m 3m 34k2 | ME | NE | MN EF y 0 3m11 2 2 1 34k22 1 m 34k 4km x 0 kk2 234k 34k2 2) 4k 3 ( 2 2 4k 23 4 0 k 21 1 k 1且k 0 l 与 AB 的夹角的范围是(0, 1 4 (6) x11141 23、 (1)f (x) f (1 x) 1x x . xx24 24 24 24 2

22、4 (2)由(1)知f (0) f (1) 1 , f (1) f (0) . 2 11n 112n 21 , f ( ) f () , f ( ) f () 2nn2nn2 将上述n 1个式子相加得2a n n 1n 1 ,a n . 24 11 n 3n(n 3) S n 23 4 (n 1) n . 4428 (10) (12) 24、 (1)当 X0 时, (2)函数 f (x) 7x (3 分) 2x x 1 (证明略)(9 分) y = f (x) (X0)在 1, 是增函数; (3)因为函数 又因为x 2 y = f (x) (X0)在 1, 是增函数,由 x 2得 f (x)

23、f (2) 2 ; 7x 0,所以 2 f (x) 0 ; 2x x 1 x 1 0,7x 0,所以 因为x1,x2 0,所以 2 f (x 1 ) 0 ,且 2 f (x2) 0,即0 f (x2) 2, f (x 1 ) f (x 2 )|2. (14 分)所以,-2f(x 1) f(x2) 2 即| 25、解:由题意易得 M(-1,0) 设过点 M 的直线方程为y k(x 1)(k 0)代入 y2 4x 得 k2x2 (2k2 4)x k2 0() 再设( ,) ,(,) 则 4 2k2 x2= k2 , x2= yy2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x2)+2k= 4 k 2k2

24、2 , )的中点坐标为( 2kk 212 k2 (x ) ,令y 0得那么线段的垂直平分线方程为 y kkk2 k2 2k2 22 x x 1 ,即 0 k2k2k2 又方程()中(2k 2 4)2 4k4 0,0 k21, 3 AB 2 2 2 2,x 0 3 2k 若ABD 是正三角形,则需点 D 到 AB 的距离等于 16(1 k2)(1 k2) AB (1 k )(x 1 x 2 ) (1 k ) (x 1 x 2 ) 4x 1 x 2 k4 2 222 点到 AB 的距离 d= k2 2 k k 2k 1 k2 2k2 2 k 1 k2 2 1 k2 k 4(k21)3 16(1 k

25、4)3 2 据d AB 得: 4k2k44 2 4k 4 k23 0,(k21)(4k23) 0,k2 3 2 ,满足0 k 1 4 ABD 可以为正,此时x0 11 3 26、解:设 E(x,y) ,D(x0,y0) ABCD 是平行四边形, AB AD 2AE , (4,0)+(x0+2,y0)=2(x+2,y)(x0+6,y0)=(2x+4,2y) x 0 6 2x 4 x 0 2x 2 y 2yy 2y 0 0 又 AD 2,(x 0 2)2 y 0 4,(2x 2 2)2(2y)2 4 2 2 即:x y 21 2 ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程为x 设过 A 的直线方程为 y

26、21 y k(x 2) 以 A、B 为焦点的椭圆的焦距 2C=4,则 C=2 x2y2x2y2 1(*) 设椭圆方程为 2 2 1 ,即 2 2abaa 4 将y k(x 2)代入(*)得 x2k2(x 2)2 1 a2a2 4 即 (a2 a2k2 4)x2 4a2k2x 4a2k2 a4 4a2 0 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)则 4a2k24a2k2 a4 4a2 x 1 x 2 ,x 1 x 2 4 a2 a2k2a2 a2k2 4 MN 中点到 Y 轴的距离为 4 ,且 MN 过点 A,而点 A 在 Y 轴的左侧,MN 中点也在 Y 轴的左侧。 3 2a2k2488 a2

27、 222,a k 2a 8 ,x1 x 2 ,x 1 x 2 22233a a k 43 84 x 2 )2 (x 1 x 2 )2 4x 1 x 2 ( )2(8 a2) 33 88 MN 2 1 k2x 1 x 2 2 33 64324 2 128 22222 (1 k )(即 12a 12a k32k160a ) 9339 (x1 9a264 12a 12(2a 8) 32k 160 k 8 2222 9a264 2a28 , 9a480a2 64 0 a 8 2 (a28)(9a28) 0 ,a c 2,a2 8 b2 a2c2 8 4 4 x2y2 1 所求椭圆方程为 84 由可知点 E 的轨迹是圆x 2 y21 y 0 y 1 设(x0, y0)是圆上的任一点,则过(x0, y0)点的切线方程是x0 x

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