高考数学(文)二轮专题突破：专题七 第1讲 函数与方程思想

1、【高考考情解读】数学家华罗庚先生说过：数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处 可用数学思想是中学数学的灵魂， 在二轮复习过程中，我们要在把握知识主干这条复习主 线的同时，活用数学思想，加强数学应用意识，方能跳出题海，轻松应对高考 第第 1 1 讲讲函数与方程思想函数与方程思想 1 函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概 念的本质认识，建立函数关系或构造函数， 运用函数的图象和性质去分析问题、 转化问 题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小 值、图象变换等 (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量

2、间的等量关系，建立方程或方程组，或者构 造方程，通过解方程或方程组， 或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解 决 方程的思想是对方程概念的本质认识， 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的 观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系 2 和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化对函数yf(x)，当y0 时，就化为不等式f(x)0，借助于 函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式 (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十 分重要 (3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过

3、三角函数关系化为未知 量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解 (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方 程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表 达式的方法加以解决. 类型一函数与方程思想在数列中的应用 例 1 列 已知数列an是各项均为正数的等差数 (1)若 a12，且 a2，a3，a41 成等比数列，求数列an的通项公式 an； 111 (2)在(1)的条件下，数列an的前 n 项和为 Sn，设bn，若对任意的 S2nSn 1 Sn2 nN*，不等式 bnk

4、恒成立，求实数 k 的最小值 解(1)因为 a12，a2(a41)， 3a2 又因为an是正项等差数列，故d0， 所以(22d)2(2d)(33d)，得 d2 或 d1(舍去)， 所以数列an的通项公式 an2n. (2)因为 Snn(n1)， 111 bn S 2nSn1Sn2 111 n1n2n2n32n2n1 111111 2n 2n1n1n2n2n3 11n1 2 ， n12n12n 3n1 2n13 n 1 令 f(x)2x (x1)， x 1 则 f(x)2 2，当 x1 时，f(x)0 恒成立，x 所以 f(x)在1，)上是增函数，故当 x1 时，f(x)minf(1)3， 1

5、即当 n1 时，(bn)max， 6 要使对任意的正整数 n，不等式 bnk 恒成立， 1 则须使 k(bn)max， 6 1 所以实数 k 的最小值为 . 6 (1)等差(比)数列中各有 5 个基本量， 建 立方程组可“知三求二”； (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的 解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解 已知数列an是等差数列，a11，a2 a3a10144. (1)求数列an的通项 an； 1 (2)设数列bn的通项 bn，记 Sn是数列bn的前 n 项和，若 n3 时，有 Snm anan 1 恒成立，求 m 的最大值 解(1

6、)an是等差数列，a11，a2a3a10144， 10a1a10 S10145，S10 ， 2 a1028，公差 d3. an3n2(nN*) 11 (2)由(1)知 bn anan13n23n1 1 1 1 ， 33n23n1 11 1 Snb1b2bn ， 33n1 n Sn. 3n1 n1 Sn1Sn 0， 3n43n13n43n1 数列Sn是递增数列 n1 当 n3 时，(Sn)minS3 3 ， 10 33 依题意，得 m，m 的最大值为 . 1010 类型二函数与方程思想在方程问题中的应用 例 2 有解，求 a 的取值范围 如果方程 cos2xsin xa0 在(0， 上 2 解方

7、法一设 f(x)cos2xsin x(x(0， ) 2 显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时，af(x)有解 15 f(x)(1sin2x)sin x(sin x )2 ， 24 且由 x(0， 知 sin x(0,1 2 易求得 f(x)的值域为(1,1 故 a 的取值范围是(1,1 方法二令 tsin x，由 x(0， ，可得 t(0,1 2 将方程变为 t2t1a0. 依题意，该方程在(0,1上有解 设 f(t)t2t1a. 1 其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ，如图所示 2 f00 因此 f(t)0 在(0,1上有解等价于， f10 1a0 即，10， 解当 即 1x0， 作出

8、函数 yx25x3 (1x3)的图象(如图)，该图象与直线 ya 的交点横坐标是方程(*)的解，也是原方程的解 由图形易看出： 13 当 3a1 时，f(x)3 2(x1)； (2)当 1x3 时，f(x)1 时，g(x)1 13 x2 x20. 又 g(1)0，所以有 g(x)0，即 f(x)1 时，2 xx1，故 xx 1 22. 令 k(x)ln xx1，则 k(1)0，k(x)1 x10， 例 故 k(x)0，即 ln x1 时，f(x) (x1) 2 9x1 (2)方法一记 h(x)f(x) ， x5 1154 由(1)得 h(x) x 2 x x52 2 x x5 5454 2x

9、x52 4x x52 x53216x . 4xx52 令 G(x)(x5)3216x，则当 1x3 时， G(x)3(x5)22160， 因此 G(x)在(1,3)内是减函数 又由 G(1)0，得 G(x)0，所以 h(x)0. 因此 h(x)在(1,3)内是减函数 又 h(1)0，所以 h(x)0. 9x1 于是当 1x3 时，f(x) . x5 方法二记 h(x)(x5)f(x)9(x1)， 则当 1x3 时， 由(1)得 h(x)f(x)(x5)f(x)9 11 3 (x1)(x5) x 9 22 x 1 3x(x1)(x5)(2 x)18x 2x 1 2x118x 3xx1x5 222

10、x 1 (7x232x25)0. 4x 因此 h(x)在(1,3)内单调递减 又 h(1)0，所以 h(x)0， 9x1 即 f(x)0)，满足 f(x)g(x)的整数 x 恰有 4 个，则实数 a 的取值范围是_ (2)f(x)ax33x1 对于 x1,1总有 f(x)0 成立，则 a_. 4981 答案(1) 16，25 (2)4 解析(1)在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f(x)(2x1)2， g(x)ax2的图象，则由两个函数的图象可知，yf(x)，yg(x)的图象 在区间(0,1)内总有一个交点， 令：h(x)f(x)g(x)(4a)x24x1，要使满足不等式(2x1)2ax2

11、的解集中的整数解恰有 4 个， h40，4916a0)，ab 设 F(c,0)，直线 l：xyc0， 由坐标原点 O 到 l 的距离为 得 2， 2 |00c| 2 ，解得 c1. 2 2 c2 又 e ，故 a 2，b1， a2 x2 2所求椭圆方程为 y 1. 2 (2)假设存在点 M(m,0)(0m1)满足条件，使得以 MP，MQ 为邻边的平行四边形是菱 形 因为直线与 x 轴不垂直， 所以设直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 22 x 2y 2， 由可得(12k2)x24k2x2k220. ykx1， 2k22 4k2 显然 0 恒成立，x1

12、x2，x1x2 . 12k212k2 设线段 PQ 的中点为 N(x0，y0)， x1x2 k 2k2 则 x0，y k(x 1). 00 2 12k212k2 以 MP、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， MNPQ，kMNkPQ1. k 12k2 k21 即 k1，m ， 2 2k21 12k m 2 2k 12k2 1 k20，00)的离心ab 1 率为 ， 以原点为圆心， 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy 60相切， 过点P(4,0) 2 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求OAOB的取值范围； (3)若 B 点关于 x 轴

13、的对称点是 E，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点 c1 (1)解由题意知 e ， a2 2 e2c a2b2 14 a2a2 4，即 a23b2， 又 b 6 11 3，a24，b23， 故椭圆 C 的方程为x2 4 y2 3 1. (2)解由题意知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 yk(x4)， ykx4 由 x 2y21 得(4k23)x232k2x64k2120， 4 3 由 (32k2)24(4k23)(64k212)0 得 k21 4. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x 64k2 1x2 32k2 12 4k23 ，x1x2 4k23 ， y1y2

14、k(x14)k(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2， OA OB x1x2y1y2 (1k2)64k 212 2 32k287 4k23 4k 4k23 16k225 4k23 ， 0k21 878787 4，3 4k 23 4 ， OA OB ，13 44 ， OA OB 的取值范围是 4， 13 4 . (3)证明B、E 两点关于 x 轴对称，E(x2，y2)， 直线 AE 的方程为 yy y1y2 1x (xx1)， 1x2 令 y0 得 xx y1x1x2 1 y ， 1y2 又 y1k(x14)，y2k(x24)， 2x1x24x1x2 x ， x1x28 将代入上式得

15、x1， 直线 AE 与 x 轴交于定点(1,0) 1 在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如 等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时， 就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量 2 当问题中涉及一些变化的量时， 就需要建立这些变化的量之间的关系， 通过变量之间的 关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想 3 借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的 取值范围等问题， 二是在问题的研究中， 可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求 解 4 许多数学问题中，一般都含有常量、

16、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主 导地位，把这个参变量称为主元， 构造出关于主元的方程， 主元思想有利于回避多元的 困扰，解方程的实质就是分离参变量. 1 若 2x5y2 y5x，则下列关系正确的是_(填序号) xy0xy0xy0xy0 答案 解析把不等式变形为 2x5 x 2 y 5y，构造函数 y2x5 x ，其为 R R 上的增函数， 所以有 xy. 2 设 f(x)，g(x)分别是定义在 R R 上的奇函数和偶函数，当 x0， 且 g(3)0，则不等式 f(x)g(x)0)，则h(x) ，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增， 所以 h(x)minh(1)4. 因

17、为对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立， 所以 ah(x)min4. 6 若 a、b 是正数，且满足 abab3，则 ab 的取值范围为_ 答案9，) 解析方法一(看成函数的值域)abab3， a3a3 a1，b ，而 b0， 0， a1a1 即 a1 或 a0， a1，故 a10. a3a125a14 aba a1a1 4 (a1)59. a1 4 当且仅当 a1，即 a3 时取等号 a1 ab 的取值范围是9，) 方法二(看成不等式的解集)a，b 为正数， ab2 ab，又 abab3， ab2 ab3. 即( ab)22 ab30， 解得 ab3 或 ab1(舍去)，ab9. a

18、b 的取值范围是9，) 方法三若设 abt，则 abt3， a，b 可看成方程 x2(t3)xt0 的两个正根 t324t0 从而有abt30，即 abt0 t1或t9 t3 t0 ， 解得 t9，即 ab9. ab 的取值范围是9，) 7 已知椭圆 G：x 2y2 a2a211(a1)，M：(x1)2y21，P 为椭圆 G 上一点，过 P 作M 的两条切线 PE、PF，E、F 分别为切点 (1)求 t|PM |的取值范围； (2)把PE PF 表示成 t 的函数 f(t)，并求出 f(t)的最大值、最小值 解(1)设 P(x0，y0)，则x 2 0 y2 0 a2a211(a1)， 2 y2 0(a21)1 x0 a2， t2|PM |2(x01)2y2 0 (x 2 01)2(a21)1 x0 a2 1 ax0a2， t1 ax0a. ax0a， a1ta1(a1) (2)PE PF |PE |PF |cosEPF |PE |2(2cos2EPM1) (|PM |21)2|PM|21 |PM|2 1 (t21)2t21 t2 1 t22 t23， 2 f