2020年高中数学高考专题复习-数列不等式综合题示例（通用）

1、数列不等式综合题示例数列不等式综合题，是高考数学的常见试题. 这类试题，对数列方面的考查多属基础知识和基本技能的层级，而对不等式的考查，其中口径往往比较宽，难度的调控幅度比较大，有时达到很高的层级. 试题排序，靠后者居多，常以难题的面貌出现，对综合能力的考查深刻.这类试题，时常以递推关系或间接的形式设定数列. 对数列的提问，多涉及通项、前n项和或数列中的某些指定的参数，有时也会涉及多个数列. 至于有关不等工的提问，可以是含变量n或其他参变量的不等式的证明或求解，抑或求某些量的取值范围，或者是不同量间的大小比较，等等. 试题的综合程度有时不大，有时很大，既有中低档次的题目，又有中高档次的题目，而

2、且多数年份属于后者.对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧. 下面借助若干实例，谈谈解答这类试题的个人点滴体验，希望有助考生理解.例1 设等比数列的公比为，前n项和（）求的取值范围；（）设，记的前n项和为，试比较与的大小分析 设定的数列是满足的一类等比数列，而不是确定的一个具体数列，而不是确定的一个具体数列. 提出的两个问题都属于不等式问题. （）的求解可按等价关系建立关于q的不等式，解之可得；也可对q作分类讨论，再归纳出答案. （）的求解，可用差值法，也可用比值法.（）的解：方法一因为q是等比数列的公比，Sn是数列的前

3、n项和，所以，且因此，等价于：且下列条件之一成立：q=1； 解不等式组得：；解不等式组得：或.综合得q的取值范围为.方法二根据等比数列性质，在题设下，必有，公比.当时，；当或时，；当q=1时，.综合得q的取值范围为（）的解：方法一，因为且，所以得：对任意正整数n，有：若或，则，即；若或，则，即；若或q=2，则，即.方法二，的两根为和2，依题设，且由（）知或，所以得：对任意正整数n，有：当当当或时，.体验（1）求取值范围，务必勿忘其充要性. 只顾必要性，忘了充分性，易使范围扩大；只顾充分性，忘了必要性，易使范围缩小. 上述（）的解法一，采用等价性陈述方式；解法二，采用了从必要性入手，再讨论充分性

4、，然后综合得解.（2）对等比数列，前n项的和Sn依赖于a1和q的两上参量. 由前述讨论可见：使的充要条件为a10且. 因此，严格地说，第（）问的完整答案似乎应为：在等比数列中，而当时，q的取值范围为空集，当时，q的取值范围为. 不过，对该题也可作这样的理解：在题设下，不可能出现的情况，而第（）问要求的只是q的取值范围. 所以前述的解答也算完整.（3）上述（）的两个解法，差值法与比值法. 由于Tn与Sn仅相差一个因子（q的二次式），所以两法几乎没有本质差别，只是陈述表达形式有所不同. 在前述的解法中，都应用了等比数列和二次函数式（方程）的基本知识，但具体的知识点有所差别，有的是最基础的入门知识，

5、有的是经过派生的常用性质. 学会灵活运用基本知识解题，减少记忆量，提高活用技能，是解题训练的一项重要任务.（4）本题虽属中低档题，但也具备相当的综合性，展现了高考试题的常见特点.例2 设数列的前项的和， （）求首项与通项；（）设， ，证明：分析 取n=1，由已知等式即可求得a1. 为求通项an，可先将已知条件化为关于an+1与an的递推关系求解，也可先求Sn，再得an. 至于不等式的证明，可将公式化简，进行论证.（）的解：方法一依设，得，a1=2.当时，整理得，得通项方法二依设，得因为，所以，得a1=2.当时，整理得 即有得通项方法三同上法得a1=2， ，整理得即有 由2得当n=1时，该式也成

6、立，所以，通项为 .方法四因为，当时，所以由题设得，当时，.， 从而，即得 由23，整理得该式对n=1也成立，从而得通项即（）的证明：方法一方法二，得猜测（i）当n=1时，上面已证明猜测成立；（ii）假设当时，猜测成立，即，则即当n=k+1时猜测也成立.综合（i）（ii）得对任意正整数n，猜测都成立.所以，体验（1）已知数列前n项的和Sn与通项an的关系式，为求通项的解析式，通常要将条件转化为数列的递推关系式或数列的递推关系式，然后，再作进一步推演，这时要用到公式许多时候，容易忽略，这个式子，同时，对于另一式子中n的取值范围，也容易忽视，以致出现差错. 对此，必须警觉.（2）根据递推关系求通项

7、an，是常见的数列试题. 近几年的高考数学考试中，这类试题较多出现. 其中，可以是常数、等比数列、等比数列与常数之和、等比数列与等差数列之和，等等形式. 本题（）的四种解法，反映了解答这类问题的基本思路和常用方法，其核心思想是：转化为等比数列的问题进行解答，或借助解方程的方法求解. 能否成功，关键在于代数变换与换元是否有效. 具体的运用非常灵活，就本题（）的解法而言，尚有多种解答方案可供选择，远非只是上述的4种.（3）关于不等式的证明，上述两种证法有典型意义. 证法一采用裂项的技术，将不等式化简，达到证明目的，十分精练. 用好这一技术，须具有良好的观察能力和裂项的经验. 因此，平时要注意经验的

8、积累和一定的操作训练，当存在数列满足时，则有，从而达到将和式化简的目的. 这里的关键是数列的发现. 举个例说，可用这项技术，求等比数列前n项的求和公式：设，则有，. 也可写成.（4）上述（）的证法二，采用了由特殊到一般的思维方式，根据开始的几个特殊情形，探索规律，对一般情形作出“猜测”，进而应用数学归纳法，作出证明，完成解答. 这也是解答数学问题的一种常用方法. 该法成功与否，关键在于猜测，为了使猜测有效和正确，在考查特殊情形时，应避免机械的数字计算和瞎猜，须讲究方法. 例如，上述在考查与的变化规律 ，充分注意所要证明的不等式的特点，把观察的侧重点放在差值的估计上：把T1=1写成；把写成；把写

9、成. 为一般规律的发现提供了方便，提高了猜测的成功率.例3 数列满足a1=1，且.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式对成立. 证明：. 其中无理数e =2.71828 .分析 根据题设的递推关系，难以求得通项，为了证明给定的不等式，宜用放缩法.（）的证明；（1）当n=2时，；（2）假设时，不等式成立，即，则，即当时，不等式也成立.综合（1）（2），得.（）的证明；方法一，取自然对数，得：当时，即，成立.方法二首先，用数学归纳法证明不等式.（1）当n=1，2，3，4时，依次取值2，4，8，16，依次取值0，2，6，12，所以不等式成立；（2）假设时，不等式成立，即，所以，即，从而，即当n=k

10、+1时不等式成立.综合（1）（2），证得.其次，当 时，依设得，由（）知，故有， 得，.，e3e，2.7e2.72，3e7.2q，得an3e-17.16e2.又有a1=1e2，所以证得ane2 .体验（1）上述（）的证法一，将放大为，即是利用了和a1=1，将1放大为，顺利且简练地完成证明. 而证法二，则比较转折，进行多次放缩，首先是将和都放大为，后来为证明3e-12.73=19.68316，得，；其次，综合，证得.因为，所以，这里不仅证明了（）的不等式，而且获得更强的结论.（2）用数学归纳法证（），无难点，但在（）的证法二中，证不等式时，不仅要检验n=1时，不等式成立，还要检验n取值为2，3，4的情形，然后作归纳假设